Universite d'Orleans Annee Master AMA

Description

Niveau: Supérieur, Master
Universite d'Orleans Annee 2006-2007 Master 2 AMA Unique continuation des solutions de l'equation de Schrodinger D'apres L.Escauriaza, C.E.Kenig, G.Ponce et L.Vega : ”on unique continuation of solutions of Schrodinger equation” GALMICHE Johanna Memoire dirige par GRELLIER Sandrine

• proprietes d'unique continuation des equations de schrodinger


• demonstration du theoreme


• estimations de la decroissance exponentielle


• unique solution


• unique continuation des solutions de l'equation de schrodinger


• schrodinger equation

Sujets

• Schrödinger equation

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Universit´e d’Orl´eans Ann´ee 2006-2007
Master 2 AMA
Unique continuation des solutions de l’´equation de
Schr¨ odinger
D’apr`es L.Escauriaza, C.E.Kenig, G.Ponce et L.Vega :
”on unique continuation of solutions of Schr¨odinger equation”
GALMICHE Johanna
M´emoire dirig´e par GRELLIER Sandrine`TABLE DES MATIERES 1
Table des mati`eres
1 Introduction 2
1.1 Enonc´es des th´eor`emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Plan de la d´emonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Estimations de la d´ecroissance exponentielle d’une solution 3
2.1 Premi`ere estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Deux corollaires fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Limites inf´erieures asympotiques d’une solution et de son gradient 16
23.1 Majoration en norme L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Un th´eor`eme fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 D´emonstrations des th´eor`emes 29
4.1 D´emonstration du th´eor`eme 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 D´emonstration du th´eor`eme 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 INTRODUCTION 2
1 Introduction
L’objectif de ce m´emoire est d’´etudier les propri´et´es d’unique continuation des ´equations de
Schrodin¨ ger. Nous distinguerons les ´equations lin´eaires de la forme
ni∂u+Δu =Vu, (x,t)∈R ×R (1)t
et les ´equations non-lin´eaires du type
ni∂ u+Δu+F(u,u¯) = 0, (x,t)∈R ×R. (2)t
Dans le cas des ´equations lin´eaires, notre but est d’obtenir des conditions suffisantes sur le
comportement de la solution u a` deux temps distincts t = 0 et t = 1 pour garantir le fait que0 1
la solution nulle soit l’unique solution de (1).
Dans le cas des ´equations non lin´eaires, nous chercherons `a d´eduire l’unicit´e de la solution a`
partir d’informations sur la diff´erence de deux solutions en deux temps distincts.
1.1 Enonc´es des th´eor`emes
Le r´esultat concernant l’´equation (1), que nous nous proposons de d´emontrer ici, est le
suivant :
2 nTh´eor`eme 1.1 : Soit u ∈ C([0,1] : H (R )) une solution forte de l’´equation (1) dans le do-
n n ∞ n 1maine (x,t)∈R ×[0,1] avec V :R ×[0,1]→C, V ∈ L (R ×[0,1]), et ∇ V ∈ L ([O,1] :xx t
∞ nL (R )).
Supposons qu’il existe α> 8/3 et a> 0 tels que
α1 a|x|u =u(.,0), u =u(.,1) ∈H (e dx),0 1
et Z
1
lim kVk 1 = lim sup |V(x,t)|dt = 0.∞L L {|x|>r}xtr%+∞ r%+∞ 0 {|x|>r}
Alors u≡ 0.
Concernant l’´equation (2) nous devons prouver :
k n +Th´eor`eme 1.2 : Soit u , u ∈ C([0,1] : H (R )), k ∈ Z , k > n/2 + 1, deux solutions1 2
n 2 kfortes de l’´equation (2) dans le domaine (x,t) ∈ R × [0,1], avec F : C → C, F ∈ C et
F(0) =∂ F(0) =∂ F(0) = 0.u u¯
Supposons qu’il existe α> 8/3 et a> 0 tels que
α1 a|x|w =u (.,0)−u (.,0), w =u (.,1)−u (.,1) ∈H (e dx),0 1 2 1 1 2
Alors u ≡u .1 2´2 ESTIMATIONS DE LA DECROISSANCE EXPONENTIELLE D’UNE SOLUTION 3
1.2 Plan de la d´emonstration
La d´emonstration de ces deux th´eor`emes est s’effectuera en plusieurs ´etapes :
- La premi`ere ´etape est bas´ee sur les estimations de d´ecroissance exponentielle de la solution
donn´ees par le lemme suivant que nous admettrons.
2 nLemme 1.1 : Supposons que u∈C([0,1] :L (R )) soit une solution forte du probl`emex

