Universite d'Orleans Universite Franc¸ois Rabelais de Tours Federation Denis Poisson

Denis Poisson

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Universite d'Orleans & Universite Franc¸ois Rabelais de Tours Federation Denis Poisson Master 2 de Mathematiques Outils d'Analyse Harmonique Automne 2011 Integrales singulieres et multiplicateurs de Fourier 1. Transformation de Hilbert et transformations de Riesz La transformation de Hilbert sur R : Hf = 1pi vp 1x ? f , est l'exemple de base d'integrale singuliere (on devrait parler d'operateur plutot que d'integrale). Rappels : • La fonction 1x n'est pas integrable a l'origine (ni a l'infini) sur R. • La valeur principale de 1x est la distribution temperee suivante sur R : ?vp 1x , f ? = lim??0 ∫ |x|>? dx x f(x) = ∫ |x|>1 dx x f(x) + ∫ +1 ?1 dx ∫ 1 0 dt f ?(tx) ? f ?S(R). • Sa transformee de Fourier (au sens des distributions) est egale a ?ipi signe(?)d? . Proposition : (a) H est bornee de Lp(R) dans Lp(R), pour tout 1

• theorie generale des integrales singulieres


• transformation de fourier


• operateur


• outil fondamental pour la theorie l1 des integrales singulieres


• ≤1 dx


• xj xk


• hypotheses du theoreme

Sujets

• Poisson
• Transformée de Fourier
• Opérateur

Informations

• Publié par: profil-ontoe-2012
• Nombre de lectures: 23
• Langue: Français

Extrait

Universit´ed’Orl´eans& Universit´eFran¸coisRabelaisdeTours F´ede´rationDenisPoisson

Master2deMathe´matiques Outils d’Analyse Harmonique Automne 2011

Int´egralessinguli`eresetmultiplicateursdeFourier

1. Transformationde Hilbert et transformations de Riesz Latransformation de HilbertsurR: 1 1 Hf= vp∗f , π x est l’exemple de base d’e´rglaseniugile`reint(on devrait parler d’e´poruetartqueutˆolp d’arelt´egin). Rappels : 1 • abgr`alesipa´entnntse’nofaoitcrinfini)su(eina`’l’lroginiLR. x 1 Lavaleur principaleutibtrisadtlesedesurvantseiuree´me´poitnR: • x Z ZZ Z +1 1 1dx dx ′ hvp, fi= limf(x) =f(x) +fdx dt(tx)∀f∈ S(R). x xx ε→0 |x|>ε|x|>1−1 0 Satransform´eedeFourier(ausensdesdistributions)este´galea`−iπsigne(ξ)dξ. • Proposition : p p (a)Horn´estbedeeL(R) dansL(R1), pour tout< p <∞. 1 1,∞ (b)Hest de type faible (1,1) i.e.Hboe´nredeL(R) dansL(R). De´monstration: 2 2 ◦ Hedee´rnbosteL(R) dansL(R) : 1 1 VialatransformationdeFourier,l’ope´rateurdeconvolutionHf= vp∗f π x c b corresponda`l’op´erateurdemultiplicationHf(ξ) =−isigne(ξ)f(ξ). Onend´eduitl’identit´ekHfk L =kfk L . 2 2 ◦ Hest de type faible (1,voir paragraphe suivant.1) : p p ◦ Htborn´eedeesL(R) dansL(R1), pour tout< p <2 :par interpolation. p p ◦ Hee´nedserobtL(R) dansL(R2), pour tout< p <∞: Pardualit´eetpluspr´ecise´mentenutilisantlefaitquelatransformationdeHilbertH ∗ est anti–hermitienne i.e.H=−H. Remarques : ◦ LnsfoatraedeHrm´eedtrebliitcnofalctracaoniqstri´euef=1l [a,b] d’un intervalle est |x−a| 1 Hf(x) =ln. π|x−b|

