Universite de Nice Sophia Antipolis Licence L3 Mathematiques Annee

Sophia - Antipolis Licence

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite de Nice Sophia-Antipolis Licence L3 Mathematiques Annee 2008/2009 Analyse Numerique TD 6 EXERCICE 1 Matrices diagonales, triangulaires 1.1 Matrices diagonales Soit D = (dii)i=1,...,n une matrice diagonale d'ordre n > 0. Donner une condition necessaire et suffisante pour que D soit inversible. 1.2 Matrices triangulaires inferieures Soit L une matrice triangulaire inferieure d'ordre n > 0. a. Sous quelle condition necessaire et suffisante L est-elle inversible ? b. On suppose que la matrice triangulaire inferieure L est inversible. Soit b un vecteur colonne ayant n composantes. Donner un algorithme qui permet de resoudre l'equation d'inconnue y : Ly = b . Quel est le cout de cet algorithme en termes d'operations elementaires (additions, multi- plications, divisions) ? 1.3 Matrices triangulaires superieures On considere une matrice triangulaire superieure U d'ordre n > 0. a. Donner une condition necessaire et suffisante pour que U soit inversible. b. On suppose que la matrice triangulaire superieure U est inversible. Soit y un vecteur colonne donne ayant n composantes. Ecrire un algorithme qui permet de resoudre l'equation d'inconnue x : U x = y . Donner la complexite de cet algorithme. EXERCICE 2 Methode d'elimination de Gauss 2.1 Des exemples Effectuer une elimination de Gauss sur les systemes lineaires suivants ? ? 2 4 4 1 3 1 1 5 6 ? ? ? ? x1 x2 x3 ? ? = ? ? 2 1

• systeme par la methode de gauss


• x1 x2


• disques de gerschgorin


• methode de l'elimination de gauss


• x3 x4


• elimination de gauss sur les systemes lineaires

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Extrait

Universit´edeNiceSophia-Antipolis LicenceL3Math´ematiques

Anne´e2008/2009

AnalyseNume´rique TD 6

EXERCICE 1 Matrices diagonales, triangulaires

1.1 Matricesdiagonales SoitD= (d ii ) i=1,...,n une matrice diagonale d’ordren >oDnn.0onn´ditieconeruneriassece et suffisante pour queDsoit inversible.

1.2Matricestriangulairesinf´erieures SoitLro’derueerdirlaguanri´enfeiuenamrtciteirn >0. a.effiusttnas´nceitnorieeseassqueSouondillecL?est-elle inversible b.Oerueire´fningulairericetriauqlematasnpuopesLest inversible. Soitbun vecteur colonne ayantncomposantes. Donnerunalgorithmequipermetdere´soudrel’e´quationd’inconnuey: L y=b . Quelestlecoˆutdecetalgorithmeentermesd’op´erationse´le´mentaires(additions,multi- plications, divisions)?

1.3Matricestriangulairessup´erieures Onconsid`ereunematricetriangulairesup´erieureUd’ordren >0. a.uqeoprureetssaiantesuffistidnocenece´nnoiruneonDUsoit inversible. b.eirueiangulairesup´eruqesmaleirtartecnsOpoupUest inversible. Soityun vecteur colonnedonne´ayantncomposantes. ´ Ecrireunalgorithmequipermetder´esoudrel’´equationd’inconnuex: U x=y . Donnerlacomplexit´edecetalgorithme.

EXERCICE 2 Me´thoded’´eliminationdeGauss

2.1 Desexemples Effectuerunee´liminationdeGausssurlessyste`mesline´airessuivants     2 4 4x 1 2     1 3 1x 2 = 1 , 1 5 6x 3 −6 1

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Anne´e2008/2009

    1 06 2x 1 6 8 0−2−2x 2 −2    =.     2 91 3x 3 −8 2 1−3 10x 4 −4

2.2Casg´ene´ral Onconsid`eremaintenantlecasge´n´erald’unsyst`emelin´eaireA x=b. ´ a.dodeGeualrmae´htst`emepaondecesyose´itulmhtiredenaeuorlgEircr.ss b.mh.eroti´eitexpllgtacedenoDmocalren

