Universite Claude Bernard Master Algebre

Claude Bernard Master

Description

Niveau: Supérieur, Master

• fiche - matière potentielle : n?6

Universite Claude Bernard Master 1 Algebre FICHE N?6 : Exercice 1. Montrer que les seuls solutions de y2 + 4 = x3 dans Z sont (±11,5) et (±2,2). Exercice 2. Calculer le reste de la division euclidienne de (cos ? +X sin ?)n par X2 + 1. Exercice 3. Montrer que dans l'anneau K[T 2, T 3], T 5 et T 6 n'ont pas de PGCD. D'ici, K designe un corps commutatif. Exercice 4. Montrer que l'anneau C[X,Y,Z]/(XZ ? Y 2) n'est pas factoriel. Exercice 5.(Critere de reduction) Soient A un anneau factoriel, K son corps des fractions, p un element irreductible de A et K le corps des fractions de A/(p). Soit P = ∑ni=0 aiX i ? A[X] tel que p ? an et P = ∑ni=0 aiX i est un polynome irreductible de K[X], ou ai est l'image de ai par la projection canonique A? A/(p). Montrer que P est irreductible dans K[X] (et donc dans A[X] si le pgcd de ses coefficients est 1). En considerant la reduction modulo 3, montrer que X3 ?X + 2 est irreductible dans Z[X].

• racine commune


• reste dans la division euclidienne


• ?2 ?


• solution de l'equation dans z3


• lignes de la matrice de sylvester


• critere de reduction


• corps de fractions

Sujets

• Master

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Universit´eClaudeBernard Master1Alg`ebre

○ FICHE N 6 :

2 3 Exercice 1.Montrer que les seuls solutions dey+4=xdansZsont(±11,5)et(±2,2).

n2 Exercice 2.Calculer le reste de la division euclidienne de(cosθ+Xsinθ)parX+1.

2 35 6 Exercice 3.Montrer que dans l’anneauK[TT ,],TetTn’ont pas de PGCD. D’ici,Kesd´neigun corps commutatif.

2 Exercice 4.Montrer que l’anneauC[X, Y, Z]~(XZ−Y)n’est pas factoriel.

Exercice 5.(udtcree´oinCeredrit`) SoientAun anneau factoriel,Kson corps des fractions,pun n i e´l´ementirr´eductibledeAetKle corps des fractions deA i=0 a i X∈A[X]tel quepÑa n ~(p). SoitP= ∑ n i etP= ∑ i=0 a i Xtiucedr´eedblK[X]u`o,a i est l’imag estunpolynoˆmeiredea i par la projection canonique AA~(p)que. MontrerPadsnitsee´rrtcudelbiK[X](et donc dansA[X]si le pgcd de ses coefficients 3 est1).Enconsid´erantlar´eductionmodulo3,montrerqueX−X+rritude´se2nsibctdaleZ[X].

Exercice 6.(esiE’dernietsn`eitCr) SoientAun anneau factoriel etKson corps des fractions.Soientq n i une´l´ementirr´eductibledea XedemoˆnylonpuA[X]v:ntfiari´eqÑqa ,Sapour 0≤i<n AetP= ∑ i=0 ii n 2 etqÑa 0 . MontrerquePesnsbitcadelrritude´K[X](et donc dansA[X]si le pgcd de ses coefficients p−1p−2 est1).End´eduirequepourtoutnombrepremierp,X+X+  +X+sedantibl´rricudetse1Z[X]. 2 2 2 Exercice 7.itilibctdu´err’ieilrtEduede´X+Y+ZsurK. 4 Exercice 8.FactoriserX−2 surR,Q,F p . 3 Exercice 9.omtntsed’ulierqristen’exesolpasdlednoituitauqe´’nsdaonbeLdeuttecercxeeeicZ suivante: 3 3 3 X+Y=XY ZZ ,≠0.(1) Par l’absurde, on suppose qu’il existe.Suppose que(X, Y, Z)est une solution de (1) telle queX, Y, Z>0 et queXY Zsoit minimal. 1. MontrerqueXetYsont premiers entre eux. 1 2. SoitU, V∈Ztels queX=U+VetY=U−V. MontrerqueUetVsont des entiers qui sont 2 premiers entre eux et queUetViff´e´esdarointtdepse.ertn 3 2 23 3. Montrerqu’ils existentS, W∈Ztels que 2U=SetU+3V=W. √ 1+ −3 4. (Faiten cours) En travaillant dansA=Z , montrer que 2 2U=(2a+b)(a−b)(a+2b),2V=3ab(a+b), avec les entiersaetbpremiers entre eux. 5. Montrerquea−b, a+2bet 2a+bdtnoucse.seb´dnEuiedunreluepetsp.1)e(ndioutolesits

