Cones positifs des varietes complexes compactes

Sebastien Boucksom

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Cones positifs des varietes complexes compactes Sebastien Boucksom These soutenue le 10 decembre 2002 a l'Universite Joseph Fourier Grenoble Jury : Christiaan PETERS (Universite de Grenoble I) (President) Jean-Pierre DEMAILLY (Universite de Grenoble I) (directeur) Daniel HUYBRECHTS (Institut de Math. de Jussieu) (rapporteur) Thomas PETERNELL (Universite de Bayreuth, Allemagne) (rapporteur) Claire VOISIN (Universite de Paris VI)

• variete complexe compacte


• decomposition de zariski


• classe de chern


• cones positifs des varietes complexes compactes


• fibre en droites


• espaces de sections h0


• cone kahlerien


• cones positifs

Sujets

• Voisin
• Grenoble
• Demailly

Informations

• Publié par: profil-zyak-2012
• Publié le: 01 décembre 2002
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• Langue: Français

Extrait

Coˆnes positifs des vari´et´es complexes
compactes
S´ebastien Boucksom
Th`ese soutenue le 10 d´ecembre 2002
`a l’Universit´e Joseph Fourier Grenoble
Jury :
Christiaan PETERS (Universit´e de Grenoble I) (Pr´esident)
Jean-Pierre DEMAILLY (Universit´e de Grenoble I) (directeur)
Daniel HUYBRECHTS (Institut de Math. de Jussieu) (rapporteur)
Thomas PETERNELL (Universit´e de Bayreuth, Allemagne) (rapporteur)
Claire VOISIN (Universit´e de Paris VI)2Table des mati`eres
0.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 Pr´eliminaires 13
1.1 G´en´eralit´es sur les courants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.1 Premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.2 Courants positifs ferm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.3 Produits de courants et nombres de Lelong . . . . . . . 17
1.1.4 Singularit´es des (1;1)-courants . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2 Coˆnes positifs en cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.1 Cohomologie de Bott-Chern . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.2 Groupe de N´eron-S´everi . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.3 Cˆones positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.4 Stabilit´e de la positivit´e sous l’action d’un morphisme. 27
1.2.5 R´egularisation des courants presque positifs . . . . . . 29
1.2.6 Coˆnes positifs et g´eom´etrie de X. . . . . . . . . . . . . 30
2 D´ecomposition de Zariski divisorielle 35
2.1 Construction analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.1 Le cˆone nef en codimension 1. . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.2 Courants `a singularit´es minimales . . . . . . . . . . . . 36
2.1.3 Multiplicit´es minimales et lieu non nef . . . . . . . . . 37
2.1.4 Continuit´e des multiplicit´es minimales . . . . . . . . . 39
2.1.5 Definition de la d´ecomposition de Zariski divisorielle. . 41
2.1.6 Partie n´egative et diviseurs exceptionnels . . . . . . . . 43
2.1.7 Discontinuit´es de la projection de Zariski . . . . . . . . 44
2.1.8 Caract´erisation de la d´ecomposition de Zariski divi-
sorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1.9 Structure du cˆone pseudoeffectif . . . . . . . . . . . . . 47
2.2 L’approche alg´ebrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.1 Courants associ´es aux sections d’un fibr´e. . . . . . . . . 48
2.2.2 R´egularisation des courants, reprise . . . . . . . . . . . 50
2.2.3 Multiplicit´es minimales d’un fibr´e en droites . . . . . . 53
3`4 TABLE DES MATIERES
2.2.4 D´ecomposition de Zariski d’un diviseur . . . . . . . . . 55
3 Volume et nombres d’intersections positifs 57
3.1 Volume d’un fibr´e en droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.1 D´ecomposition de Lebesgue d’un courant . . . . . . . . 58
3.1.2 R´egularisation avec controˆle de la partie absolument
continue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.3 Controˆle de la masse et transform´ee stricte d’un courant 63
3.1.4 Une in´egalit´e du type Morse. . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1.5 Le th´eor`eme de Calabi-Yau. . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.1.6 Volume d’une classe pseudoeffective. . . . . . . . . . . 72
3.1.7 Volume et classes big. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.1.8 Une conjecture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.2 Nombres d’intersections positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2.1 D´efinition et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2.2 Dimensionnum´erique et th´eor`eme d’annulationdeBo-
gomolov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.3 Constantes de Seshadri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4 D´ecomposition de Zariski sur une surface et une vari´et´e hy-
perk¨ahlerienne 95
4.1 Le cˆone ka¨hlerien d’une vari´et´e hyperka¨hlerienne. . . . . . . . 95
4.1.1 Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.1.2 Explications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2 D´ecomposition de Zariski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2.2 Le dual du cˆone pseudoeffectif . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2.3 Diviseurs exceptionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.2.4 Rationalit´e de la d´ecomposition de Zariski divisorielle. 104
5 Appendice : exemples et contre-exemples 109
5.1 Remarques concernant le cas des surfaces . . . . . . . . . . . . 109
5.2 Trois contre-exemples en dimension sup´erieure . . . . . . . . . 111
6 Bibliographie 117
0.1 Introduction
Positivit´e
L’un des traits fondamentaux de la g´eom´etrie complexe est l’existence d’une0.1. INTRODUCTION 5
notion intrins`eque de positivit´e au niveau des formes diff´erentielles, intro-
duite par P.Lelong. Le cas qui nous pr´eoccupera en priorit´e est le suivant :
une forme de type (1;1) sur une vari´et´e complexe X s’´ecrit localement
P
= i dz ^dz dans des coordonn´ees locales (z ;:::;z ), et lajk j k 1 n1j;kn
forme est dite positive ssi la matrice ( ) est hermitienne positive en toutjk
point. En particulier, du point de vue de la g´eom´etrie diff´erentielle, la posi-
tivit´e d’un fibr´e en droites holomorpheL surX correspond a` la positivit´e de
la (1;1)-forme de courbure d’une m´etrique hermitienne sur L.
Un autreaspect caract´eristique des vari´et´es complexes est la relative absence
d’objets holomorphes globaux sur une vari´et´e complexe compacte X. Ainsi,
l’espace vectoriel complexe des sections holomorphes globales d’un fibr´e vec-
toriel holomorpheE sur une vari´et´e complexe compacteX est de dimension
finie, et d’ailleurs r´eduit a` z´ero la plupart du temps. De mˆeme, l’existence
d’une application non-triviale deX vers une vari´et´e mieux comprise est rela-
tivement rare. Lesdeux ph´enom`enes sont enfaitli´es, puisque lesapplications
Nm´eromorphesf :X ! P vers un espace projectif sont en correspondance
0avec les syst`emes lin´eaires sur X, i.e. les espaces de sections H (X;L) des
fibr´es endroitesLsurX, et leurs sous-espaces vectoriels. Dece point de vue,
issu dela g´eom´etriealg´ebrique, lapositivit´e d’unfibr´e endroitesLsemesure
a` l’abondance de ses sections globales.
L’exemple typique de relation entre ces deux concepts de positivit´e est le
th´eor`eme de plongement de Kodaira :
Th´eor`eme 0.1.1 (Kod53) SoitX une vari´et´e complexe compacte, etL un
fibr´e en droites sur X. Sont ´equivalentes :
(i) L peut ˆetre muni d’une m´etrique hermitienne h `a courbure strictement
positive.

