PHENOMENES DE SYMETRIE DANS DES FORMES LINEAIRES EN POLYZETAS

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
PHENOMENES DE SYMETRIE DANS DES FORMES LINEAIRES EN POLYZETAS par J. Cresson, S. Fischler et T. Rivoal Resume. — On donne deux generalisations, en profondeur quelconque, du phenomene de symetrie utilise par Ball-Rivoal pour demontrer qu'une infinite de valeurs de la fonction ? de Riemann aux entiers impairs sont irrationnelles. Ces generalisations concernent des series mul- tiples de type hypergeometrique qui s'ecrivent comme formes lineaires en certains polyzetas. La preuve utilise notamment la regularisation des polyzetas a divergence logarithmique. Abstract. — We give two generalizations, in arbitrary depth, of the symmetry phenomenon used by Ball-Rivoal to prove that infinitely many values of Riemann ? function at odd integers are irrational. These generalizations concern multiple series of hypergeometric type, which can be written as linear forms in some specific multiple zeta values. The proof makes use of the regularization procedure for multiple zeta values with logarithmic divergence. Table des matieres 1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2. L'enonce dans le cas convergent . . . . . . . . . . . . . .

• somme multiple


• irrationalite de ?


• regularisation des polyzetas


• conjecture


• phenomene de symetrie


• theoreme


• processus de regularisation


• polyzetas

Sujets

• Conjecture
• Théorème

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Extrait

¶ ? ¶PHENOMENES DE SYMETRIE DANS DES FORMES
¶ ^LINEAIRES EN POLYZETAS
par
J. Cresson, S. Fischler et T. Rivoal
R¶esum¶e. | On donne deux g¶en¶eralisations, en profondeur quelconque, du ph¶enomene? de
sym¶etrie utilis¶e par Ball-Rivoal pour d¶emontrer qu’une inflnit¶e de valeurs de la fonction ‡ de
Riemannauxentiersimpairssontirrationnelles.Cesg¶en¶eralisationsconcernentdess¶eriesmul-
tiples de type hyperg¶eom¶etrique qui s’¶ecrivent comme formes lin¶eaires en certains polyz^etas.
La preuve utilise notamment la r¶egularisation des polyz^etas a? divergence logarithmique.
Abstract. | We give two generalizations, in arbitrary depth, of the symmetry phenomenon
usedbyBall-RivoaltoprovethatinflnitelymanyvaluesofRiemann‡ functionatoddintegers
areirrational.Thesegeneralizationsconcernmultipleseriesofhypergeometrictype,whichcan
be written as linear forms in some speciflc m zeta values. The proof makes use of the
regularization procedure for multiple zeta values with logarithmic divergence.
Table des matieres?
1. Introduction .......................................................... 2
2. L’¶enonc¶e dans le cas convergent ...................................... 8
2.1. Polyz^etas antisym¶etriques ...................................... 8
2.2. Enonc¶e du r¶esultat principal .................................. 9
2.3. Applications diophantiennes ¶eventuelles ........................ 11
3. R¶egularisation des s¶eries divergentes .................................. 12
3.1. Rappels ........................................................ 12
¶3.2. Enonc¶e avec r¶egularisation des divergences .................... 13
4. D¶ecomposition en ¶el¶ements simples .................................. 14
4.1. Notations et actions de groupes ................................ 14
¶4.2. Enonc¶e r¶egularis¶e en termes d’¶el¶ements simples ................ 16