EXERCICE 3 Factorisation LU

3.1 Unexemple Onrevientsurlapremie`rematricedonne´edansl’exercice2:   2 4 4   1 3 1 . 1 5 6 Effectuer une factorisationLUrtamoeciu`ecdteetLni´fiaerruereeiriceematngultriaenuts ayant des 1 sur sa diagonale etUieure.resup´eraignluiatairecrtmenutse

3.2Casge´ne´ral a.epeldurotronquerMsinfairengultriaciseamrtedxutiedsteedroremeˆmedserueire´ unematricetriangulaireinfe´rieure. b.SoitLveinetre.leibrsunematricetrianugalriiefne´irue −1 Montrer que son inverseLfnieire´ugnarialreeu.esalemt´egenamneutteirrtci c.SoitAtisopmoce´denutnemunniorre´ree´tairecacposs´edaguli`ereLU, avecLune matricetriangulaireinf´erieureayantdes1sursadiagonaleetUune matrice triangulaire supe´rieure. Montrer que cette factorisationA=LUest unique.

3.3 FactorisationLUd’une matrice tridiagonale   SoitAune matrice tridiagonale inversiblea i−1i =a i , a i i =b i , a i i+1 =c i . ´ Ecrire un algorithme de factorisationLUdeA. Quelleestlacomplexit´edecetalgorithme?

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Application:effectuerlad´ecompositionA=LUde la matrice   −0 0 02 1 −2 0 04 5 0−3−1−1 0 .     0 0−12 4 0 0 0 2−2

EXERCICE 4 Localisation des valeurs propres d’une matrice

Onintroduitlad´efinitionsuivante. De´finition4.1.SoitA= (a kj ) k,j=1,...,n .nerdee´dro’cerirrcaunatem OnappelledisquedeGerschg¨orincentr´eena kk l’ensemble n X D k ={z∈C/|z−a kk || ≤a kj |}. j=1 j6=k Ondonneleth´eor`emesuivantquiserade´montr´edanslapremie`repartiedecetexercice.

The´ore`meor`eth´e)(ronihc¨geGsremed SoitAunematricecarre´ed’ordren. LesvaleurspropresdeAappartiennenta`l’union desndisquesdeGerschg¨orinduplancomplexe: λvaleur propre de A⇒ ∃k∈ {1, ..., n}, λ∈D k .

4.1De´monstrationduthe´ore`me a.Soitλune valeur propre de A etu´icoca`eetteelavprurreop.nuvecteurpropreass Soitktel que|u k |= max 1≤j≤n |u j |. n X Montrer que|λ−a kk | ≤|a kj |. j=1 j6=k Conclure. ´ 4.2 Etuded’un exemple Onconside`relamatricesuivante   1 +i i2   A=−+3 2i1. 1i6 a.erpoedsaloctlneri¨ohgscrpsruelavselresiinerDessGereeudsidqsel3sA.

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t b.En remarquant queAetAruelorpsmeˆmavseesr´teenesprep,reusidqslrseontles t deGerschg¨orinassocie´sauxvaleurspropresdeA. c.Donner une majoration des valeurs absolues des valeurs propres deA.

4.3Matricea`diagonaledominante De´finition4.2.SoitA= (a kj ) k,j=1,...,n dnruo’.nerrerciarcdteaem´e n X On dit queAstedi`asimoninaetganolade∀k ,1≤k≤n ,|a kk || ≥a kj |. j=1 j6=k La matriceAanteominentdctemtsiranelaiog`edaittdessi n X ∀k ,1≤k≤n ,|a kk |>|a kj |. j=1 j6=k a.sinaltte´hoe`rmeMontrer,enutiliseuqscereGedn,ri¨ohgAseogaida`tstrinaleentctem dominante alors elle est inversible. b.’nseptsatn,eamsile:inversibamatqueltrerMon`tseetnaviusecirnamidolenagoiaad   2−1−1   −1 3−2 . −11 0

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