Universite de Nice Sophia Antipolis L1 MP MI Algebre semestre

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Universite de Nice Sophia-Antipolis L1 - MP - MI Algebre 09-10 semestre 2 Feuille 1 Corps des nombres complexes Exercice 1 – Mettre sous la forme x+ iy avec x, y reels les nombres complexes : (3? 2i)2 ; (3? 2i)3 ; 1 3? 2i ; 1 (3? 2i)(1? i) ; 2? i (3? i)(1? 2i) . Exercice 2 – Determiner sous la forme x+iy avec x, y reels les nombres complexes z solutions des equations : a) 4iz + 4? 3i = 0 b) (10? 2i)z + 5 + 7i = 0 c) (1? i)z ? 4 + 5i = 0 Exercice 3 – Determiner les couples de complexes solutions du systeme d'equations : [ (1 + i)z1 ? 2z2 = 3? i iz1 + (3 + 2i)z2 = 1 + 2i En deduire les couples de complexes solutions du systeme d'equations : [ (1? i)z1 ? 2z2 = 3 + i ?iz1 + (3? 2i)z2 = 1? 2i Exercice 4 – (Equations du second degre a coefficients reels) Trouver les nombres reels ou complexes solutions des equations suivantes : 1a) x2 = 32 49 ; 1b) x2 = 0 ; 1c) x2 = ?17

• c? ?c


• couples de complexes solutions du systeme d'equations


• nature des similitudes directes


• loi de composition des applications


• solutions de l'equation z2


• point fixe


• coefficients complexes


• meme question avec ? ?

Sujets

• Point fixe

Informations

• Publié par: profil-ontoe-2012
• Nombre de lectures: 18
• Langue: Français

Extrait

Universit ´ edeNiceSophia-AntipolisL1-MP-MIAlge ´ bre 09-10 semestre2 Feuille 1 Corps des nombres complexes Exercice 1–Mettre sous la formex+iyavecx, yeeslelns´rmplexes:ombresco 1 12−i 2 3 (3−2i) ;(3−2i; ;) ;. 3−2i(3−2i)(1−i) (3−i)(1−2i) Exercice 2–rofalsuosrenimreD´etmex+iyavecx, yxelpse´selerlnoesrembomsczsolutions des´equations: a) 4iz+ 4−3i= 0 b) (10−2i)z+ 5 + 7i= 0 c) (1−i)z−4 + 5i= 0 Exercice 3–eq’´tiuat`ysedemnoitsudssexeulosno:spuelseocmolpdsceD´etnerlermi " (1 +i)z 1 −2z 2 = 3−i iz 1 + (3+ 2i)z 2 = 1+ 2i Ende´duirelescouplesdecomplexessolutionsdusyste`med’´equations: " (1−i)z 1 −2z 2 = 3+i −iz 1 + (3−2i)z 2 = 1−2i ´ Exercice 4–itauqE(cesudsnorlvenoesremb´esrosleuonddegr´e`acoefficeitnrse´le)srTuo complexessolutionsdese´quationssuivantes: 32 2 22 1a)x1= ;b)x= 0; 1c)x=−17 49 √ 1 31 5 2 22 2a) (x−)−= 0; 2b) (3x−0 ;2) =2c) (x−) += 0 2 42 4 √ 13 2 22 3a) 6x−5x; 3+ 1 = 0b) 9x2+ 12x+ 8 = 0; 3c)x−x0+ = 36 ´ Exercice 5–´r`eddgecffieicaeotionEquaeconsdus(rmemretrenisuosofalscntplomesex´e)D 2 x+iyavecx, yeesleldsuenxmorbnr´ioatqu´el’densiotulossexelpmocsez=cdans les cas : c= 3 + 8i;c=−11 + 4i;c= 1−i . 2 22 22 (Unem´ethodeconsiste`aremarquerque|z|=x+y=|c|, x−y= Recrminerle,`ad´etes 2 2 couples (yx ,), puis les couples (x, y) en tenant compte du signe de 2xy= Imc). ´ Exercice 6–(Endcosedunsioatquneicffieoca`e´rgedstocpmelex)s´Dteerminersouslaforem x+iyavecx, yselpxee´rslelnoesrembomsczsoisnlotuequades´s:tion

2 a)z+ (2 +i)z−i= 0 2 b)z−(1 + 2i)z+ 2 = 0 2 c) 4z+ (2−6i)z−8−6i= 0 De´duiredea)lessolutionscomplexesdel’e´quation: 2 z+ (2−i)z+i= 0 . Exercice 7–:selexsnomntdecompbresreelmrnie´etDgumel’arleetmodu √ √ 1 +i −1 ;1−i;−+ 22 3i+; (1i)( 3−i) ;. 3−i Ende´duireparexemplelemoduleetl’argumentdescomplexesztels que √ 5 3 z= 1−i;z= (1 +i)( 3−i). Exercice 8–laetxetfiinpoleernimrete´D)etceriudedilit(simctes:udesdiressmilitianutered φ 1 :C→C;z→φ 1 (z) = 2iz+ 1−3i φ 2 :C→C;z7→φ 2 (z) = (1−i)z+ 1−3i √ φ 3 :C→C;z7→φ 3 (z) = (1 +i3)z+ 1−3i √ 3i φ 4 :C→C;z7→φ 4 (z) = (−)z+ 2 +i 2 2 Exercice 9–irecte)Consid´ernolsseisimiluted:setceridsmis(tilidedu φ:C→C;z7→φ(z) = (1 +i)z+ 2 + 3i √ 3i ψ:C→C;z7→ψ(z+ )) = (z+ 1 +i 2 2 1)De´terminerlepointfixeetlanaturedeφet deψ. 2)Pre´ciserl’applicationcompos´eeφ◦ψi’sla’igtstareuq.Connerte´Dimreerid.etclimidetu’utdsine son point fixe et sa nature. 3)Meˆmequestionavecψ◦φ. −1−1 4) Nous savons queφetψs,pr´ecisersnobtjiceitevφetψ. −1−1 5) Constater queφetψ.Pr´cteseravecislitissmiiderdusesursodentsnasteceelluclac points fixes et leurs natures. Exercice 10–Donner une expression de cos3θ3et sinθa`’liaedscodeθet sinθcela,. Pour inθ iθn on utilisera que pour tout entier relatifneoet´trutleθ:e= (evace.M)meˆeesquonti cos 5θet sin5θ

