Université Claude Bernard Mathématiques L3 Calcul intégral

Claude Bernard Mathématiques

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3

• redaction

Université Claude Bernard Mathématiques L3 Calcul intégral Feuille d'exercices numéro 8 Fonctions définies par des intégrales. Exercice 1 Pour x > 0, on pose F (x) = (∫ x 0 exp(?t2)dt )2 et G(x) = ∫ 1 0 exp(?x2(1 + t2)) 1 + t2 dt. (1a) Montrer que F et G sont de classe C1 sur R+. (1b) Calculer F ?(x) + G?(x) pour x > 0. (2) En déduire la valeur de I = ∫∞ 0 exp(?t 2)dt puis de J = ∫ R exp(?t 2/2)dt. Exercice 2 Pour x ? R, on pose F (x) = ∫ R eixte?t 2/2dt. (1) Montrer que F est continue sur R. (2) Montrer que F est dérivable sur R. (3a) Montrer que F satisfait à une équation différentielle du premier ordre. (3b) En déduire la valeur de F (x) pour x réel. On utilisera le résultat de la question 2 de l'exercice 2. Exercice 3 Pour x ? R, on pose F (x) = ∫ ∞ 0 exp ( ? 1 2 ( x2 t2 + t2 )) dt.

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Sujets

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• Équation aux dérivées partielles

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Extrait

Universit Claude Bernard L3 Calcul intgral

Feuille d’exercices numÉro 8 Changements de variables — Exercices de rvision

Mathmatiques

Exercice 1(Examen juin 2008). Z Z 1∞ a−1b−1c−1−t Poura, b, crels, on poseB(a, b) =t(1−t)dtetΓ(c) =t edt 0 0 1a. Aquelles conditions sura, ba-t-onB(a, b)<+∞? A quelle condition surca-t-onΓ(c)<+∞?. 1 1b. SoitH: (u, v)→(s, t)avecs=uvett=u(1−v). Montrer queHest unC-diffomorphisme de l’ouvertU= ]0,+∞[×]0,1[sur un ouvertVÀ prciser. 1c. Soita >0>, b0et Z a−1b−1−(s+t) I=s t edm 2 (s, t). ∗ ∗ R×R + + En calculantIde deux manires diffrentes (l’une d’elles utilisant le changement de variablesH), montrer que pour tous>a, b0, Γ(a)Γ(b) B(a, b) =.(1) Γ(a+b) 2a. Enchoississanta=b= 1/2dans la formule (1), calculerΓ(1/2). Indication : on pourra remarquer 2 que1−(1−2x) =4x(1−x). 2b. Dduirede la question prcdente que Z ∞ √ 2 −x e dx=π −∞

Exercice 2(Examen janvier 2009) n Pourn>1, soitD n ={(x 1 ,∙ ∙ ∙, x n )∈R; 0< x 1 < x 2 <∙ ∙ ∙< x n <1}. n 1.Justifier queD n est un borlien deR. Z 2.SoitI n =x 1 ∙ ∙ ∙x n dx 1 ∙ ∙ ∙dx n . D n (a)Etablir une relation entreI n etI n−1 . (b)En dduire la valeur deI n . Exercice 3 1 1. SoitH: (u, v)→(s, t)avecs=uvett=u(1−v). Montrer queHest unC-diffomorphisme de ∗2 l’ouvertU= ]0,+∞[×]0,1[sur l’ouvertV= (R). + 2. Soitx >0>, y0et Z x−1y−1−(s+t) I=dsdt.s t e + + R×R En utilisant le changement de variablesH, calculerIet retrouver la formule tablie À l’exercice 1. Exercice 4(examen janvier 2007, 2Ème session) 2 Soitm 2 la mesure de Lebesgue surR. Soit06a < b. On pose p 2 2 D={(x, y)∈Rt.q.0< x < y <x+ 1eta < xy < b}. (a) MontrerqueDest un borlien. ( 2 2 u=y−x (b) A l’aide du changement de variables, que l’on justifiera, calculer l’intgraleI= v=xy Z 2 2xy2 2 (y−x) (x+y)dm 2 (x, y)en fonction deaetb. D

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