Universite Pierre et Marie Curie Master de Mathematiques

Marie Curie

Description

Niveau: Supérieur, Master
Universite Pierre et Marie Curie Master de Mathematiques annee 2004-05 Processus stationnaires et prevision Laboratoire de Probabilites et Modeles Aleatoires

• procedures d'estimation dans les modeles arma


• coefficients de fourier


• master de mathematiques


• filtrage des processus


• universite pierre


• rappels d'integration


• processus stationnaire

Sujets

• Probabilité
• Lacroix
• Série de Fourier
• Processus stationnaire

Informations

• Publié par: profil-infoe-2012
• Nombre de lectures: 41
• Langue: Français

Extrait

Universite Pierre et Marie Curie
Master de Mathematiques
annee 2004-05
Processus stationnaires et prevision
Laboratoire de Probabilites et Modeles Aleatoires23
Processus stationnaires et prevision.
Mode d’emploi
Ce polycopie est destine aux etudiants de l’U.E. \Processus stationnaires et prevision" du
Master de Mathematiques de l’Universite Pierre et Marie Curie. En principe il s’adresse
donc a des etudiants ayant suivi un premier cours de probabilites. Cependant le chapitre
2 contient un rappel de tous les resultats probabilistes utilises par la suite. Il est rela-
tivement autonome et peut eventuellement ^etre aborde par un etudiant n’ayant jamais
suivi de cours de probabilites. Le chapitre 1 introduit les principales notions de series
et transformations de Fourier, et comporte, en annexe, quelques elements de la theorie
classique du signal deterministe. Cette annexe qui, en principe, ne fait pas partie de ce
cours, concerne neanmoins tous les etudiants desirant acquerir quelques notions de base
de traitement du signal. Les chapitres 3, 5 et 6 sont consacres aux deux sujets essentiels
traites dans ce polycopie, a savoir l’etude spectrale des processus du second ordre et
l’etude des series chronologiques classiques: Ar, Ma, Arma ainsi que quelques elements
d’etude statistique de ces processus.
Un certain nombre de resultats sur la \petite" integrale stochastique, guran t clas-
siquement dans un cours sur les processus du second ordre, ont ete rassembles dans
le chapitre 4 \L’integrale stochastique", car ils ne sont pas vraiment necessaires pour
la comprehension des trois chapitres principaux, a savoir les chapitres 3, 5 et 6. Il est
neanmoins vivement recommande au lecteur d’en prendre connaissance.
Ce polycopie est divise en chapitres, sections et sous-sections. Ainsi 3.2.4 renvoie au
chapitre 3, section 2, sous-section 4 et 5.4 renvoie au chapitre 5, section 4. A l’interieur
d’une m^eme section, les enonces sont numerotes en continu. Ainsi \d’apres le th. 5.4.6"
renvoie au chapitre 5, section 4, enonce 6. Quant aux egalites, elles sont numerotees
entre parentheses et en continu au sein d’un m^eme chapitre. Ainsi \vu (3.5)" refere a la
cinquieme egalite numerotee du chapitre 3. Le signe " " indique la n d’une preuve.
Paolo Baldi qui a enseigne ce cours en 04-05, s’est tout particulierement attache a le
completer par de procedures d’estimation dans les modeles Arma.
Jean Lacroix4Table des Matieres
1 Analyse de Fourier 7
1.1 Rappels de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Rappels sur les espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Rappels d’Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
21.2.1 Coe cien ts de Fourier d’une fonction de L (T;dx) . . . . . . . . . 11
21.2.2 Transformation de Fourier d’une suite de ‘ (Z) . . . . . . . . . . . 14
11.2.3 Coe cien ts de Fourier d’une fonction de L (T;dx) . . . . . . . . . 14
1.3 Transformation de Fourier sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
11.3.1 Transformation de Fourier surL (R;dx) . . . . . . . . . . . . . . 17
21.3.2 T de Fourier surL (R;dx) . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 Autocorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6 Transformee en z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.7 Annexe: Signaux deterministes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7.1 Echantillonnage et formule de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.7.2 Transformee de Fourier sur un ensemble ni . . . . . . . . . . . . . 31
1.7.3 Transformation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Rappels de calcul des probabilites 35
2.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Convergences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Independance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4 V.a. complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5 Fonctions caracteristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6 Processus Gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.7 Le Modele lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 Theorie spectrale des processus du second ordre 49
