Universite de Nice Annee Departement de Mathematiques Licence MI SM 1e annee

Edmund Landau

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite de Nice Annee 2007-2008 Departement de Mathematiques Licence MI/SM 1e annee Analyse : notes du cours 12 Approximations quadratiques et formule de Taylor On a vu lors du premier cours que pour une fonction derivable x 7? f(x), l'approximation lineaire x 7? L(x) au voisinage d'un point x0, qui s'ecrit L(x) = f(x0) + (x? x0)f ?(x0), et dont le graphe est la droite tangente, fournit une approximation souvent utile de la fonction au voisinage de ce point. C'est ce qu'on appelle l'approximation de la fonction au premier ordre. Ce cours est consacre a l'etude d'approximations d'ordre superieur, notamment d'ordre deux qu'on appelle des approximations quadratiques. 1. Approximations quadratiques Definition : Soit x 7? f(x) une fonction definie au voisinage d'un point x0, c'est-a-dire sur un intervalle ouvert contenant x0, qui soit deux fois derivable. On appelle approximation quadratique de f au point x0 la fonction x 7? Q(x) suivante : Q(x) = f(x0) + (x? x0)f ?(x0) + 1 2 (x ? x0)2f”(x0). On notera que Q(x) est un polynome de degre 2 en x dont le graphe est donc une parabole, convexe si f”(x0) ≥ 0 et concave si f”(x0) ≤ 0.

• reste de taylor


• polynome de taylor


• x0 ?


• approximation


• limite unique


• indeterminations dans le calcul de limites


• consideree possede des derivees continues


• qualite de l'approximation

Sujets

• Landau
• Approximation

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Universit´e de Nice Ann´ee 2007-2008
D´epartement de Math´ematiques Licence MI/SM 1e ann´ee
Analyse : notes du cours 12
Approximations quadratiques et formule de Taylor
On a vu lors du premier cours que pour une fonction d´erivable x 7→ f(x), l’approximation lin´eaire
x7→L(x) au voisinage d’un point x , qui s’´ecrit0
0L(x)=f(x )+(x−x )f (x ),0 0 0
etdontlegrapheestladroitetangente,fournituneapproximationsouventutiledelafonctionauvoisinage
de ce point. C’est ce qu’on appelle l’approximation de la fonction au premier ordre. Ce cours est consacr´e
a` l’´etude d’approximations d’ordre sup´erieur, notamment d’ordre deux qu’on appelle des approximations
quadratiques.
1. Approximations quadratiques
D´efinition : Soit x7→f(x) une fonction d´efinie au voisinage d’un point x , c’est-`a-dire sur un intervalle0
ouvert contenant x , qui soit deux fois d´erivable. On appelle approximation quadratique de f au point x0 0
la fonction x7→ Q(x) suivante :
10 2
Q(x)=f(x )+(x−x )f (x )+ (x−x ) f”(x ).0 0 0 0 0
2
On notera que Q(x) est un polynˆome de degr´e 2 en x dont le graphe est donc une parabole, convexe si
f”(x )≥ 0 et concave si f”(x )≤ 0.0 0
Par exemple, les approximations lin´eaire et quadratique de la fonction cos(x) au point x=0se
0calculent de la fa¸con suivante : comme (cos(x)) = −sin(x) et (cos(x))” = −cos(x), on a f(x)=0
0cos(0) = 1, f (x )=−sin(0) = 0 et f”(x )=−cos(0) =−1. Donc L(x) = 1 (pas de terme de degr´e 1 en0 0
1 2x)etQ(x)=1− x . La figure ci-dessous montre les graphes du cosinus et de ses deux approximationsL2
et Q. On constate que la parabole graphe de Q est tangente au cosinus, comme sa droite tangente, mais
qu’elle fournit une bien meilleure approximation.
1.5
1.0
0.5
0.0
−3 −2 −1 0 1 2 3
−0.5
−1.0
−1.5
Fig. 1 – Graphes de la fonction cos(x) et de ses deux approximations lin´eaire L(x) et quadratique Q(x)
au voisinage du point x=0.
Comment mesurer de fa¸con pr´ecise la qualit´e de l’approximation et que signifie l’affirmation que
l’approximation de f par Q est meilleure que par celle par L? Nous allons utiliser pour cela une notation
tr`es utile, not´ee ε(x−x ) et dite “epsilon de x moins x ” qu’on peut rappocher des fonctions o et O de0 0
Landau.
Le math´ematicien Edmund Landau (1877-1938) est en effet rest´e c´el`ebre pour avoir popularis´e les
symboles o (dit petit o)etO (dit grand O) qui sont des fonctions ayant des comportements limite
particuliers que l’on peut d´efinir de la fa¸con suivante :
D´efinition : On d´esigne par ε(x− x ) toute fonction f d´efinie au voisinage de x et qui v´erifie0 0
lim f(x) = 0. On aura donc toujours lim ε(x−x ) = 0. De mani`ere analogue, on d´esignex−→x x−→x 00 0
f(x)
par o(x−x ) toute fonction f d´efinie au voisinage de x et qui v´erifie lim = 0. On aura donc0 0 x−→x0 x−x0
1o(x−x )0toujours lim = 0. Enfin un O(x−x ) est une fonction qui reste born´ee lorsque x tend versx−→x 00 x−x0
x . Ainsi par exemple la fonction x7→ sin(x−1) est un ε(x−1) (et aussi un O(x−1)) mais on verra0
sin(x−1)
que ce n’est pas un o(x−1) car lim =1=0.x→1 x−1
2. Formules de Taylor `a l’ordre 2
Lors du premier cours on a vu qu’une fa¸con de mesurer la qualit´e de l’approximation d’une fonction
f(x)−L(x)
f par sa lin´earis´ee L est d’´ecrire que lim = 0. Cela revient a` dire que l’´ecart f(x)−L(x)x−x0 x−x0
entre la fonction et sa lin´earis´ee est un o(x−x ), ce que l’on pr´ef`erera´ecrire ici en disant qu’il existe un0
ε(x−x ) tel que0
f(x)−L(x)=(x−x )ε(x−x ).0 0
On a de mani`ere analogue le r´esultat suivant :
Proposition 1 Si x 7→ f(x) est une fonction deux fois d´erivable, d´efinie au voisinage d’un point x ,0
alors il existe une fonction ε(x−x ) telle que0

