Universite Claude Bernard Master Algebre

Claude Bernard Master

Description

Niveau: Supérieur, Master

• fiche - matière potentielle : n?7

Universite Claude Bernard Master 1 Algebre FICHE N?7 : Exercice 1. Montrer que le theoreme de Wilson implique d'une racine de ?1 mod p si p est congru a 1 mod 4. Indication: Posons X ?= 1 ? 2 ? p ? 1 2 et montrer X2 ? ?1[p]. Exercice 2. Combien y a-t-il de cubes dans (Z/pZ)? ? Exercice 3. Montrer qu'il existe une infinite de nombres premiers congrus a 3 modulo 4. Exercice 4. Ici, on travaille sur F3. 1. Decomposer ?7. 2. Determiner le corps F3(?) ou ? est une 7ieme racine d'unite. Exercice 5. Montrer que le polynome X2 +X + 1 est irreductible dans F8. Exercice 6. 1. Montrer que le polynome X3 +X + 1 est irreductible sur F16. Soit x une racine du polynome. 2. En considerant F2 ? F2(x) ? F16(x), montrer que 3 divise [F16(x) ? F2]. 3. En considerant F2 ? F16 ? F16(x), montrer que 4 divise [F16(x) ? F2] et que [F16(x) ? F2] ≤ 12. 4. En deduire que [F16(x) ? F2] = 12.

• polynome


• considerant f2 ?


• somme de gauss


• cu ?


• ieme racine d'unite


• loi de reciprocite quadratique de gauss


• racine primitive


• x2 ?


• polynome x2

Sujets

• Master
• Polynôme
• Somme de Gauss

Informations

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• Langue: Deutsch

Extrait

Universit´eClaudeBernard Master1Alg`ebre

○ FICHE N 7 :

Exercice 1.eleterqur`emh´eoliosdeWeiluqinpmrane’ueddeneciMrtno−1 modpsipeau`rg1nocts p−1 2 mod 4.Indication: PosonsX=1⋅2et montrerX≡−1[p]. 2 ∗ Exercice 2.Combien y a-t-il de cubes dans(Z~pZ)? Exercice 3.erpsreimnocssurgfinin´eitnoderemb`a3modulo4.rtnoMneeustxile’iquer Exercice 4.Ici, on travaille surF 3 . 1.De´composerΦ 7 . 2.De´terminerlecorpsF 3 (α)ou`αe.u’de´tinremenicae7e`itsnu

2 Exercice 5.ntMoeopylˆnmoerqreuelX+X+stirr´ed1esnadelbitcuF 8 . Exercice 6. 3 1.MontrerquelepolynoˆmeX+X+eesduurctiirbrl´1estF 16 . Soitxe.omnˆaricuenopylenud 2.Enconside´rantF 2 ⊂F 2 (x)⊂F 16 (x), montrer que 3 divise[F 16 (x)F 2 ]. 3.Enconside´rantF 2 ⊂F 16 ⊂F 16 (x), montrer que 4 divise[F 16 (x)F 2 ]et que[F 16 (x)F 2 ]≤12. 4.End´eduireque[F 16 (x)F 2 ]=12.

Exercice 7.SoientKun corps commutatif,Pˆoynirmeuolnpe´rtiucedr´egededbln>1 etLle corps de de´compositiondeP. Montrerque[LK]≤n!. Exercice 8.Montrer queGL n (F p )uasnuo-srguoepedestisomorphe`GL 2n (F p ). 2 n Exercice 9.SoitfFontrer que sinest au moins 3, q Ð→F q Mune forme quadratique non triviale. n alorslecoˆneisotropeN(f)={x∈FSf(x)=0}a au moins un point non trivial, i.e.,N(f){0}≠g. q Exercice 10.Soitpun nombre premier.Montrer que, parmi 2p−1 entiers, on peut toujours en trouver pdont la somme est divisible parp.appelleIndication: Ona 1 ,, a 2p−1 les entiers modulopr`eresndi.oC p−1p−1p−1p−1 2 2 lepolynˆome(X+  +X)−ω(a 1 X+  +a 2p−1 X),u`oω∈F p tse’usapnncarr´e. 1 2p−21 1p−1 Exercice 11.Soitp, qdeux nombres premiers distincts>but de cet exercice est de montrer2. Le laiqatdeueusGaspiceicorqe´trdaued´rlio: q p p−1q−1 ⋅ 2 2   =(−1). p q Soitζune racine primitiveqni’uedemsuanedt´`i-ederiquoˆutenlc´gbeerlaF p . Posons x x τ= Q  ζ . ∗ q x∈F q Cettesommeestappel´eelasomme de Gauss.