1

-1 01 2

-1

|x+ 1| 1 x−7→ln π|x−1|

Hf(xnicnodtelbarge´trigaloesesqumithssnietedir´tugalesenesen)pr´x=aet enx=b. b−a1 A l’infini,Hf(x)∼apertnisrge´elbaesn’artpntco. π x 1 1 Onende´duitqueH´eedborntpasn’eseL(R) dansL(R). En faitkHfk L ≍ kfk L , pour tout 1< p <∞. p p ◦ 2 Celare´sultedel’identite´I=−Heta´liabac,fe`iltrlaiarvmaorsfanoFednoit.reiru ◦ Relation entre la transformation de Hilbert et l’analyse complexe: 2 Conside´ronsleprobl`emedeDirichletdansledemi–planR=R×]0,+∞[ : +  2 Δu= 0dansR, + lim yց0 u(x, y) =f(x)∀x∈R. Sousdeshypothe`sestre`slarges,ceproble`meaunesolutionunique,quiestdonn´eepar Z +∞ y ′ ′ 1 u(x, y) =f∗P y (x) =dx f(x) ′2 2 , π(x−x) +y −∞ 1 y ou`P y (x) = 2 2 Supposons queest le noyau de Poisson.fsnore´disncoetleel´etres π x+y l’int´egraledeCauchy Z +∞ 1 ′ ′ 1 F(x+iy) =dx f(x) ′ . πi x−x−i y −∞ 2 AlorsFest holomorphe dansRr´eetiestimalleeerianigpsra.eS + Z  +∞ ′ ′ 1 y u(x, y) = ReF(x+iy) =dx f(x) ′2 2  π(x−x) +y −∞ Z +∞  ′ ′ 1x−x ′  v(x, y) = ImF(x+iy) =dx f(x) ′2 2 π(x−x) +y −∞ 2 sont des fonctions harmoniquessu´eenjugcodansR, dont les valeurs au bord sontfet + Hf. LestransformationsdeRieszg´en´eralisentlatransformationdeHilbertendimension sup´erieure.Ellessontd´efiniespar x R j f=c n vp n+1 ∗f(j= 1, . . . , n), |x| n1 Γ( ) 2 o`uc n = n1 est une constante de normalisation. π 2 Lemme : x j n (a) Lavaleur principale de n+1 rtsitubisedaltesurvantme´poitnseiuree´R: |x| Z x j x j hvp n+1 , fi= limdx n+1 f(x) |x| |x| ε→0 |x|>ε Z ZZ 1 X n x j x j x k n =dx n+1 f(x) +dx n+1 dt ∂ k f(tx)∀f∈ S(R). |x| |x| k=1 |x|>1|x|≤1 0 i ξ j (b)Satransforme´edeFourier(ausensdesdistributions)este´galea`−. c n |ξ| Proposition : p np n (a) LestransformationsR j e´seedostnobnrL(R) dansL(R), pour tout1< p <∞. 1n1,∞n (b) Pourp=,1ssnoleeln´eetborsdeL(R) dansL(R). De´monstration: 2n2n R j sebtro´neeedL(R) dansL(R) : ◦ x j VialatransformationdeFourier,l’op´erateurdeconvolutionR j f=c n vp n+1 ∗f |x| ξ j d b correspond`al’op´erateurdemultiplicationR j f(ξ) =−i f(ξ). |ξ|

Onend´eduitquekR j fk L ≤ kfk L . 2 2 1n1,∞n R j etsobnrde´eL(R) dansL(Rvoir paragraphe suivant.) : ◦ p np n ◦ R j eeedro´nsebtL(R) dansL(R), pour tout1< p <par interpolation.2 : p np n R j bost´erneedeL(R) dansL(R2), pour tout< p <∞: ◦ Pardualite´etpluspre´cis´ementenutilisantlefaitqueR j est anti–hermitienne. P n Remarque :kfk L ≍ kR j fk L , pour tout 1< p <∞. p p j=1 P n 2 Celar´esultedelapropositionetdel’identite´I=−R. j=1 j Corollaire :k∂ j ∂ k fk L ≤C p kΔfk L , pour tout 1≤j, k≤net pour tout 1< p <∞. p p De´monstration:∂ j ∂ k =−R j R k Δ.

2.De´compositiondeCalder´on–Zygmund Lade´compositiondeCaldero´n–Zygmundconstituel’outilfondamentalpourlathe´orie 1 Loisn.esextens`eresetsilugnisselarge´tinesd 1n The´or`eme:Il existe une constanteC >que, pour toute fonction0 tellef∈L(R) et pour toutα >0, on af=g+bo`u, • g(pourgoodnutsnofeoitcsemnaburbole´ern.pepp.ra)eC α, b(pourbadleabbromend´ouie´tnisnoitcnofed)blesegra)estunesomme(finb j • telles que chaqueb j a son support dans une bouleB j , ◦ Z b j = 0, ◦ Z −1 ◦ |B j | |b j | ≤C α, X −1 |B j | ≤C αkfk L . ◦ 1 j Lade´monstrationreposesurleth´eore`medeHardy–Littlewoodetsurlelemmederecou vrement suivant. Lemme (Whitney): n Pour tout ouvertU( R, il existe des boulesB 1 , B 2 , . . .telles que les boulesB j sont disjointes, ◦ S U= 3B j 3, ou`B j ludealobemecmeeˆequrentigned´esB j et de rayon triple, ◦ j n les boules 4B j rencontrentF=R rU. ◦

3.Th´eorieg´ene´raledesint´egralessingulie`res n The´ore`me:SoitKe´se´pretnmetuoiibtrisedunurRtelle que ∞n b ◦ K∈L(R), 1n ◦ K∈L(R r{0}conditiondeH¨ormnaed:rv)ire´alefi loc Z sup n dx|K(x−y)−K(x)|<+∞. y∈R |x|≥2|y| AlorsT f=f∗Kditun´efinaretpoe´nre´ruob p np n ◦ deL(R) dansL(R), pour tout 1< p <∞, 1n1,∞n ◦ ede´nrobL(R) dansL(R).

(H)