Université Claude Bernard Mathématiques M2 Convexité en grande dimension et théorie quantique de l'information

Claude Bernard Mathématiques

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
Université Claude Bernard Mathématiques M2 Convexité en grande dimension et théorie quantique de l'information Examen final : corrigé succinct Exercice 1 Comme t1P1 + · · ·+ tkPk contient un cube de côté 10?3, on a une minoration de sa largeur moyenne : w(t1P1 + · · ·+ tkPk) > w(x+ [0, 10 ?3]n). La largeur moyenne est 1-homogène et invariante par translation, donc w(x+ [0, 10?3]n) = 10?3 2 w([?1, 1]n). La largeur moyenne de Bn∞ se calcule via les gaussiennes (G est un vecteur aléatoire de loi ?n) et vaut w([?1, 1]n) = 1 ?n E?G?1 ? c √ n. Par ailleurs, w(t1P1 + · · ·+ tkPk) = t1w(P1) + · · ·+ tkw(Pk) 6 maxw(Pi), donc il existe i tel que w(Pi) > c ?√n. Enfin, si N est le nombre de sommets de Pi, on peut majorer w(Pi) = 1 ?n E max v sommet de Pi ?v,G?. La variance de ?v,G? vaut ?v?2 = √ n. L'espérance du maximum de N gaussiennes de variance √ n est majoré par C √ n √ logN , et donc w(Pi) 6 C √ logN.

• ??p · ?v


• largeur moyenne de bn∞


• cv ??p


• vecteur aléatoire de loi ?n

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• Langue: Français

Extrait

UniversitÉ Claude BernardMathÉmatiques M2 ConvexitÉ en grande dimension et thÉorie quantique de l’information Examen final : corrigÉ succinct Exercice 1 −3 Commet 1 P 1 +∙ ∙ ∙+t k P k contient un cube de cÔtÉ10, on a une minoration de sa largeur moyenne : −3n w(t 1 P 1 +∙ ∙ ∙+t k P k )>w(x+ [0,10 ]). La largeur moyenne est1-homogÈne et invariante par translation, donc −3 10 −3n n w(x+ [0,) =10 ]w([−1,1] ). 2 n La largeur moyenne deBse calcule via les gaussiennes (Gest un vecteur alÉatoire de loiγ n ) et vaut ∞ 1 √ n w([−1,1] )=EkGk 1 ∼c n. β n Par ailleurs,w(t 1 P 1 +∙ ∙ ∙+t k P k ) =t 1 w(P 1 ) +∙ ∙ ∙+t k w(P k )6maxw(P i ), donc il existeitel que √ 0 w(P i )>c n. Enfin, siNest le nombre de sommets deP i , on peut majorer 1 w(P i ) =Emaxhv, Gi. β n vsommet deP i √ √ La variance dehv, Givautkvk 2 =n. L’espÉrance du maximum deNgaussiennes de variancenest √ √ majorÉ parC nlogN, et donc p w(P i )6ClogN . 0 0 On en dÉduitN>exp(C n)pour une constanteC.

Exercice 2 1. Comme|xihx|est un État pur, il est sÉparable si et seulement si il est de la forme|uihu| ⊗ |vihu| d pouru, v∈C. Autrement dit,|xihx|est sÉparable si et seulement sixest un tenseur pur, i.e. si et seulement siλ max (x) = 1. 2. LadÉcomposition de Schmidt correspond À la dÉcomposition en valeurs singuliÈres si on interprÈte xcomme une matrice. Ainsi le plus grand coefficient de Schmidt correspond au carrÉ de la plus grande valeur singuliÈre, c’est-À-dire À la normed’opÉrateur. La norme d’opÉrateur d’une matriceA est kAk op = maxkAuk 2 = max|hAu, vi|= max|trA|uihv||. d dd u∈C,kuk 2 =1u,v∈C,kuk 2 =kvk 2 =1u,v∈C,kuk 2 =kvk 2 =1

Exercice 3 d dd dt On noteH=C⊗C, etT:M(C)→M(C)l’application de transpositionT(A) =A(attention : c’est bien la transposition et non la transconjugaison), etT 1 =T⊗Id M(C) :M(H)→M(H)la d transposition partielle. 1. Siρest sÉparable, il s’Écrit comme une combinaison convexe d’États produits. La transposition t ⊗ρ 2 ) =ρ 1 aussi un partielle d’un État produit est encore un État, carT 1 (ρ 1 ⊗ρ 2 , doncT 1 (ρ)est État.

