Fibres de Green et regularite des graphes C0 lagrangiens invariants par un flot de Tonelli
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Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Fibres de Green et regularite des graphes C0-lagrangiens invariants par un flot de Tonelli Marie-Claude Arnaud 6 mars 2008 Abstract In this article, we prove different results concerning the regularity of the C0-Lagrangian invariant graphs of the Tonelli flows. For example : • in dimension 2 and in the autonomous generic case, we prove that such a graph is in fact C1 on some set with (Lebesgue) full measure; • under certain dynamical additional hypothesis, we prove that these graphs are C1. Resume Dans cet article, on demontre differents resultats concernant la regularite des graphes C0-lagrangiens invariants par des flots de Tonelli. Par exemple : • en dimension 2, dans le cas autonome et generique, on montre que ces graphes sont de classe C1 sur un ensemble de mesure (de Lebesque) pleine ; • sous certaines hypotheses concernant la dynamique restreinte, on montre que ces graphes sont de classe C1. Table des matieres 1 Introduction 2 1.1 Preambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Notations et definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  • lagrangien satisfaisant les hypotheses de tonelli

  • flots de tonelli

  • fibres de green

  • plan lagrangien

  • regularite des graphes c0-lagrangiens invariants

  • graphe invariant

  • arguments classiques des dynamiques lagrangienne


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Publié le 01 mars 2008
Nombre de lectures 78
Langue Français

