Universite de Nice Sophia Antipolis

Sophia Antipolis

Description

Niveau: Supérieur
Universite de Nice Sophia Antipolis Corrections Feuille 3 Exercice 1. — 1-a. Rang de f . Le rang de f est par definition la dimension de Im(f), mais on sait que cet entier est aussi le rang de n'importe quelle matrice representant f (quelles que soient les bases au depart et a l'arrivee). Par definition le rang d'une matrice est le nombre maximal de colonnes lineairement independantes (il s'agit aussi du nombre maximal de lignes lineairement independantes). Ici le rang de M est 2, donc rg(f) = rg(M) = 2. Noyau de f . Soit (x, y, z) ? Ker(f). Alors [(x, y, z)] C = ? ? x y z ? ?. D'autre part [f(x, y, z)] C = M · [(x, y, z)] C et f(x, y, z) = 0 ? [f(x, y, z)] C = ? ? 0 0 0 ? ?. Cette egalite conduit au systeme suivant, portant sur les coordonnees dans la base canonique d'un vecteur du noyau : ? ? ? x + y + 2z = 0 x = 0 3x = 0 ? { y = ?2z x = 0 Donc, en quittant les coordonnees dans la base canonique et

• ?m ?2


• u1 ·


• invariant des matrices equivalentes


• ????? ligne


• base de im


• colonnes elementaires


• systeme deja


• ?5y ?

Sujets

• Antipolis
• Narman

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Universite de Nice Sophia Antipolis

Corrections Feuille 3

Exercice 1.— 1a. Rangdef.Le rang defimadnliodeonsientsapenfitidre´I m(f), mais on sait quecetentierestaussilerangden’importequellematricerepr´esentantf(quelles que soient les bases au d´eparteta`l’arrive´e).Pard´efinitionlerangd’unematriceestlenombremaximaldecolonnesline´airement ind´ependantes(ils’agitaussidunombremaximaldelignesline´airementind´ependantes).IcilerangdeMest 2, doncrg(f) =rg(M) = 2.   x   Noyau def.Soit (x, y, z)∈Ker(f[(). Alorsx, y, z)] C =ypart [. D’autref(x, y, z)] C =M∙[(x, y, z)] C z   0   etf(x, y, z) = 0⇔[f(x, y, z)] C Ce.0alege´ttdnoce´tisysuatiu=´ennest`emesuivant,porattnuslrseocrood 0 dans la base canonique d’un vecteur du noyau :    x+y+ 2z= 0 y=−2z x= 0⇔  x= 0 3x= 0

Donc,enquittantlescoordonne´esdanslabasecanoniqueetenrevenantauxvecteurs: ker(f) ={(0,−2z, z), z∈ R } ={z.(0,−2,1), z∈ R }. = Vect((0,−2,1)) Le vecteur (0,−2,1), qui engendre ker(f) est non nul, donc constitue une famille libre de ker(f) et ainsi une base. Image def.me`eor´ethlearP(mgnidudarI m(f)) = 2.Les vecteursf(e 1 ), f(e 2 ), f(e 3 ) engendrent l’image defen extrait une base de. OnI m(f), en trouvant une famille libre maximale parmi ces trois vecteurs.Or unefamilleestlibressilafamilledesescoordonn´ees(dansn’importequellebase)estlibre.Lesdeuxpremi`eres colonnes deMdsna´neestnosrbiltesesocelentoosconrdCdef(e 1 ) etf(e 2 ). Enrevenant aux vecteurs, (f(e 1 ) = (1,1,3), f(e 2 ) = (1,0,0)) est une base deI m(f). 1b. Rangdeg.L’applicationgsertpe´rnsdaeet´enesBparMecirtamemeˆmal,teesenepr´quirfdans Cudtidne´O.en:rg(g) =rg(M) =rg(g).    x0    Noyau deg.Soitu∈Ker (g). Notons[u] B =y[t,.Coce´rpemmnemmede´f(u)] B =M∙[u] B = 0 z0 conduitausyst`emed´ej`ar´esoluci-dessus,portantsurlescoordonne´esdansBOn a :d’un vecteur du noyau.  [u] B =z(0,−2,1), quel que soitz∈R. Unebase de ker(glrveeeapruceetdcno´nno)dtsekordodecoesnn´e   (0,−2,1) dansB. Donck= 0∙a−2∙b+ 1∙c= (−1,0,1). Image deg.ruDemˆemequepof, une base deI m(ges)ontdeen´rlpasruetcevxuedsdees´enndoorcoes   g(a) etg(beca`rgaˆnuesobte),M. Onobtient :g(a) = 1∙a+ 1∙b+ 3∙c= (5,4,3) etg(b) = 1∙a= (1,0,0).  Expression deg.Soitu= (x, y, znotant [). Enu] B = (α, β, γ), comme (x, y, z) =α∙a+β∙b+γ∙c, on estconduitausyst`eme:   α+β+γ=x β+γ=y  γ=z   x−y   Cesyst`emedonne:[u] B =y−z. Ona d’autre part :[g(u)] B =M∙[u] B dnenude´uqti[:e.Og(u)] B = z   x+z    M∙[u] B =x−ysorte que :. Deg(x, y, z) = (x+z)∙a+(x−y)∙b+(3x−3y)∙c= (5x−4y+z,4x−4y,3x−3y). 3x−3y