3.1 Processus du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Theoremes de Herglotz et Bochner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3 Filtrage des processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 Representation spectrale des p.s.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596 TABLE DES MATIERES
4 L’integrale stochastique 63
4.1 Processus a accroissements orthogonaux et integrale stochastique . . . . . 63
4.2 L’integrale stochastique et les processus stationnaires . . . . . . . . . . . . 65
4.3 Les exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3.1 Le mouvement brownien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3.2 Le processus de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5 Processus stationnaires aleatoires 73
5.1 Inversion des ltres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2 Prediction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3 Processus AR, MA et ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3.1 Processus AR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3.2 Pro MA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.3.3 Processus ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3.4 La fonction de covariance des processus ARMA . . . . . . . . . . . 82
5.4 Matrices de Toeplitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.4.1 L’Algorithme de Levinson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.4.2 Prolongement AR d’un segment de covariance . . . . . . . . . . . . 87
5.4.3t de Pisarenko d’un segment de covariance . . . . . . 88
6 Statistique des processus du second ordre 91
6.1 Theoremes limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.2 Etude statistique d’un processus stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2.1 Estimation de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2.2 de la covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.3 Estimation des parametres d’un processus ARMA reel . . . . . . . . . . . 97
6.3.1 Estimation dans les modeles AR: les equations de Yule-Walker . . 97
6.3.2 Les estimateurs du maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . 100
6.4 Estimation du spectre d’un p.s.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.4.1 Estimation de la densite spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.4.2 Estimateurs des parametres bases sur le spectre . . . . . . . . . . . 104Chapitre 1
Analyse de Fourier
1.1 Rappels de cours
1.1.1 Rappels sur les espaces de Hilbert
SoitH un espace de Hilbert complexe muni du produit scalairehi. L’inegalite suivante,
appelee inegalite de Schwarz, sera tres souvent utilisee dans la suite du cours:
Proposition 1.1. Soit x et y des elements de H. On a alors:
jhx;yijkxkkyk
Avec egalite si et seulement si x et y sont colineaires.
La propriete suivante porte le nom de "bicontinuite du produit scalaire":
Proposition 1.2. Soitx ety deux suites dansH qui convergent respectivement versn n
x et y. Alors la suite numerique hx ;y i converge vers hx;yi.n n
De nition 1.3. Soit A une partie de H.
? On designe parA l’ensemble des elements deH orthogonaux a tous les elements
de A. C’est un sous espace ferme de H.
On designe par(A) l’espace vectoriel ferme engendre parA, et on dit que la partie
A est totale dans H si (A) =H.
Proposition 1.4. Soit A une partie de H. Alors:
? ? ?A = ((A)) ; et H =(A)A
Cette proposition sera souvent utilisee sous la forme suivante:
Corollaire 1.5. Soit A une partie de H.
?1. A est totale dans H si et seulement si A =f0g.
?2. Soit x2H. Alors x2(A) si et seulement si pour tout y2A on ahx;yi = 0.
La proposition suivante est generalement attribuee a Bessel et Parseval:8 Chapitre I. Analyse de Fourier
Proposition 1.6. Soit fe g une famille orthonormee dans H. Pour x2H on pose 2
x =hx;e i. On a alors: X
2 2jx j kxk
2
Si de plus la famille fe g est totale dans H (on dit alors que c’est une base or- 2
thonormee) on a les egalites:
X X
2 2kx k =kxk ; x y =hx;yi
2 2
Dans le cas d’un espace de Hilbert separable (de dimension in nie) toute base est
denombrable et peut donc ^etre indexee par l’ensemble Z. On a alors:
Proposition 1.7. Soit fe g une base orthonormee de H . L’application x !n n2Z
2fx g est une application lineaire bijective et isometrique de H sur ‘ (Z) , dontn n2Z P
l’application reciproque est donnee parfx g ! x e .n n2Z n nn2Z
2Autrement dit, tout espace de Hilbert separable est isomorphe a ‘ (Z) . La notion
de projection orthogonale sera fondamentale dans la su