k(ii) L est ample, i.e. le syst`eme lin´eaire associ´e `a L plonge X dans un
espace projectif pour k>> 1.
L’amplitude d’un fibr´e en droites se manifeste donc d´ej`a au niveau coho-
mologique sur sa classe de Chern : L est ample ssi c (L) appartient au cˆone1
1;1ka¨hlerien K de X, i.e. le cˆone convexe de H (X;R) form´e des classes deX
(1;1)-formesferm´eesstrictementpositives.Ilexisteune“versionbim´eromorphe”
de ce r´esultat, due `a Bonavero [Bon93] et ind´ependamment a` Ji et Shiffman
[JS93], qui ´enonce que L est un fibr´e big, i.e. le syst`eme lin´eaire associ´e `a

kL plonge X bim´eromorphiquement dans un espace projectif, ssi c (L) ap-1
1;1partient au cˆone big B de X, i.e. le cˆone convexe de H (X;R) form´e desX
classes de (1;1)-courants ferm´es strictement positifs.
Enpassanta`lalimite,onobtientdeuxnotionsde(semi-)positivit´eassoci´ees:
une classe r´eelle de type (1;1) est dite nef (num´eriquement effective) ssi
elle peut ˆetre repr´esent´ee par des (1;1)-formes r´eelles dont la partie n´egative`6 TABLE DES MATIERES
est arbitrairement petite, et est dite pseudoeffective ssi elle peut ˆetre
repr´esent´ee par un courant positif ferm´e.
D´ecomposition de Zariski divisorielle
Dans la premi`ere partie de ce travail, nous nous int´eresserons aux relations
entre pseudoeffectivit´e et effectivit´e num´erique. Un (1;1)-courant ferm´e T
presque positif (i.e. de partie n´egative born´ee) a en g´en´eral X tout entier
comme support singulier, mais ses singularit´es de type analytique, `a savoir
celles prises en compte par ses nombres de Lelong, prennent une place plus
raisonnable : elles se situent le long d’une r´eunion d´enombrable de sous-
ensembles analytiques ferm´es (stricts) deX. On sait de plus depuis [Dem92]
que les singularit´es de type analytique de T sont exactement l’obstruction a`
la r´egularisation de T en perdant arbitrairement peu de positivit´e. Partant
decetteobservation,nousintroduisonslamultiplicit´eminimale(;x)d’une
(1;1)-classe pseudoeffective en un point x, qui mesure l’obstruction `a l’ef-
fectivit´e num´erique de localement enx :(;x) = 0 ssi il e