1c. Rangdeh.Le rang dehntltsenarenedgorte’implemaquelrepertcineat´rseh:rg(h) = rg(Mat(h,C,B)) =rg(MEn revanche la trace de) = 2.hpr´esentatricereel’dnumetioicnlerdpafin´estetnah, pourvuquelesbaseschoisiessoientlesmeˆmesaud´epartet`al’arrive´e.Repre´sentonsalorshdans la baseB.     1 1 21 1 11 2 4 3     On a :Mat(h,B,B) =Mat(h,C,B)× Mat(,I dB,C) =1 0 0×Donc= 11 1 .0 1 1 R 3 0 00 0 13 3 3 T r(hNoter que) = 5.T r(Mat(h,C,B))=T r(Mat(h,B,B)).

1d/e.rtcisee´nadtseamtes,ieququivaleneioseltneuqesellsatsmceriLrivainunstgeanerPetQ inversibles,rg(P∙M∙Q) =rg(Msinvariantsdesmartcise)venaE.rn´eedelchaninrmteartaltetedtnosec −1−1 semblables, ie :T r(P∙M∙P) =T r(M) et det(P∙M∙P) = det(Metd´du´eitllnulaemmoC.)antnreim signifie que le rang est< natsmceriiaardentutsevnineleugnarlit´e(etna:lanuleltnseo,´sqeiuavlaetq nonnullite´)dude´terminantestuninvariantdesmatrices´equivalentes,iedet(P∙M∙Q) = 0⇔det(M) = 0 et det(P∙M∙Q)= 0⇔det(M)= 0. Pour les matrices de passage :    SoientB={b 1 ,∙ ∙ ∙, b n }etD={d 1 ,∙ ∙ ∙, d n }dxbeuesasund’rieleepsˆmmeceotcaveE. Lamatrice de passage de la baseBasabal`eDartpescieonlamatrd´efinitiMat(I d,B,Dacevutitna,e´ioatdeniapl’icpl)ed de´partlabaseBsaelebavie´a’rrt`aleDnodee´rracecirtaamtldintmereut.Aseltolocsenntnossclerdooneones´e   desI d(b j ) =b j dans lesd k :

  b 1 ∙ ∙ ∙b j ∙ ∙ ∙ b n   1n  a∙ ∙ ∙a 1 1 d 1   Mat(Id,B,D) =   , . . .  1n a∙ ∙ ∙a d n n n n  j   avecb j =a .d k . k k=1 3 Ici on obtient, en notantCla base canonique deR, etB´el’arep´enndolecle:e´cnon   1 1 1   Mat(Id,B,C0 1 1) = 0 0 1  Pour calculerMat(Id,C,B) il faut exprimer les vecteurse 1 e, 2 ,e 3 de la base canoniqueCsur ceux,,ab,c,   de la baseBa :. One 1 =,ae 2 =b−ae, 3 =c−b,d`u’o:   1−1 0   Mat(Id,C,B0 1) =−1 0 01 On remarque l’on a :Mat(Id,B,C)× Mat(Id,C,B) =I,o`uI3ecnutie´tlamatries×3, ieMat(Id,B,C) =   −1 Mat(Id,C,B) =Itnauqramtamaleuql’deceriaticplapedtnoiinvacetie´emeblamˆud´easeatrapte.ernE a`l’arriv´eeestlamatriceunite´Ianivsumeamgriaud:t,ecttpeorrpi´et´esed´eduitd

Id Id 3 3 3 R−→R−→R B C B M at(Id,B,C) M at(Id,C,B) Id 3 3 R−−→R B B M at(Id,B,B)=I= M at(Id,C,B)× M at(Id,B,C) Onaensuite,parlemeˆmetypedediagramme:Mat(f,C,B) =Mat(I d R ,C,B)× Mat(f,C,C). 3 Exercice 3.—SoitAla matrice defdans une baseB= (a, b, ca :). On    0−1    [c] B [= 0f(c)] B = 0 1−1