ni∂ u+Δu =Vu+H, (x,t)∈R ×[0,1]t
u(x,0) =u (x)0
avec
1 2 2βx1H ∈L ([0,1] :L (e dx)),t x
et
2 2βx1u ,u ≡u(.,1)∈L (e dx),0 1
nou` β∈R quelconque, alors il existe > 0 tel que si V :R ×[0,1]→C v´erifie
kVk 1 ≤ ,∞L Lt x
alors
sup ku(.,t)k 2βx2 1L (e dx)
0≤t≤1
(3)
≤c(ku k 2 2βx +ku k 2 2βx +kHk 1 2 2βx )0 11 1 1L (e dx) L (e dx) L L (e dx)t x
avec c une constante ind´ependante de β.
Nous utiliserons ces estimations pour en d´eduire de similaires, avec toutefois une puissance plus
´elev´e du terme en x dans l’exponentielle, i.e. avec une croissance super-lin´eaire.
- La deuxi`eme ´etape consiste `a ´etablir des limites inf´erieures asymptotiques en espace pour
2la normeL de la solution et pour son gradient sur le domaine (x,t)∈{R−1<|x|<R}×[0,1].
- Enfin nous combinerons les r´esultats obtenus par les deux ´etapes pr´ec´edentes pour prouver
les th´eor`emes 1.1 et 1.2.
2 Estimations de la d´ecroissance exponentielle d’une solution
Dans cette partie, nous nous placerons sous les hypoth`ese du lemme 1.1, c’est-`a-dire que
2 nnous supposerons que u∈C([0,1] :L (R )) est une solution forte du probl`emex

