1UFR MIAE École Doctorale IAE M

Henri Poincare - Nancy

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
1UFR MIAE École Doctorale IAE + M Université Henri Poincaré - Nancy I D.F.D. Mathématiques Thèse présentée pour l'obtention du titre de Docteur de l'Université Henri Poincaré, Nancy-I en Mathématiques par Aurélien DEYA Etude de systèmes différentiels fractionnaires Soutenue publiquement le 18 octobre 2010 Membres du Jury : Arnaud Debussche Professeur, ENS Cachan (Rapporteur) Massimiliano Gubinelli Professeur, Paris Dauphine Michel Ledoux Professeur, Toulouse Antoine Lejay CR Inria Ivan Nourdin Professeur, Nancy Marta Sanz-Solé Professeur, Barcelone (Rapporteuse) Samy Tindel Professeur, Nancy (Directeur de thèse) Institut Élie Cartan Nancy, Laboratoire de Mathématiques, B.P. 239, 54506 Vandoeuvre-lès-Nancy Cedex

• discrétisation du temps


• rugueux standard


• discrétisation du processus directeur


• opérateur d'incrément ?˜


• résultats numériques pour le mbf


• associée au semigroupe de la chaleur sur rn


• résolution de l'équation


• application aux trajectoires rugueuses


• continuité de l'application d'itô

Sujets

• Nur al-Din
• Ledoux
• Cartan
• Université Nancy-I

Informations

• Publié par: profil-zyak-2012
• Publié le: 01 octobre 2010
• Nombre de lectures: 58
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

1
UFR MIAE
École Doctorale IAE + M
Université Henri Poincaré - Nancy I
D.F.D. Mathématiques
Thèse
présentée pour l’obtention du titre de
Docteur de l’Université Henri Poincaré, Nancy-I
en Mathématiques
par
Aurélien DEYA
Etude de systèmes différentiels fractionnaires
Soutenue publiquement le 18 octobre 2010
Membres du Jury :
Arnaud Debussche Professeur, ENS Cachan (Rapporteur)
Massimiliano Gubinelli Professeur, Paris Dauphine
Michel Ledoux Professeur, Toulouse
Antoine Lejay CR Inria
Ivan Nourdin Professeur, Nancy
Marta Sanz-Solé Professeur, Barcelone (Rapporteuse)
Samy Tindel Professeur, Nancy (Directeur de thèse)
Institut Élie Cartan Nancy, Laboratoire de Mathématiques, B.P. 239, 54506 Vandoeuvre-lès-Nancy
Cedex2Table des matières
1 Introduction 7
1.1 Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Application à l’analyse stochastique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Plan et résultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Index des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.1 Notations générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2 Notations du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.3 Notations du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.4 Notations du chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.5 Notations du chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.6 Notations du chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
I Retour sur le système différentiel rugueux standard 21
2 Eléments de la théorie des k-incréments 23
2.1 Quelques outils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1 L’opérateur d’incrément δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.2 Espaces höldériens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.3 L’opérateur Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Construction de l’intégrale rugueuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1 Le cas Young (γ > 1/2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2 Le cas γ∈ (1/3,1/2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.3 Vers des processus moins réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Résolution du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.1 Existence et unicité de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.2 Continuité de l’application d’Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Un schéma d’approximation dans le cas du mBf 41
3.1 Quelques précisions sur l’aire de Lévy du mBf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.1 L’approximation analytique du mBf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.2 Discrétisation du 2-rough path . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Etude du schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.1 Le schéma de Milstein pour les EDO dirigées par un processus régulier . 54
3.2.2 Application au mBf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.3 Résultats de simulation numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
34 TABLE DES MATIÈRES
II L’équation de Volterra rugueuse 65
4 Une première approche 69
4.1 Le cas Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2 Le cas Young en présence d’une singularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.1 Interprétation du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.2 Résolution de l’équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3 Le cas rugueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3.1 Interprétation du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3.2 Résolution du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3.3 Prolongement de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.4 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5 Le cadre convolutionnel 99
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
˜5.2 L’opérateur d’incrément δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2.1 Incréments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.2.2 Espaces fonctionnels sous-jacents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
˜5.2.3 Espaces höldériens et application Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3 Le cas Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.3.1 Considérations heuristiques et interprétation du système . . . . . . . . . 107
5.3.2 Résolution de l’équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.4 Le cas rugueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.4.1 Processus convolutionnels contrôlés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.4.2 Intégration convolutionnelle des processus contrôlés . . . . . . . . . . . . 116
5.4.3 Processus contrôlés localisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.4.4 Résolution de l’équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.5 Application aux trajectoires rugueuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.5.1 Cas de la transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.5.2 Cas de la transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.6 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
III L’équation de la chaleur rugueuse 135
6 Interprétation et résolution 139
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
n6.2 Intégration algébrique associée au semigroupe de la chaleur surR . . . . . . . 142
6.2.1 Cadre d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
ˆ6.2.2 L’incrément modifié δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.3 Le cas Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.3.1 Interprétation de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.3.2 Résolution du système différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.4 Le cas rugueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.4.1 Considérations heuristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.4.2 Définition de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.5 Régularisation du champ et solution globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.5.1 Considérations heuristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160TABLE DES MATIÈRES 5
6.5.2 Définition de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.6 Construction du chemin rugueux associé à l’équation de la chaleur . . . . . . . 165
6.7 Le cas rugueux d’ordre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.7.1 Construction de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.7.2 Résolution du système différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7 Schémas d’approximation 175
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7.2 Cadre d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.3 Le cas Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.3.1 Résultats précédents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.3.2 Schéma et résultat principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.3.3 Discrétisation du processus directeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.3.4 Discrétisation en temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.3.5 Discrétisation en espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.3.6 Résultats numériques pour le mBf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.4 Cas rugueux en présence d’un intégrant régularisé . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.4.1 Rappel des résultats théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.4.2 Schéma et résultat principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.4.3 Discrétisation du proc