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Id 2. Oncalcule la transposition partielle deρ=t+ (1−t)|xihx. La matrice deρest 4   t/4 + (1−t)/2 00 (1−t)/2 0t/04 0   .   0 0t/4 0 (1−t)/0 (12 0−t)/2 +t/4 Pour obtenir la matrice deT 1 (ρ)on transpose chaque bloc2×2   t/4 + (1−t)/0 02 0 0t/4 (1−t)/2 0   .   0 (1−t)/2t/4 0 0 00 (1−t)/2 +t/4 Cette matrice est positive si et seulement si le bloc central2×2l’est, i.e.t>2/3. Par la question 1,ρest donc intriquÉ lorsquet <2/3.

Exercice 4 1. Supposonsle lemme montrÉ lorsqueBest diagonale À coefficients rÉels positifs. SoitA, B, Cquel- conques vÉrifiant l’hypothÈse du lemme; par la dÉcomposition en valeurs singuliÈres, il existe des ∗ matrices unitairesU, Vtelles queU BVsoit diagonale positive. On Écrit alors      ∗ ∗∗ U0A BU0U BVU AU ∙ ∙= ∗ ∗∗ ∗∗ 0V BC0V CVV VB U La matrice de droite est positive (on a conjuguÉ une matrice positive par une matrice unitaire), ∗2∗ ∗ donc par le lemme (cas «Bdiagonal »), on akU BVk6kU AUk p ∙ kV CVk p . Mais la norme p 2 k.k p est invariante par multiplication par un unitaire, donckBk6kAk p kCk p . p    a ii b i A B 2. Lamatrice estune sous-matrice de la matrice, donc elle est positive et son ∗ b i c ii B C dÉterminant aussi. 3. Ona  ! 1/2  ! 1/2 X XX X p/2p p p /2 p p kBk=b6a c6a c p i ii iiii ii i ii i par l’inÉgalitÉ de Cauchy–Schwarz. Pour finir, diag(A)sp(A)pour une matrice auto-adjointeA, P 1/p p d’oÙ on tire que(|a ii |)6kAk p , et la preuve du lemme. 4. Parla dÉcomposition en valeurs singuliÈres, d {A∈M(C),kAk 1 61}= conv{±|xihy|;kxk 2 =kyk 2 = 1}. Par le thÉorÈme spectral, d {A∈M sa (C),kAk 1 61}= conv{±|xihx|;kxk 2 = 1}. On en dÉduit le rÉsultat (la fonction convexek ∙ k p atteignant son maximum sur un point extrÉmal).   |xihx| |yihx| 5. Lamatrice|uihu|s’Écrit par blocs commeM=. Cette matrice est positive, donc |xihy| |yihy| (Φ⊗Id)(M)aussi, et donc   Φ(|xihx|) Φ(|yihx|) >0 Φ(|xihy|) Φ(|yihy|) Le lemme implique que   2 2sa y|)k6kΦk. kΦ(|xihy|)k6kΦ(|xihx|)k p kΦ(|yih p 1→p p sa On en dÉduit donckΦk 1→p 6kΦk. L’autre inÉgalitÉ est Évidente. 1→p

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Exercice 5 1. Soit{p i , ρ i } i un ensemble admissible. On dÉcompose chaque Étatρ i comme combinaison convexe P d’États purs :ρ i =p ij ρ ij . Alors{p i p ij , ρ ij } i,j est un ensemble admissible pour lequel la quantitÉ j À maximiser est plus grande que pour{p i , ρ i } i : le premier terme est inchangÉ et le terme prÉcÉdÉ du signe−a diminuÉ par concavitÉ de l’entropie. 2 2. Soit{p i , ρ i } i un ensemble admissible, avecp i >0et au moinsd+ 1ÉlÉments. Comme la dimension 2d de l’ensemble des États estd−1(c’est de codimension 1 dansM sa (C)), il existe une liaison affine P P entre lesp i : il existeq i avecq i = 0etq i ρ i = 0. L’ensemble{p i +tq i , ρ i } i est admissible lorsque p i +tq i >0. De plus, la fonction  !! X X t7→SΦ (p i +tq i )ρ i −(p i +tq i )S(Φ(ρ i )) i i est affine (le premier terme ne dÉpend pas det) et donc maximale au bord de l’ensemble dest admissibles. Mais pour un telt 0 ,p i +t 0 q i = 0pour un certaini. Ainsi on a diminuÉ de1la longueur de l’ensemble{p i , ρ i } i . En itÉrant ce processus, on construit 2 un ensemble admissible de longueurdpour lequel la quantitÉ À maximiser est supÉrieure ou Égale À ce qu’elle valait pour{p i , ρ i } i .

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