Universite Claude Bernard Master Algebre

Claude Bernard Master

Description

Niveau: Supérieur, Master

• fiche - matière potentielle : n?3

Universite Claude Bernard Master 1 Algebre FICHE N?3 : Exercice 1. Trouver tous les sous-groupes de A5 d'ordre 15, 20 ou 30. Exercice 2. 1. Trouver tous les produits semi-directs de Z/3Z par Z/4Z ou Z/2Z? Z/2Z. 2. Trouver tous les produits semi-directs de Z/4Z ou Z/2Z? Z/2Z par Z/3Z. Exercice 3. 1. Existe t-il une injection de S3 dans A4 ? 2. Existe t-il une surjection de Sn sur Sn?1 ? Exercice 4. Soit G un groupe, H un sous-groupe de G, et N un sous-groupe distingue de G. Le but de cet exercice est de montrer l'isomorphisme suivant: HN/N ?= H/H ?N. Soit f la projection canoninique de G dans G/N et H ? l'image de H par f . 1. En calculant f?1(H ?), montrer que H ? est isomorphe a HN/N . 2. En calculant Kerf |H , montrer que H ? est isomorphe a H/H ?N . 3. Conclure. Exercice 5. Soit Gi, Hi (1 ≤ i ≤ 5) groupes.

• injection de s3 dans a4


• z? z


• module de la somme des composantes de ??m1??n1 ·


• groupe abelien pour l'addition des morphismes


• matrices triangulaires

Sujets

• Master

Informations

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• Langue: Français

Extrait

M1—Alg`ebre—2011-2012

◦ FICHE N 3 :

Exercice 1.Trouver tous les sous-groupes deA 5 d’ordre 15,20 ou 30. Exercice 2. a) Trouvertous les produits semi-directs deZ/3ZparZ/4ZouZ/2Z×Z/2Z. b) Trouvertous les produits semi-directs deZ/4ZouZ/2Z×Z/2ZparZ/3Z. c) Soitd n a´leddriopredo’ueg2rdlren. A-t-onD n 'Z/2Z o Z/nZ. d)Legroupedesquaternionsd’ordre8peut-ils’´ecrirecommeunproduitsemidirect?

Exercice 3. a) Existet-il une injection deS 3 dansA 4 ? b) Existet-il une surjection deS n surS n−1 ?

Universite´LyonI

Exercice 4.SoitGun groupe,Hun sous-groupe deG, etNgu´esdetinpedigrouuo-susnG. Lebut de cet exercice est de montrer l’isomorphisme suivant: ∼ HN/N = H/H∩N. 0 Soitfla projection canoninique deGdansG/NetHl’image deHparf. −10 0 a) Encalculantf(H), montrer queHesa`ehpromositHN/N. 0 b) Encalculant Kerf| H , montrer queHorphe`aestisomH/H∩N. c) Conclure.

Exercice 5.SoitG i , H i (1≤i≤Supposons que les morphismes5) groupes.f i :G i −→H i et le diagramme commutatifsuivantaveclesdeuxsuiteshorisontalesexactessontdonne´es: //////// G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 .  //////// H 1 H 2 H 3 H 4 H 5 a) Montrerque sif 1 est surjective etf 2 , f 4 sont injectives, alorsf 3 est injective. b) Montrerque sif 5 est injective etf 2 , f 4 sont surjectives, alorsf 3 est surjective. Cer´esultatestconnuetappele´5-lemme. Exercice 6.SoitXun ensemble sur lequel le groupeS 5 nagitd’unemani`eonerrt-naiviM.eltronquer’aelioct n’estpasfide`lesietseulementsiS 5 agit par involution. Exercice 7.Soitnun entier tel quen >1 etKun corps commutatif.SoitB, TetUles sous-groupes de GL n (Kserialugnairtsecriatsmde)nolaidgaciseamrt,desureseriesup´ipunenotsste´eupe,sesedtrtamseciirueer.s Montrer queBest isomorphe au produit semi-directTnU.

Exercice 8.trucelasAduutg(rotuupreeo,dnIicmrnie´etZ/2Z×Z/2Z). a)Enconsid´erantl’imaged’un´ele´mentd’ordre2deZ/2Z×Z/2Zpar un automorphisme, montrer que Aut(Z/2Z×Z/2Zmosihprotse)snuo`euauoep-srgdeS 3 .

1

b) Soitf, g∈Aut(Z/2Z×Z/2Z) tels que ¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ f(i, j) = (j, i), g(i, j) = (i+j, j)i, j∈Z/2Z. 2 23 Montrer quefetgsatisfontf=g= id et (f◦g) =id. c) Conclure.

Exercice 9.Ici, on va montrer queG=P GL 2 (F 2 simoe)tsae`phorS 3 re´eiffd.tnemm 1 a) Enfaisant agirGsurP(F 2 ), montrer-le. 3 onside`rel’actioF. b) Onc ndeS 3 sur 2 (a) Montrerque cette action stabilise l’hyperplan{(x, y, z)|x+y+z= 0}. (b) Conclure. [a) ] c) MontrerqueGL 2 (F 2 e`aAut(isomorphtse)Z/2Z×Z/2Z.)nE´ddeequreuiP GL 2 (F 2 ) =GL 2 (F 2 ) est isomorphea`S 3 .

Exercice 10.gselpuorsereismrnie´etDZ/36Z×Z/45Z×Z/60ZetZ/25Z×Z/48Z×Z/81Zsont isomorphes.