ni∂u+Δu =Vu+H, (x,t)∈R ×[0,1]t (4)
u(x,0) =u (x)0
avec
1 2 2βx1H ∈L ([0,1] :L (e dx)),t x´2 ESTIMATIONS DE LA DECROISSANCE EXPONENTIELLE D’UNE SOLUTION 4
et
2 2βx1u ,u ≡u(.,1)∈L (e dx)0 1
ou` β∈R quelconque.
2.1 Premi`ere estimation
D´emontrons tout d’abord un premier corollaire.
Corollaire 2.1 : Supposons de plus que pour β > 0 quelconque
2 2β|x|u , u ∈L (e dx)0 1
et
1 2 2β|x|H ∈L ([0,1] :L (e dx)),t x
alors
√sup ku(.,t)k 2 2β|x|/ nL (e dx)
0≤t≤1
(5)
≤c(ku k 2 2β|x| +ku k 2 2β|x| +kHk 1 2 2β|x| )0 1L (e dx) L (e dx) L L (e dx)t x
avec c une constante ind´ependante de β > 0.
D´emonstration : L’in´egalit´e (3) donne pour j = 1,...,n :
sup ku(.,t)k ±2βx2 jL (e dx)
0≤t≤1
≤c (ku k ±2βx +ku k ±2βx +kHk ±2βx )1 0 1 12 j 2 j 2 jL (e dx) L (e dx) L L (e dx)t x
Or, nous avons pour j=1,...,n,±βx ≤β|x| d’ou` :j
sup ku(.,t)k ±2βx2 jL (e dx.)
0≤t≤1
≤c (ku k +ku k +kHk ).2 2β|x| 2 2β|x| 1 2 2β|x|1 0 1L (e dx) L (e dx) L L (e dx)xt
Posons φ =c (ku k +ku k +kHk ).2 2β|x| 2 2β|x| 1 2 2β|x|1 0 1L (e dx) L (e dx) L L (e dx)t x
Z 1/2√
2 2β|x|/ n√ku(.,t)k = |u(x,t)| e dx2β|x|/ n2L (e dx)
nR
Z 1/2
2 2βmax {|x |}j j≤ |u(x,t)| e dx
nR
ZnX
2 2β|x | 1/2j≤ ( |u(x,t)| e dx)
nRj=1´2 ESTIMATIONS DE LA DECROISSANCE EXPONENTIELLE D’UNE SOLUTION 5
Z ZnX
2 2βx 2 −2βx 1/2j j≤ ( |u(x,t)| e dx+ |u(x,t)| e dx)
n n{R ;x >0} {R ;x <0}j jj=1
!Z ZnX
2 2βx 1/2 2 −2βx 1/2j j≤ ( |u(x,t)| e dx) +( |u(x,t)| e dx)
n n{R ;x >0} {R ;x >0}j jj=1
n X
≤ ku(.,t)k 2βx +ku(.,t)k −2βx2 j 2 jL (e dx) L (e dx)
j=1
nX
≤ (φ+φ)
j=1
≤ 2nφ
d’ou`
√ku(.,t)k ≤c(ku k +ku k +kHk 1 ). (6)2 2β|x|/ n 2 2β|x| 2 2β|x| 2 2β|x|0 1L (e dx) L (e dx) L L (e dx)L (e dx) xt
En prenant la borne sup´erieure en t sur [0,1] de chaque cˆot´e de l’in´egalit´e (6), nous obtenons
alors l’in´egalit´e (5) voulue.
2.2 Deux corollaires fondamentaux
D´emontronsensuite,enfaisantappelaulemme(1.1)etaur´esultatpr´ec´edent,deuxcorollaires
qui seront directement utilis´es dans la d´emonstration des th´eor`emes (1.1) et (1.2).
Corollaire 2.2 : Supposons que
1 nu∈C([0,1] :H (R ))
et que pour a> 0 et α> 1 quelconques,
α2 a|x|u , u ∈L (e dx)0 1
et
α1 2 a|x|H ∈L ([0,1] :L (e dx)).t x
Alors il existe c > 0 tel queα
Z
√
α α2 a|x| /(10 n)sup |u(x,t)| e dx
0≤t≤1 |x|≥cα
Z Z Z Z11 1X
α2 2 2 a|x| l 2≤c(ku k α +ku k α )+c |H(x,t)| e dxdt+c |∂ u(x,t)| dxdt.0 2 a|x| 1 2 a|x| rL (e dx) L (e dx)
n n0 R 0 R
l=0´2 ESTIMATIONS DE LA DECROISSANCE EXPONENTIELLE D’UNE SOLUTION 6
De plus, la constante c dans cette in´egalit´e peut ˆetre prise uniform´ement en a sur un domaine
de a de la forme [t,+∞[ ou` t> 0.
∞D´emonstration : Soit η une fonction radiale C telle que η(x) = 0 si |x| < 1 et η(x) = 1 si
|x|> 2.
R
6
−1
- |x|
−2 −1 1 2
Posons alors η (x) = η(x/R) ou` R ≥ 1, multiplions l’´equation (4) par cette fonction et no-R
tons u (x,t) =u(x,t)η (x). Nous obtenons :R R
i(∂ u)η +(Δu)η = (Vu)η +Hη ,t R R R R
avec
(∂ u)η =∂ (uη ) =∂ ut R t R t R
et
(Vu)η =V(uη ) =Vu .R R R
Soit ensuite j ∈N, 1≤j ≤n. Nous avons :
∂uR
∂ u =x Rj ∂xj
∂u ∂rR
=
∂r ∂xj
xj
=∂ u .r R
r
D’ou` :´2 ESTIMATIONS DE LA DECROISSANCE EXPONENTIELLE D’UNE SOLUTION 7
xj2∂ u =∂ (∂ u )R x r Rx jj r
1 xj= ∂ u + ∂ (∂ u )r R x r Rjr r
1 x xj j
= ∂ u + ∂ (∂ u )r R r r Rr r r
21 xj 2= ∂ u + (∂ u )r R Rr2r r
21 xj 2 2= [(∂ u)η +(∂ η )u]+ ∂ [(∂ η )u+2∂ u∂ η +(∂ u)η ].r R r R r R r r R Rr r2r r
Nous en d´eduisons ensuite :
n 2 2Δu = [(∂ u)η +(∂ η )u]+[(∂ η )u+2∂ u∂ η +(∂ u)η ].R r R r R R r r R Rr rr
n 2= (Δu)η +2∂ u∂ η +u[ ∂ η +∂ η ].R r r R r R Rrr
Ainsi
n 2(Δu)η = Δu −2∂ u∂ η −u[ ∂ η +∂ η ],R R r r R r R Rrr
d’ou,`
n 2i∂u +Δu =Vu +Hη +2∂ u∂ η +u[ ∂ η +∂ η ].t R R R R r r R r R Rrr
L’´equation (4) se r´e´ecrit alors :
˜i∂ u +Δu =Vu +H (7)t R R R R
avec
n 2˜H =Hη +2∂ u∂ η +u[ ∂ η +∂ η ].R R r r R r R Rrr
V´erifions maintenant les hypoth`eses du corollaire 2.1 pour cette nouvelle ´equation.
2 n n 2 nTout d’abord, u∈C([0,1] :L (R )) et η est born´ee surR donc u ∈C([0,1] :L (R )).R Rx x