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1. Montronsque  t(u−t )  2u τ= Q ζ Q  .  q  u∈F q t∈F q 2. Montrerque, sit≠0, on a −1 t(u−t)1−ut q−1 2  =(−1) . q q −1 1−ut 3. PosonsC . u = ∑ t∈F q ∗ q (a) MontrerqueC 0 =q−1 et queC u =−1 pouru≠0. q−1 2 (b)Ende´duirequeτ=(−1)q. 2 (c) Montrerque q p−1p−1q−1 p−1 2⋅ 2 22 τ=(τ)= (−1). p p p p−1 4.Parlade´finitiondeτ, calculerτiueruqe.nE´ddeτ= . q 5. Conclure. On remarque que la somme de Gauss est un analogue de la fonction gamma: ∞ dx −x s Γ(s)=e xRes>0. S 0 x Ilyaaussiunanaloguedelafonctionbeˆtaappele´lasomme de Jacobi. ∗ Exercice 12.Soitpun nombre premier>2 etζune racine primitivep’dnue`em-nsda´eitC. Poura∈F p , posons x ax τ a = Q  ζ . p ∗ x∈F p Cettesommeestaussiappel´eelasomme de Gaussparticulier, on pose. Enτ=τ 1 . a 1. Montrerqueτ a = τpoura∈F p . p 2. Posτ onsS= ∑ a∈F p a τ −a . p−1p−1 2∗2 (a) Montrerqueτ a τ −a =(−1)τpoura∈Fqure.e´dnEiudeS=(−1) (p−1)τ. 2 2 p ∗a(x−y) (b)Avecl’aidedecaracte`reduFe, v´ζ=pδ p erifier qu ∑ a∈F p x,y . 2 x Ende´duirequeS=p ∑  =p(p−1). x∈F p p p−1 2 2∗ 2 (c)End´eduirequeτ=τ=(−1)psia∈F. a p √ 3.Ende´duirequetouteextensionquadratiquedeQ(i.e., de la formeQ(d)avecd∈Q) est contenue dans une extension cyclotomique (i.e., de la formeQ(ζ)avecζ.)e´e’C(nutssacracined’unit tre`sparticulierduoe`rt´hKeormedeeretneckrWebeoteuqtidnetxeetu´eabonsineenliqui deQse plonge dans une extension cyclotomique deQag.Ln´´ednoitecelaretasinueconr`emh´eo commeKronecker’s Jugendtraumeunstenqiodruaiqatneildsenuotexeetelitrate´basnoisnetxese imaginaire deQ.)

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2 Exercice 13.l’´equatnsid`erennOioocx≡59[103]dansZ. 1.Al’aidedelaloider´eciprocite´quadratique,montrerquel’´equationadmetunesolution. 2.Trouvertouslessolutionsdel’´equation. 51 3. Montrerque 59−1 est divisible par 103.

n 2 Exercice 14.SoitF n =2+1 lenredenombat.Ferme`emi n+1 1. Montrerque sipest un nombre premier qui diviseF n , alorsprg`u1aomsectno.lodu2 2∗ 2. Enutilisant le fait que si 16 divisep−e´edacrrtsnusre21aloF, montrer quepe1a`urgnocts p n+2 modulo2de`squen≥2.

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