10 2 2f(x)−Q(x)=f(x)− f(x )+(x−x )f (x )+ (x−x ) f”(x ) =(x−x ) ε(x−x ). (1)0 0 0 0 0 0 0
2
Preuve : La preuve de ce r´esultat part du th´eor`eme fondamental de l’analyse qui permet d’´ecrire une
fonction comme la primitive de sa d´eriv´ee :
Z x
0f(x)=f(x )+ f (t)dt.0
x0
Rx 0 0 0On r´e´ecrit cette ´egalit´e f(x)=f(x )+ (x−t) f (t)dt (en remarquant que (x−t) = 1). Puis on fait0 x0
une int´egration par partie :
Z Z Zx x x
x0 0 0 0(x−t) f (t)dt=[−(x−t)f (t)] − −(x−t)f”(t)dt=(x−x )f (x )+ (x−t)f”(t)dt.0 0x0
x0 x0 x0
Il reste alors a` montrer que cette derni`ere int´egrale v´erifie :
Z x
1 2 2(x−t)f”(t)dt = (x−x ) f”(x )+(x−x ) ε(x−x ).0 0 0 0
2x0
Pour cela on remplace f”(t) par f”(x )+f”(t)−f”(x ):0 0
Z Z Zx x x
(x−t)f”(t)dt = (x−t)f”(x )dt+ (x−t)(f”(t)−f”(x ))dt.0 0
x0 x0 x0
1La premi`ereint´egraleest´egalea` (x−x )f”(x ) et, pour la seconde, on poseM(x) = Sup (f”(t)−0 0 x ≤t≤x02
f”(x )). Cette borne sup´erieure est bien atteinte puisque t7→ f”(t)−f”(x ) est continue et l’intervalle0 0
[x ,x] ferm´e et born´e. Comme x−t>0 pour tout t dans cet intervalle, on a0
Z Zx x 2(x−x )0
(x−t)(f”(t)−f”(x ))dt<M(x) (x−t)dt =M(x) .0
2x x0 0
Il suffit alors de v´erifier que l’on a bien lim M(x) = 0, ce qui d´ecoule de la continuit´e de f”. 2x→x0
D´efinition: Laformule(1)s’appellelaformuledeTaylora`l’ordre2.Ilexisteplusieursfa¸consd’exprimer
le reste de Taylor (´ecart entre la fonction et son approximation quadratique), en voici deux autres :
Formule de Taylor-Lagrange, a` l’ordre 2
31 (x−x )00 2f(x)=f(x )+(x−x )f (x )+ (x−x ) f”(x )+ f”(c) (2)0 0 0 0 0
2 3!
o`u c∈]x,x [six<x et c∈]x ,x[ sinon.0 0 0
Formule de Taylor avec reste int´egral, a` l’ordre 2
Z x
1 10 2 2 0f(x)=f(x )+(x−x )f (x )+ (x−x ) f”(x )+ (x−x ) f” (t)dt. (3)0 0 0 0 0 0
2 2x0
2
6On a donn´e ici les diverses versions de la formule de Taylor a` l’ordre 2. Chacune d’elles peut-ˆetre
g´en´eralis´ee a` l’ordre 3, 4, ..n pourvu que la fonction f consid´er´ee poss`ede des d´eriv´ees continues jusqu’`a
l’ordre 3, 4, ...n. Voici la formule de Taylor g´en´erale (pour une fonction poss´edant des d´eriv´ees `a tout
ordre) lorsqu’on exprime le reste a` l’aide d’un ε(x−x ) comme dans la proposition :0
Proposition 2 Si x7→f(x) est une fonction ind´efiniment d´erivable, d´efinie au voisinage d’un point x ,0
alors pour tout n≥ 1 il existe une ε(x−x ) telle que0
n(x−x )00 (n) nf(x)=f(x )+(x−x )f (x )+...+ f (x )+(x−x ) ε(x−x ) (4)0 0 0 0 0 0
n !
(n)o`u f (x) est une notation pour la d´eriv´ee n-i`eme de f. A noter que la fonction P (x)=f(x )+(x−n 0
