Vitesse de dispersion pour une classe de martingales

Raphael Salem

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Vitesse de dispersion pour une classe de martingales Thierry de la Rue Laboratoire de Mathematiques Raphael Salem UMR 6085 CNRS – Universite de Rouen Site Colbert, F76821 Mont-Saint-Aignan Cedex Speed of dispersion for a class of martingales Abstract In this work we study the dispersion of a martingale (Mn), i.e. the convergence to 0 as n ?? ∞ of the concentration function of Mn, assuming that the martingale differences are bounded, and their conditional variances bounded from below. Key words : martingale, concentration function. Resume On etudie dans ce travail la dispersion d'une martingale (Mn), au sens de la conver- gence vers 0 quand n ?? ∞ de la fonction de concentration de Mn, sous des hypotheses de majoration des accroissements et de minoration de leurs variances conditionnelles. Mots cles : martingale, fonction de concentration. 1 Introduction On s'interesse ici au comportement en loi d'une martingale (Mn)n?N satisfaisant aux hy- potheses suivantes : en ecrivant Mn comme la somme des accroissements de martingale Mn = X1 + · · · + Xn (M0 = 0), et en notant Fn la tribu engendree par M0,M1, . . . ,Mn, on suppose d'une part que les accroissements Xn sont bornes, i.e. ?M > 0, ?n ≥ 1, |Xn| ≤ M, (1) et d'autre part que la variance conditionnelle de Xn+1 sachant Fn est minoree, i.

• vitesse de dispersion


• comportement en loi


• xn def


• loi conditionnelle de x˜n


• conque convergence en loi


• accroissements xn


• martingale


• processus reel


• action de ?


• somme des accroissements de martingale

Sujets

• Martingale

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Extrait

Vitessededispersionpouruneclassedemartingales

ThierrydelaRue
LaboratoiredeMathematiquesRaphaelSalem
UMR6085CNRS–UniversitedeRouen
SiteColbert,
F76821Mont-Saint-AignanCedex

Speedofdispersionforaclassofmartingales
Abstract
Inthisworkwestudythedispersionofamartingale(
M
n
),
i.e.
theconvergenceto0
as
n
→∞
oftheconcentrationfunctionof
M
n
,assumingthatthemartingaledierences
arebounded,andtheirconditionalvariancesboundedfrombelow.
Keywords:
martingale,concentrationfunction.
Resume
Onetudiedanscetravailladispersiond’unemartingale(
M
n
),ausensdelaconver-
gencevers0quand
n
→∞
delafonctiondeconcentrationde
M
n
,sousdeshypotheses
demajorationdesaccroissementsetdeminorationdeleursvariancesconditionnelles.
Motscles:
martingale,fonctiondeconcentration.

1Introduction
Ons’interesseiciaucomportementenloid’unemartingale(
M
n
)
n
∈
N
satisfaisantauxhy-
pothesessuivantes:enecrivant
M
n
commelasommedesaccroissementsdemartingale
M
n
=
X
1
+

+
X
n
(
M
0
=0)
,
etennotant
F
n
latribuengendreepar
M
0
,M
1
,...,M
n
,onsupposed’unepartqueles
accroissements
X
n
sontbornes,
i.e.
∃
M>
0
,
∀
n

1
,
|
X
n
|
M,
(1)
etd’autrepartquelavarianceconditionnellede
X
n
+1
sachant
F
n
estminoree,
i.e.
22∃
>
0
,
∀
n

0
,
E
X
n
+1
|
F
n

(p.s.)(2)
Notonsque,demaniereevidente,lefaitque(
M
n
)soitunemartingalesetraduitparla
proprietesupplementaire
∀
n

0
,
E
[
X
n
+1
|
F
n
]=0
.
(3)
Onseproposedanscetravaild’etudierla
dispersion
d’unetellemartingale,mesureea
l’aidedela
fonctiondeconcentration
de
M
n
.Rappelonsquelafonctiondeconcentration
d’unevariablealeatoirereelle
X
,introduiteparPaulLevy([2]),estdeniepour
l

0par
fedQ
(
X,l
)=sup
P
(
x

X

x
+
l
)
.
R∈x1

Onveutmontrerque,sousleshypothesesdecritesprecedemment,
Q
(
M
n
,l
)
→
0pour
∞→ntout
l

0,etestimerlavitessedeconvergence.Clairement,ilsutdeconsidereruneseule
valeurde
l>
0xee;ons’interessedorenavantaucas
l
=2,etonnotepourtoutreel
t
I
t
d
=
ef
[
t

1
,t
+1].
Leproblemeabordeicipeuteˆtreformuleal’aided’unjeu.Unjoueurobserveunprocessus
aleatoire(
X
1
,X
2
,...,X
n
),surlequelilpeutagirselonlareglesuivante:Pourtout
j
∈
{
1
,...,n
}
,apresavoirobserve
X
1
,...,X
j

1
cejoueurpeutchoisirlaloi

j
suiviepar
X
j
enrespectantlesproprietes(1),(2)et(3),c’est-a-diredansl’ensemble
P
,M
desloisde
probabilites

sur
R
quiverient

([

M,M
])=1
,
(4)
Zx
2
d

2
,
(5)
RZxd
=0
.
(6)
RLejoueurgagnesi
X
1
+

+
X
n
∈
I
t
,pouruncertainreel
t
qu’ilauraxeaudepart.On
veuticimontrerque,quellequesoitlastrategiedujoueur,laprobabilitequ’ilgagnetend
vers0quand
n
→∞
.
Enonconsmaintenantleresultatprincipalquiserademontredanslasuite.
fedTheoreme1.1
Soit
(
M
n
)
n

0
unemartingaleavec
M
0
=0
,etpourtout
n

1
,
X
n
=
M
n

M
n

1
.Onsupposequelesaccroissements
(
X
n
)
satisfontauxproprietes(1)et(2).
Alorsilexiste
K>
0
et
>
0
,nedependantquede