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Exercice 11–Soitθeleetunnombrer´z= cosθ+isinθ. Montrerque pour tout entiern:    n n 1 1 n n 2cosnθ=z+ ;2isinnθ=z− z z    5 5 1 1 5 5 End´eveloppantz+ etz−, donner une expression de cosθet sinθl’`aediaed z z cos 5θ, sin5θ3, cosθ, sin3θ, cosθet sinθ Exercice 12–outrourt´eelM)no1uqpertreθ:  ! ! ! ! ! ! θ θθ θθ θ 2 22 2 cosθ= cos−sin =2cos−1 = 1−2sin ;sinθsin= 2cos 2 22 22 2 θ 2)D´eduirea`l’aidelemoduleetl’argumentdunombrecomplexe: 2 iθ e−1 = cosθ+isinθ−1. 3) Montrer que pour tout nombre complexezdistinct de 1 : n n +1 X z−1 k n z= 1 +z+∙ ∙ ∙+z= z−1 k=0 4) Soitθlee´tsidmonnrerb2oductin0mdeπque pour tout entier. Montrern: n θ X θ sin(n+ 1) ikθ iθinθ in 2 e= 1 +e+∙ ∙ ∙+e=e 2 θ sin k=0 2 5)End´eduirequepourtoutentiernetθ´erdielinstedtcdom02π: n n X X 1 1 |coskθ|≤et|sinkθ|≤ θ θ |sin| |sin| k=0 2k=0 2 z−i Exercice 13–1) Soitztneredldpemxoeec´nffui−ique le nombre complexe. Montrer z+i estdiffe´rentde1. z−i On note alorsf:C− {−i} →C− {1}plapl’reiape´nfioidncitaf(z.) = z+i −1 2) Montrer quefitceD.evete´nimreresijtbf. 3) Montrer quefadmet deux points fixesz 1 etz 2 ete´dno’.arenimrelqu 4) Montrer qu’il existe un complexeaesare´icnoqrpeu’luturtouepotelqzdictinct de−iet z 2 : f(z)−z 1 z−z 1 =a f(z)−z 2 z−z 2 5)D´eterminerdeuxcomplexescetdtels que pour tout complexezdistinct de−i: d f(z) =c+ z+i

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+ Exercice 14–s.ridsetceilimedutbled(esssiiml’ensemi`dderretScesmeiOl)ictnidnuosies Pouraun nombre complexe non nul etbun nombre complexe, on noteφ a,b la similitude directe : φ a,b :C→C;z7→φ a,b (z) =az+b 0 0 1) Soita, ades complexes non nuls etb, bedmocsees´polpci’lpacnmotaoies.Pplexiserr´ec φ a,b ◦φ a ,b . 0 0 −1 2) Montrer queφitceteevsejibtrneetd´mierφMontreC→Ciepard´efin a,b a,b . rque Id C : Id C (z) =zest une similitude directe. + 3)MontrerqueSimpourlaloidecompositiondesapplicationsestungrouped’e´l´ementneutre Id C . 4)D´eterminerenfonctiondeaetbles points fixes deφ a,b . 0 0 0 M ,M ,M. NotonsMM ,M ,le ntsdont les affixes Soitz 0 , z 1 , z 2 les affixes de 3 points 0 1 2 0 1 2 s poi sontφ a,b (z 0 ), φ a,b (z 1 ), φ a,b (z 2 ). 5) Montrer que − 0 −−→ 0 −−−→ Mk= k 0 M 1 |a|kM 0 M 1 k Ende´duirequesiMd’affixeznuecrctiedeccrel’aΩdrentd´eeffixωet de rayonR, les points d’affixesφ a,b (zceirevtnnueccrel)d´.aelqunp’oecr´eris 6)Montrerl’e´galite´desanglesdevecteurs: → d −−− − 0 −− 0 0 → 0 −−−→ d −−−→ M M ,M) = (M M ( 0 1 M 0 1 0 2 , M 0 M 2 ) Ende´duirequesiMd’affixezsxeutenrdio´dceirintsd’affite,lespoφ a,b (zriecd´)denutnev.etior ∗ Onconsid´erel’ensembleC×Couscespl,b(ael)teuqse´edofmraest un nombre complexe non ∗ nul etbOne.nsco`eidlareiiolretnenunnmorbcemolpxe?surC×Cd´efiniepar: 0 00 0 (a, b)?(a , b) = (aa , ab+b). ∗ 7) Montrer que muni de cette loiC×Cresiapnotce´restoupeungrmoumoncndfnoatit l’´el´ementneutre. 8) Montrer que l’application : ∗ + C×C→(Sim :a, b)7→φ a,b est un morphisme de groupe. 9)Montrerquecemorphismedegroupesestbijectifetd´eterminersoninverse.

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