4.3. Liens entre les th¶eoremes? 5 et 6 ................................ 182
4.4. Preuve que le th¶eoreme? 6 implique le th¶eoreme? 4 .............. 18
5. D¶emonstration du th¶eoreme? 6 ........................................ 22
5.1. Preuve du th¶eoreme? 6 en profondeur 1 ........................ 22
5.2. Preuve du th¶eoreme? 6 en 2 ........................ 22
5.3. Preuve du th¶eoreme? 6 en profondeur 3 ........................ 26
5.4. Preuve du th¶eoreme? 6 en quelconque ................ 33
6. Preuve du th¶eoreme? d¶ecoupl¶e ........................................ 41
R¶ef¶erences .............................................................. 44
1. Introduction
Uneg¶en¶eralisationdelafonctionz^etadeRiemann‡(s)estdonn¶eeparless¶eriespolyz^etas,
d¶eflniespourtoutentierp‚1ettoutp-uplets=(s ;s ;:::;s )d’entiers‚1,avecs ‚2,1 2 p 1
par
X 1
‡(s ;s ;:::;s )= :1 2 p sps s1 2k k :::kp1 2k >k >:::>k ‚1p1 2
Les entiers p et s + s + ::: + s sont respectivement la profondeur et le poids de1 2 p
‡(s ;s ;:::;s ). On voit naturellement appara^‡tre les polyz^etas lorsque, par exemple, on1 2 p
consid?ere les produits des valeurs de la fonction z^eta : on a ‡(n)‡(m) = ‡(n + m) +
‡(n;m)+‡(m;n), ce qui permet en quelque sorte de lin¶eariser ces produits. En dehors
de quelques identit¶es telles que ‡(2;1)=‡(3) (due a? Euler), la nature arithm¶etique de ces
s¶eries est aussi peu connue que celle des nombres ‡(s). Cependant, l’ensemble des nombres
‡(s) poss?ede une tres? riche structure alg¶ebrique assez bien comprise, au moins conjectura-
lement (voir [15]). Par exemple, on peut s’int¶eresser auxQ-sous-espaces vectoriels Z dep
p¡2R, engendr¶es par les 2 polyz^etas de poids p‚ 2 :Z =Q‡(2),Z =Q‡(3)+Q‡(2;1),2 3
Z =Q‡(4)+Q‡(3;1)+Q‡(2;2)+Q‡(2;1;1), etc. Posons v = dim (Z ). On a alors la4 p Q p
conjecture suivante, dont le point (i) est du^ a? Zagier et le point (ii) a? Goncharov.
Conjecture 1. | (i) Pour tout entier p‚ 2, on a v = c , ou? l’entier c est d¶eflni parp p p
la r¶ecurrence lin¶eaire c =c +c , avec c =1, c =0 et c =1.p+3 p+1 p 0 1 2
(ii) LesQ-espaces vectorielsQ etZ (p‚2), sont en somme directe.p
pLa suite (v ) devrait donc cro^‡tre comme fi (ou? fi… 1;3247 est racine du polyn^omep p‚2
3 p¡2X ¡X¡1), ce qui est bien plus petit que 2 . Il y a donc conjecturalement beaucoup
de relations lin¶eaires entre les polyz^etas de m^eme poids et aucune en poids difi¶erents :
dans cette direction, un th¶eoreme? de Goncharov [7] et Terasoma [13] a–rme que l’on a
3
v •c pour tout entier p‚2. Il reste donca? montrer l’in¶egalit¶e inverse pour montrer (i),p p
mais aucune minoration non triviale de v n’est connue a? ce jour : m^eme si les relationsp
classiques donnent v =v =v =1, on est bloqu¶e d?es l’¶egalit¶e v =2, qui est ¶equivalente2 3 4 5
a? l’irrationalit¶e toujours inconnue de ‡(5)=(‡(3)‡(2)). Plus g¶en¶eralement, un des int¶er^ets
de la Conjecture 1 est d’impliquer la suivante.
Conjecture 2. | Les nombres …;‡(3);‡(5);‡(7);‡(9); etc, sont alg¶ebriquement ind¶epen-
dants surQ.
Cette conjecture semble actuellement totalement hors de port¶ee. Un certain nombre de
r¶esultats diophantiens ont n¶eanmoins ¶et¶e obtenus en profondeur 1, c’est- a-dire dans le cas
de la fonction z^eta de Riemann (voir [6]) :
(i) Le nombre ‡(3) est irrationnel (Ap¶ery [1]);