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D’ici,onconside`redeuxe´quationsalge´briques:

p p−1 P(X)=a 0 X+a 1 X+  +a p =0 q q−1 Q(X)=b 0 X+b 1 X+  +b q =0

(a 0 ≠0), (b 0 ≠0),

o`ua i , b j sont des scalaires dans un corpsK. Exercice 10.rtreMnoseopuqleomeslynˆPetQtenemquri´gbesplacnronausunedcommcoinnteunera closKcontenantKsi et seulement s’ils ont un diviseur commun non constant dansK[X]el,.ru-.c,d-a` pgcdestdedegre´≥1. Leesulr´tantdePetQe´ton,ser(P, Q)d´lest,enamierettnedalamrtcideeSylvesterdePetQ, qui estlamatricecarr´eedetaillep+q: a 0 a 1   a p 00   0a 0 a 1   a p     0 00a 0 a 1   a p b 0 b 1  b q 0 0 . 0b 0 b 1  b q 00         0   0 0b 0 b 1  b q q−1q−2p−1 LeslignesdelamatricedeSylvestersontlescoefficientsdespolynˆomes. . . , P, XQ, . . . , QX P,X P,. S’ilestutiledepre´ciserlenomdel’ind´etermin´ee,onnoterares X (P, Q)natledt.Ler´esuPetQreetpˆtue regard´ecomme´ele´mentdeZ[a i (0≤i≤p), b j (0≤j≤q)]. pq Exercice 11.Montrer que res(Q, P)=(−1)res(P, Q). Exercice 12. 1. Montrerque siPetQont une racine commune, alors res(P, Q)=0. 2. Maintenant,supposons que res(P, Q)=0. (a) Montrerqu’ils existentλ q−1 , . . . , λ 0 , µ p−1 , . . . , µ 0 dansK, non tous nuls, tels que p−1p−2p−1 λ p−1 X P+λ p−2 X P+  +λ 0 P+µ p−1 X Q+  +µ 0 Q=0. (b)Ende´duirequePetQne sont pas premiers entre eux.

Exercice 13.emspslonyoˆ´eronsleConsid p n P(X)=a 0 M (X−α i ), Q(X)=b 0 M (X−b j ). i=1j=1 1. Enregardant res(P, Q)eldee´memmt´neocZ[a 0 , b 0 , α i (1≤i≤p), β j (1≤j≤q)], montrer queα i −β j divise res(P, Q)pour tous 1≤i≤pet 1≤j≤q. 2.End´eduirelesidentit´essuivantes: p qp q q pq pqp =a(α−β)=a Q(α)=(−1)b P(β). res(P, Q) 0 b 0 M M i j 0 M i 0 M j i=1j=1i=1j=1

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Exercice 14.unitEntlelisaultar´esquersie,,mnttronaest une racine dePetbest une racine deQ, 1.a+best une racine de res X (P(X), Q(Y−X))et q 2.abest une racine de res X (P(X)Q, X(Y~X)). √ √ 3 Parexemple,trouverunpolynˆome`acoefficientsentiersquia2+7 pour racine. p p−1 SoitP=a 0 X+a 1 X+  +a p unpolymoˆnnadecnussproKet soientα 1 , . . . , α p lespracines deP dansuncorpsalge´briquementclosKcontenantK. LediscriminantdeP,not´desiP, est 2p−2 2 dis(P)=a M (α i −α j ). 0 1≤i<j≤p Exercice 15.Montrer que ν 0 ν 1 ν 2 ν p−1 ν 1 ν 2  ν p −(2p−2) adis(P)= ν 2    , 0    ν p−1 ν p  ν 2p−2 R R p i o`uν i = ∑ αest la somme de Newton. k=1 k 1 p(p−1)−1′ Exercice 16.Montrer que dis(P)=(−1)ares(P, P). 2 0 2′ 1. Calculerle discriminant deaX+bX+c. Compareravec res(P, P). 3 23 2. Calculerle discriminantDdeX−g 2 X−g 3 apgrdeherieclere´dteY=X−g 2 X−g 3 lorsqueD=0. n 3. Calculerle discriminant deX+pX+q.

∗r.s Exercice 17.Soitn∈N. NotonsM n (C)l’ensemble des matrices diagonalisables avec les valeurs r.s propres tous distinctes.Montrer queM n (C)est ouvert dansM n (C).Indication. Utiliserle discriminant d’unpolynˆome.

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