Universite Claude Bernard Lyon I Licence troisieme annee calcul differentiel Diffferentielles d'ordre superieures Annee

Claude Bernard Lyon

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite Claude Bernard Lyon I Licence troisieme annee : calcul differentiel Diffferentielles d'ordre superieures. Annee 2004-2005 Exercice 1 Soient E et F deux espaces vectoriels normes, U un ouvert de E, f : U ? F une application, a ? U , V un ouvert de E tel que a ? V ? U . On suppose que f|V est differentiable et que f est 2 fois differentiables au point a. Soit (h, k) ? E2. On note ? : V ? F l'application definie par ?(x) = dfx(k). Montrer que ? est differentiable en a et que d?a(h) = d2fa(h, k). Remarque : ce resultat permet de calculer plus simplement des differentielles secondes. Exercice 2 Soient E, F , G des espaces normes, U un ouvert de E, V un ouvert de F , f : V ? G et g : U ? F deux applications telles que g(U) ? V . On suppose que g est deux fois differentiable au point a ? U et que f est deux fois differentiable au point g(a). On sait (voir cours) que f ? g est deux fois differentiable au point a. Exprimer d2(f ? g)a(h, k), (h, k) ? E2, a l'aide des differentielles premieres et secondes de f (resp.

• solutions de l'equation aux derivees partielles


• composition des applications


• rn ?


• fois differentiable


• espace norme


• differentielle partielle


• differentiable au point


• isometrie


• classe c∞

Sujets

• Composition de fonctions
• Espace vectoriel normé
• Isométrie

Informations

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Extrait

´ FEUILLE 5 :DETERMINANTS 1.Claucelesrletd´mierntnaiusstnav:s 1 0 23 4 1 2 3 43 0 1 10 10 0 1 1 10 2 5 4 3 20 2 1 1−1 0 00 a)b)c)d 1 0) 32 2 0 1 0 22 4 5 10 00−1 0 1 0−1 2   3 1 0 03 2 4 10 01 0  1 2 11 2 2.sli-slun?tsanivsutsanntsolesvquelPoure`marapsedsruelainrmte´esdleestr 2 2 1a a0a b1−a−ab−ac1λ−λ 2 2 a ) 1 b b b ) a0c c ) −ab1−b−bc d ) −λ1λ 2     0 1 2cb b0−ac−bc1−c λ−λ1

1 1 11 cosαcos 2α a−b−c2a2a e) b+c c+a a+b f) cosαcos 2αcos 3α g) 2b b−c−a2b     bc ca abcos 2αcos 3αcos 4α2c2c c−a−b 3.ean´litiudedt´rinimrete´clac,tnauler:lisinEtumalunalt b+c c+a a+b a 1 +b 1 b 1 b 1 2 22 22 2 (a) b+c c+a a+b , (b) b 2 a 2 +b 2 b 2 3 33 33 3  b+c c+a a+b b 3 b 3 a 3 +b 3 4.reluclaCtsaninrmte´esdleD n suivants :

λ 0 0 a n λ 0 0 a n 1 11 1 0 1 1−λ a) 0 0 b ) 0 c) 1 λ a 1 0 0 λ a 2    1 1 n−λ a aa 0 01 0n2 λ+a 1

a n a 1 a 1 a 1 a 1 0 0 a b∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙b . . a a aa 1 2 22 .0 . b . . . . . . d)e)f . .) . a 1 a 2 a 3 a 3 . . . . . . . . . a 2 0 . . . b   b∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙b a   a 1 a 2 a 3 a n  a 1  0 0 5.Soient (a n ) n>1 ,(b n ) n>1 (c n ) n>1 esdesuitroist.snOe´leerrsonbmetd´lere`eidnscotnanimre

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