Exercice 11.imrete´Donacrlnesuontidineitlrsesotirepsifsa, bpour laquelle on a ∼ Z/abZ = Z/aZ×Z/bZ.

Exercice 12.Soitmetndeux entiers strictement positifs etH(m, n) l’ensemble des morphismes deZ/mZ dansZ/nZ.H(m, ne)nutsemsihpro(saddiurl’desmtionepbarguoneope´ilϕ+ψ)(i) :=ϕ(i) +ψ(i). a)Montrerqu’un´ele´mentϕdeH(m, nn´miarep)estqinuemeu´dtnreteϕ(1). b) Soitdle PGCD demetn. Montrerque l’ordre deϕ(1) divised. c)Montrerquelese´l´ementsdeZ/mZdont l’ordre divisedsont les classes de multiples dea,`uom=adet de´duirequeϕretae´´neuedrd´1)(ngtuniefiH(m, n). ∼ d)End´eduirequeH(m, n) =Z/dZ.

Exercice 13.Soitnun entier tel quen >1 etG= Aut(Z/nZ,+). ¯ ¯ a) Montrerquekengendre (Z/nZ,+) si et seulement sikest inversible dansZ/nZ. ∗ b)Ende´duirequeGest isomorphe au groupe multiplicatif (Z/nZ) .

Exercice 14.Soientnun entier strictement positif etpun nombre premier. a) Supposonsquepest impair. ∗ ∗ i) Montrerque pour toutk∈N, il existea∈Ntel que k p k+1 (a, k) = 1et (1+p1 +) =ap . n∗n−1 ∼ ii)End´eduireque(Z/pZ) =Z/p(p−1)Z. b) Supposonsquep= 2. ∗ ∗ i) Montrerque pour toutk∈N, il existe un entier impairea∈Ntel que k 2k+2 5 =1 +a2.

2

n∗n−2 ∼ ii)End´eduireque(Z/2Z) =Z/2Z×Z/2Zpourn≥2. ∗ c) Donnerla structure de (Z/NZ) pourN >1.

Exercice 15.Le groupe PSL(2,Z) est-il simple ? 2 3 Exercice 16.SoitGoupelegrnipad´efirhx, y|x=y=eibut de cet exercice est de montrer que. LeGest    1 01 1 isomorphe`aP SL(2,Zle fait que). AdmettonsSL(2,Z.teeparndr´enge)est 1 10 1     1−0 11 1−1 a)Calculer.Ende´duirequeSL(2,Zres)ngtedrenpa´e 0 11 10 1    0−1 11 et . 1 00 1     0−1 0−1 11 b) Notonsl’image deet parla projection canoniqueSL(2,Z)P SL(2,Z) par 1 01 00 1 AetB, respectivement. 2 3 i) MontrerqueA=B=1 2 . ii)Ende´duirequ’ilexisteunmorphismesurjectifϕdeGdansP SL(2,Z). −1 c) Posonsξ=xyetη=xytdeemen.qroeMutnere´´lottuGs’´epeutuoserircemrofals 0 ε m 1 n 1 m r n r ε0 x ξη∙ ∙ ∙xξ η´ouε, ε∈ {0,1}etm i , n i ∈N. 0 00m 1 0n 1 0m r 0n r d) Expliciterξ:=ϕ(ξ) etη:=ϕ(ηmoopedcsmoemlesauledemodqueluireEn).edd´deesntsaξ η∙ ∙ ∙ξ η est au moins 3 sauf sim 1 =n 1 =∙ ∙ ∙=m r =n r = 0. e) Conclure.

2 Exercice 17.SoitG=ha, b|aba=babiPosonsle groupe de tresse de trois cordes.x=abety=ab. a) MontrerqueGrpaetsenegne´rdxety. 2 3 b) Montrerquex=y∈Z(G). 2 23 c) Calculerles commutateurs [x, y] et [x, yeriude´dnE.]queZ(Ggendstenra)e´rpex=y. d)Ende´duirequeG/Z(Ghproa`etse)mosiP SL(2,Z).

Exercice 18.SoitGntnnfiu.rigouSoeeipbae´ilned 1 , ..., d r les entiers≥2 tels que : d 1 |d 2 |...|d r etG'Z/d 1 Z×...×Z/d r Z. a) Exprimerle produitd 1 ...d r dia’la`eedG. ∀n b) Montrerqued r Z={n∈Z:g∈G, g= 1}. c) SoitEun espace vectoriel de dimension finie surC. Soituun endomorphisme deE. SiP∈C[X] etv∈E, on poseP.v:=P(u)(v). On suppose qu’il existeP 1 , ..., P r ∈C[Xusinatrilonyoˆemstantsteesnoncon:euqsl]spde P 1 |...|P r dansC[X] et E'C[X]/(P 1 )⊕...⊕C[X]/(P r ) commeC[X]−modules.

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d) MontrerqueP r opylˆnmomenimiladeelestuetP 1 ...P r emoˆnyloe´tcaracueiqstrieruvro.Ttsealilsonp P 1 , ..., P r lecadansso`uEuion3eto`deesdtimensua pour matrice   1 1 0   0 1 0 0 0 1 dans une base.

∨ × Exercice 19.SoitGun groupe.On poseG:= Hom(G,Cir´veera’la`noitacilpiltmuladenimu)(i.e.: φ 1 φ 2 :g7→φ 1 (g)φ 2 (g)). ∨ a) MontrerqueGgrunpeou´eabenli.tse ∨ b)De´terminerGpourG=S n , A n ,Z/nZ. ∨ c) Montrerque siGelb´taes,anirnsfilioeG'G.

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