Extrait

Fibr´esdeG
reenetre´gularit´edesgraphesC0neigsla-angr invariants par un flot de Tonelli
Marie-Claude Arnaud
6 mars 2008
Abstract In this article, we prove different results concerning the regularity of theC0-Lagrangian invariant graphs of the Tonelli flows. For example : in the autonomous generic case, we prove that such a graph is inin dimension 2 and factC1on some set with (Lebesgue) full measure; under certain dynamical additional hypothesis, we prove that these graphs areC1.
Re´sum´e Danscetarticle,ond´emontredie´rentsre´sultatsconcernantlare´gularite´desgraphes C0-lagrangiens invariants par des flots de Tonelli. Par exemple : eisnemidnsnad,2noeqtrceuerasgesphtnosedlecasautonomeetge´´nreqieuo,mnno classeC1sur un  ;ensemble de mesure (de Lebesque) pleine atrecsuosscse`ethpohyesineceuargsnomnqertesphltdanymanoecnrnareinte,oiquerest sont de classeC1.
Tabledesmatie`res
1 Introduction 1.1Pr´eambule........................................ 1.2Notationsetd´enitions................................ 1.3R´esultats........................................ 1.4Arguments-clefsdesd´emonstrations......................... 1.5 Plan de l’article . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3
Semi-continuit´edeschampsdeformesquadratiques
2 2 2 3 4 5
6
Lesbre´sdeGreen10 3.1Comparaisondessous-espaceslagrangiensa`laidedeformesquadratiques....10 3.2Constructiondesbr´esdeGreenpourlesorbitessanspointsconjugu´es.....12 3.3 Rappels sur les orbites globalement minimisantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.4Encadrementdesbr´esinvariants`alaidedesbr´esdeGreen...........14 3.5Uncrit`eredynamiquedappartenanceauxbre´sdeGreen.............15 3.6Lesbre´sdeGreenr´eduitsdanslecasautonome..................17
1
4Liensentrelesbr´esdeGreenetlesgraphesC0 22lagangiens invariants 4.1Ine´galite´sentrelesbre´sdeGreenetlesdie´rentiellesge´n´eralis´eesdesgraphes lagrangiens invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.1.1Etudeauxpointsdedie´rentiabilit´e.....................24 4.1.2Notionsdevecteurstangentsge´ne´ralise´setdedie´tiell´´alise´e..24 ren e gener 4.1.3Encadrementdeladie´rentiellege´n´eralis´eeetdesvecteurstangentsge´n´eralise´s27 4.2R´esultatsdere´gularite´desgraphesC0 28lagrangiens invariants . . . . . . . . . . . 4.2.1Lienentreladynamiquesurungrapheinvariantetlare´gularite´surce graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2.2 Le cas des petites dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.2.3Lecasinte´grable................................33
5
Appendice
1 Introduction
1.1Pr´eambule
39
Danscetarticle,nousnousinte´ressonsa`lar´egularite´desgraphesC0-lagrangiens invariants parunotdeTonelli,ou,cequirevientaumeˆme,`alar´egularit´edessolutionsdele´quationde Hamilton-Jacobiassocie´ea`unhamiltoniendeTonelli. Il est bien connu que de telles solutions sont de classeC1,1(i.e. que le grapheC0-lagrangien correspondantestlipschitz).Cer´esultatestmontre´parA.Fathidans[Fa1](nousrenvoyonsa` lasection4pourplusdede´tails).Avantlui,etdansuncadreunpeudie´rent,lemˆemere´sultat
avait´et´eobtenupar: enualnasnedtaoiplicesapcasdnslerapriov(elaicrtvelantiaevd´hkriadoGB.D. exemple [He3]) ; atgne´ocnetandanslecasdesdi.MeHmrlempiqctsduebruoe´prommsihysseTTndu torequiadmettentunefonctionge´n´eratriceglobale(voir[He2]). Citonsaussilesbeauxr´esultatsdeJ.Matherconcernantlesmesuresminimisantes,re´sultats contenus dans l’article [Mat1] et qui ont des liens certains avec ceux que nous venons de citer.
Onsedemandealorssionpeutdireplussurlar´egularite´decessolutions,sousdiverses hypoth`eses:dynamiques,dedimension...
Avantdeparlerdesre´sultatsquenousobtenonsdanscesens,nousallonsrappelerquelques d´enitionsetnotations.
1.2Notationsetde´nitions
Dans toute la suite,Mreuqamei-nmuniedunem´etrimoaptceectnoenexvaneauerect´´eris nienne.Unpointdubre´tangentT Mt´norase(ex, v) avecxMetvvecteur tangent enx. La projectionπ:T MMitcroral´es(sx, v)xotangentdubr´ecpnU.tnioTMtoe´srena (x, p) avecpTxMetπ:TMMejtcpaornanooicn(ique´edalergnsix, p)x. Onsint´eressealors`aunlagrangienL:T M×TRqui est de classe au moinsC2et :
2
:ieln´unpauerrei´nmemsetf´imrmoeni(forentuenx, t)M×T, on a :k klim+L(xkvv,k;t +) =; v strictement convexe : pour tout (x, v;t)T M×T,2Lv2(x, v;tive;st)eed´epniitos complet.
Untellagrangienseraappele´unlagrangien de Tonelli”.
Onpeutassocier`auntellagrangienlapplicationdeLegendreL=LL:T M×TTM×T = definie par :L(x, v;t)vL(x, v;tsalceshismmorp´edeebreits)uq´oenuidC1et un hamilto-nienH:TM×TRde´npira:H(x, p;t) =pL1(x, p;t)L(L1(x, p;t)). Le hamiltonien Hseaeriil´npurenestm´emiforrsuntalobald,erexevsnadenemontcste,ctrieclasseC2et com-plet(untelhamiltonienseraditdeTonelli).Toutcommea`unlagrangiendeTonellionpeut associerunhamiltoniendeTonelli,a`chaquehamiltoniendeTonellionpeutassocierunla-grangien de Tonelli. On notera alors (fLst,)oelEdtrelugaL-eassrangeaoci´Let (ΦtHs,) le flot ` hamiltonienassoci´ea`H; on a alors : ΦHs,t=L ◦fs,tL◦ L1. Suivant [He2], on appellera“grapheC0gien-lagranle graphe d’une 1-formeλ:MTM quiestcontinueetferme´eausensdesdistributions.Remarquonsa`cesujetquetoutaulong de l’article nous parlerons de “graphe”, comme c’est l’usage, alors qu’il serait sans doute plus correctdeparlerdesectiondubr´ecotangent. Lesre´sultatsquenousobtenonssontalorslessuivants:
1.3R´esultats The´ore`me1.1SoitMsionimen2,t´´eededneurivaL:T MRntdaeneprgnanualni´digne dutempssatisfaisantleshypoth`esesdeTonelli,H:TMRelahimonltnqieluuistieossae´ic dontonsupposequetouteslessingularite´ssontnonde´g´ene´re´es. SoitGun grapheC0-lagrangien invariant par le flot hamiltonien deH. Soitλormefermla1-fe´e (au sens des distributions) dontGest le graphe. Alors, il existe unGδdenseDde mesure pleine deMtel qu’en tout point deD,λ´reneitbaelestdi etest continue.
Signalonsquavoirtoutessessingularite´snond´eg´en´er´eesestuneconditiong´en´eriquepour les hamiltoniens de classeC2et(lassemˆemedecCkaveckalteec`auronoyelsloNsuervn2.) sous-section4.2.2pourlad´enitionpr´ecise. Ceth´eor`emenousditdoncquepourleshamiltoniensge´ne´riquesdesbr´escotangentsdessur-faces, les graphesC0-imotinmalitnlpneosegulusr´quesiersnargal-vnisneigspntiaartholear plement lipschitz, puisqu’ils sont de classeC1sur un ensemble de (Lebesgue) mesure pleine. Nousdonnonsenndesous-section4.2.2desexemplesquimontrentpourquoinotred´emonstration decere´sultatnestpasvalableendimensionplusgrande.Maisnousneconnaissonspasdecontre-exempleaur´esultatendimensionplusgrande,etilseraitinte´ressantdepouvoirenexhiber. Lecasdeshamiltoniensde´pendantdutempssurTTje´date,te´te´a`da´eitranslimieriastse [Arn1]. Nous nous contentons de le rappeler : The´ore`me([Arn1])SoitL:TT1×T1Ri,llneTodeesesh`nualrgnaigneasitsfaisantleshypot H:TT1×T1Rmaheluiesquilnieniltoeetco´iatssGun graphe continu invariant par le 1.18intUis.r4envoepedmoporsporu´selceinsoeisoino4n.p2l.u2sluuo-atsesstttceeodrevcu´eressen
3
temps 1 du flot hamiltonien deH. On suppose que ce graphe invariant est le graphe deλ. Alors il existe unGδdenseDde mesure pleine deTtel qu’en tout point deD,λer´distleabtientee est continue. Donnonsmaintenantlesr´esultatsquenousobtenonsenfaisantdeshypoth`esessurladyna-mique : Th´eor`eme2.2SoitL:TTn×T1Ruisatnsiengraagnlophtseyhnaltafsili,onelsdeT`ese H:TTn×T1Rtlnoeiqniuuleitslehamisoas´ecietGun grapheC0-lagrangien invariant par le temps 1 du flot hamiltonien deH. On suppose que le temps 1 du flot hamiltonien deH restreint aGestbi.taroontie`u´neauocztgujnpil-ihcs ` Alors le grapheGest de classeC1.
Danslecasdeladimension1,onobtientunre´sultatpluspr´ecis: Proposition 1.1.3SoitL:TT1×T1Rli,lngaueisnargnisatisfatlanhyeshtopese`Tedsleno H:TT1×T1Rleahimtlnoeiqniuultee´icossatseiGun graphe continu invariant par le temps 1 du flot hamiltonien deH. On suppose que le temps 1 du flot hamiltonien deHrestreint `aGestbi-lessacedumeiscldelercdni`euarohpe´mohitzipscugu´conjC2de nombre de rotation irrationnel. Alors le grapheGest de classeC1
Enn,ledernierre´sultatquenousobtenonsconcerneleshamiltoniensC0i`Brs.leabgr´enti-vemene,t un hamiltonienH:TM×TRest ditC0eustpaneitiretsnxiiloege´tlbarniPdeTMen graphesC01 du flot hamiltonien telle que de plus l’applica--lagrangiens invariants par le temps tionqui`aunel´ementdePassocie sa classe de cohomologie est surjective surH1(M,R). ´ The´or`eme3.SoitH:TM×TRun hamiltonien de TonelliC0arlb´tgeeetin-Λ1Λ(M) tel que{Gλ;λΛ1}soit une partition deTMen graphesC0lagrangiens invariants par le temps 1 du flot hamiltonien(φtH)deH. Alors, il existe unGδdenseG(H)deΛ1lasse´tlee´emtnsedtceuottnodC1. Remarquons que nous ne connaissons pas d’exemple de hamiltonienC0t´eg-inequirabltiosen pasC1soitple,exemerunelroree´ildmaesert´initraseilnnodnedtiostnase.blraegi,ssAu..´tni-resultatduth´eor`emepre´ce´dentenmontrantquunhamiltonienC0seelbargti-tne´C1´tni-e.blraeg ´
1.4Arguments-clefsdesde´monstrations
Rappelonsquelleestlid´eeg´eom´etriquequipermetdemontrerdesin´egalit´esa`priorisur les graphes lagrangiens lipschitziens invariants par un flot de Tonelli (voir [He3] en dimension quelconque, ou [He2] pour le cas de l’anneau) : il est usuel d’utiliser l’image par le flot de Tonelli lin´eaire(i.e.ladie´rentielleduotdeTonellihamiltonien)delaverticaleV(x, p) = ker(x, p). Ilsetrouvequecetteverticaleestunplanlagrangien,etquilexisteunemani`ereclassiquede comparerentreeuxdie´rentsplanslagrangienstransverses`aunplanlagrangiendonne´4. Pour montrerdesin´egalite´sa`priori,oncoincealorsletangentaugrapheinvariant(auxpointsde di´erentiabilite´dugraphelipschitz,quiestunensembledemesurepleine)entredeuximages (luneentempspositif,lautreentempsne´gatif)delaverticale. 2alrirolodmceelon-secsous3,ene4.1.2.4noitltatsereCer´esuelsnprocuortadevleicussoelsdrta 3use´reCdaveoutrreseatlts-ceossu.4.2itnolairorol4,ene4.1suoselcicedmonelrpcolensrtaelsd 43.1nee´suosces-noitecCstieetd´llai
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