(ii) La dimension de l’espace vectoriel engendr¶e surQ par 1, ‡(3), ‡(5);:::;‡(A) (avec
A impair) cro^‡t au moins comme log(A) ([2, 11]);
(iii) Aumoinsundesquatrenombres‡(5);‡(7);‡(9);‡(11)estirrationnel(Zudilin[18]).
(1)Ces r¶esultats peuvent ^etre obtenus par l’¶etude de certaines s¶eries de la forme
1X P(k)
(1.1)
A(k)n+1k=1
avec P(X) 2 Q[X], n ‚ 0, A ‚ 1; on utilise ici le symbole de Pochhammer d¶eflni par
(k) = k(k +1):::(k +fi¡1). Ces s¶eries s’expriment comme combinaisons lin¶eaires surfi
Q de 1 et des valeurs de z^eta aux entiers. Le point crucial est que, dans ces combinaisons
lin¶eaires, flgurent seulement certaines valeurs de la fonction z^eta : ‡(3) dans le cas (i), des
valeurs ‡(s) avec s impair dans les cas (ii) et (iii). Ceci provient (dans les deux derniers
cas, et aussi dans certaines preuves de (i)) d’une propri¶et¶e de sym¶etrie li¶eea? l’aspect (tres)?
bien ¶equilibr¶e de la s¶erie (1.1) (voir [2] ou [11]) :
Th¶eor?eme 1. | Soit P 2Q[X] de degr¶e au plus A(n+1)¡2, tel que
A(n+1)+1P(¡n¡X)=(¡1) P(X):
Alors la s¶erie (1.1) est une combinaison lin¶eaire, ?a coe–cients rationnels, de 1 et des
valeurs ‡(s) pour s entier impair compris entre 3 et A.
Le but de cet article est de donner deux g¶en¶eralisations, en profondeur quelconque, de
ce ph¶enom?ene de sym¶etrie. Nous esp¶erons que ces g¶en¶eralisations ouvriront la porte a?
(1)Du moins, dans le cas de (i) et (ii); le point (iii) n¶ecessite une autre id¶ee (s¶erie d¶eriv¶ee ) mais la
base de d¶epart est la m^eme. Voir la fln de l’Introduction pour plus d’explications.
4
des r¶esultats diophantiens (d’irrationalit¶e ou d’ind¶ependance lin¶eaire) sur les polyz^etas qui
interviennent (voirx2.3).
Notre premier r¶esultat (d¶emontr¶e au paragraphe 6) concerne des sommes d¶ecoupl¶ees,
p⁄c’est- a-dire portant sur tous les p-uplets (k ;:::;k )2N :1 p
Th¶eor?eme 2. | Soient p‚ 1, n‚ 0 et A‚ 1 des entiers. Soit P 2Q[X ;:::;X ] un1 p
polyn^ome de degr¶e •A(n+1)¡2 par rapport ?a chacune des variables, tel que
P(X ;:::;X ;¡X ¡n;X ;:::;X )1 j¡1 j j+1 p
A(n+1)+1=(¡1) P(X ;:::;X ;X ;X ;:::;X )1 j¡1 j j+1 p
pour tout j2f1;:::;pg. Alors la somme multiple
X P(k ;:::;k )1 p
(1.2)
A A(k ) :::(k )1 pn+1 n+1k ;:::;k ‚11 p
est un polyn^ome ?a coe–cients rationnels, de degr¶e au plus p, en les ‡(s), pour s entier
impair compris entre 3 et A.
Par exemple, lorsque A=3 ou A=4, cette somme est un polyn^ome en ‡(3). Quand on
prend p=1, on retrouve exactement le th¶eoreme? 1 (quel que soit A).
La preuve du th¶eoreme? 2 consiste essentiellement (apres? avoir d¶ecompos¶e la fraction
rationnelle en ¶el¶ements simples) a? s¶eparer la somme multiple en un produit de p sommes
simplesauxquellesonappliqueleth¶eoreme? 1.Elleutiliseaussiunprocessusder¶egularisation,
dans une situation simple et ¶el¶ementaire.
L’inconv¶enientprincipalduth¶eor?eme2,dupointdevuedesapplications¶eventuelles,est
le fait que la somme sur k , ..., k soit d¶ecoupl¶ee. Cet inconv¶enient est visible par trois1 p
aspects que nous d¶ecrivons maintenant.
Tout d’abord, les s¶eries d¶ecoupl¶ees donnent toujours des polyn^omes en valeurs de ‡ en
des entiers, m^eme quand on omet l’hypoth?ese de sym¶etrie du th¶eor?eme 2. Cette remarque,
qui d¶ecoule de la preuve du th¶eoreme? 2 (voirx6), montre que les polyz^etas ne peuvent pas
intervenir r¶eellement dans ce cadre.
Ensuite, consid¶erons la s¶erie de Ball
1X n (k¡n) (k+n+1)