n(x−x )0 0 (n)x )f (x )+...+ f (x ) est un polynˆ ome de degr´e n que l’on appelle le polynˆome de Taylor de0 0 0n !
f au point x . Les polynˆ omes de Taylor d’ordre 1 et 2 sont respectivement l’approximation lin´eaire et0
l’approximation quadratique de la fonction.
Exemple : Voici par exemple le calcul des polynˆomes de Taylor de la fonction x7→ sin(x) d’ordre 1 `a 7
en x = 0 et une figure repr´esantantles graphes de ces polynˆomes ainsi que celui de la fonction elle-mˆeme.
n n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7
(n)f (x) sin(x) cos(x) −sin(x) −cos(x) sin(x) cos(x) −sin(x) −cos(x)
(n)f (x ) 0 1 0 −1 0 1 0 −10
(n)f (x )0 n 1 3 1 5 1 7(x−x ) 0 x 0 − x 0 x 0 − x0n ! 3! 5! 7!
On d´eduit du tableau que
P (x)=P (x)=x1 2
3xP (x)=P (x)=x−3 4 6
3 5x xP (x)=P (x)=x− +5 6 6 120
3 5 7x x xP (x)=x− + − .7 6 120 5040
3
2
1
0
−6 −4 −2 0 2 4 6 8
−1
−2
−3
Fig. 2 – Graphes de la fonction sin(x) et de ses polynˆomes de Taylor d’ordre 1, 3 et 5 au point x=0.A
priori les approximations fournies par les polynˆomes de Taylor ne sont que des approximations locales en
ce sens qu’elles ne sont valables que lorsque x tend vers x . Mais sur cette figure on voit clairement que0
l’intervalle sur lequel un polynˆome de Taylor colle a` la fonction va en grandissant avec n.
3. D´eveloppements limit´es
D´efinition : On dit qu’une fonction f poss`ede un d´eveloppement limit´e au voisinage d’un point x si0
pour tout x appartenant a` un voisinage de x on a l’´egalit´e0
nf(x)=P (x)+(x−x ) ε(x−x )n 0 0
3o`u P (x) est un polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal a` n. Pour une fonction n fois d´erivable, len
d´eveloppement de Taylor fournit un d´eveloppement limit´e. On s’assure facilement qu’une fonction ne
peut pas avoir deux d´eveloppements limit´es diff´erents. Lorsqu’elle poss`ede un d´eveloppement de Taylor,
celui est donc son d´eveloppement limit´e unique.
Exemple: Onutiliselesd´eveloppementslimit´espourtoutesortedecalculs,pourleverdesind´eterminations
dans le calcul de limites, pour calculer des primitives, trouver le signe d’une quantit´e, etc... Par exemple,
la limite suivante est ind´etermin´ee (puisque le num´erateur et le d´enominateurs tendent l’un et l’autre
vers 0). On la calcule pourtant facilement :
3 13 3 x ( +ε(x))sin(x)−x (x−x /3+x ε(x))−x 16lim = lim = lim = lim x( +ε(x)) = 0.
2 2 2x→0 x→0 x→0 x→0x x x 6
Les d´eveloppements limit´es peuvent s’aditionner, se multiplier, se diviser, se composer, ...les r`egles
xde calcul d´ecoulent des r`egles d