Universite d Orleans Master Recherche de Mathematiques
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Description

Niveau: Supérieur, Master
Universite d'Orleans – Master 2 Recherche de Mathematiques 2010-11 1 TD Master 2 – Martingales et calcul stochastique Corrige des exercices du chapitre 8 – Integrale d'Ito Exercice 8.1 On considere les deux processus stochastiques Xt = ∫ t 0 es dBs , Yt = e ?tXt . 1. Determiner E (Xt), Var(Xt), E (Yt) et Var(Yt). Xt etant l'integrale d'un processus adapte, on a E (Xt) = 0. Par consequent, l'isometrie d'Ito donne Var(Xt) = E (X2t ) = ∫ t 0 e 2s ds = 12 [e 2t?1]. Enfin, par linearite E (Yt) = 0 et par bilinearite Var(Yt) = e?2t Var(Xt) = 12 [1? e ?2t]. 2. Specifier la loi de Xt et de Yt. Etant des integrales stochastiques de fonctions deterministes, Xt et Yt suivent des lois normales (centrees, de variance calculee ci-dessus). 3. Montrer que Yt converge en loi vers une variable Y∞ lorsque t ? ∞ et specifier sa loi. La fonction caracteristique de Yt est E (eiuYt) = e?u 2 Var(Yt)/2. Elle converge donc vers e?u 2/4 lorsque t?∞.

  • decoulant de l'inegalite de doob

  • combinaison lineaire de variables normales

  • loi normale

  • remplac¸ant ? par ?? dans la definition de xt

  • centree

  • centree de variance

  • variable y∞

  • xt ?


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Extrait

Universit´edOrl´eansMaster2RecherchedeMathe´matiques2010-11
1
TD Master 2 – Martingales et calcul stochastique Corrig´edesexercicesduchapitre8Int´egraledItˆo Exercice 8.1 Onconsid`erelesdeuxprocessusstochastiques Z t st Xt= edBs, Yt= eXt. 0 1.renimrete´DE(Xt),Var(Xt),E(Yt)etVar(Yt). Xtltnatnirge´delaet´´t,enoaunprocessusadapE(Xt) = 0. R t 2 2s1 2t Parcons´equent,lisome´triedItoˆdonneVar(Xt) =E(X) =e ds= [e1]. t 0 2 2t12t Enn,parlin´earit´eE(Yt)=t´eVar(il´naeire0ptraibYt) = eVar(Xt) =[1e ]. 2 2.alrleci´eSpioedXtet deYt. Etantdesint´egralesstochastiquesdefonctionsd´eterministes,XtetYtsuivent des lois normales(centr´ees,devariancecalcule´eci-dessus). 3.Montrer queYtconverge en loi vers une variableYlorsquet→ ∞asreice´pste loi. 2 iuYtuVar(Yt)/2 Lafonctioncaract´eristiquedeYtestEconverge donc vers. Elle= e(e ) 2 u /4 e lorsquet→ ∞´snocraP,tneuqe.Ytconverge en loi vers une variableY, de loi normalecentre´edevariance1/2. 4.ExprimerdYten fonction deYtet deBt. t LaformuledItoˆavecu(t, x) = exdonne tt dYt=eXtdt+ edXt=Ytdt+ dBt. Ytpats´lepeeprocessus d’Ornstein–Uhlenbeck. Exercice 8.2 Soit Z t Xt=sdBs. 0 1.CalculerE(Xt)etVar(Xt). Xtna´e,odaptsusalntt´inta´erpnusecoargedelE(Xt) = 0. R t 2 21 3 =sds=t. Parcons´equent,lisome´triedItoˆdonneVar(Xt) =E(Xt)0 3 2.Quelle est la loi deXt? 1 3 Xt´reeectnirnaedavcestuuiloneorinlemat. 3 3.Calculerd(tBt).`dedialamuorafelˆoItdle LaformuledItˆoavecu(t, x) =txdonne d(tBt) =Btdt+tdBt. 4.e´udriueEdnetrenontilareneXtet Z t Yt=Bsds . 0
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