Universite de la Mediterranee Aix Marseille U F R de Mathmatiques

Sébastien Palcoux

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Universite de la Mediterranee, Aix-Marseille 2 U.F.R. de Mathmatiques These pour obtenir le grade de DOCTEUR DE L'UNIVERSITE AIX-MARSEILLE 2 Specialite: Mathematiques presentee et soutenue publiquement par Sebastien Palcoux le 9 decembre 2009 Titre: Serie discrete unitaire, caracteres, fusion de Connes et sous-facteurs pour l'algebre Neveu-Schwarz Directeurs de these: Antony Wassermann Rapporteurs: Olivier Mathieu Teodor Banica Jury: Pierre Julg Christophe Pittet Michael Puschnigg Vincent Secherre Georges Skandalis Antony Wassermann

• algebres d'operateurs


• local von


• algebres de von neumann locales


• vertex operators


• milieu professionnel des algebres d'operateurs


• neumann algebras


• kac determinant


• fusion de connes

Sujets

• Banica
• Wassermann

Informations

• Publié par: mijec
• Publié le: 01 décembre 2009
• Nombre de lectures: 101
• Langue: Français

Extrait

Université de la Méditerranée, AixMarseille 2 U.F.R. de Mathmatiques

Thèse pour obtenir le grade de DOCTEUR DE L’UNIVERSITE AIXMARSEILLE 2 Spécialité: Mathématiques présentée et soutenue publiquement par SébastienPalcoux le 9 décembre 2009

Titre: Série discrète unitaire, caractères, fusion de Connes et sousfacteurs pour l’algèbre NeveuSchwarz

Directeurs de thèse:

Rapporteurs:

Jury:

Antony

Olivier Teodor

Pierre Christophe Michael Vincent Georges Antony

Wassermann

Mathieu Banica

Julg Pittet Puschnigg Sécherre Skandalis Wassermann

Remerciements:

Je tiens à remercier mon directeur de thèse Antony Wassermann, pour m’avoir initié aux algèbres d’opérateurs et à la théorie conforme des champs. Il m’a montré en particulier à quel point les champs primaires pouvaient jouer un rôle fondamental, voire indispensable, dans le domaine. Je le remerci egalementpouravoirréussiàfocaliser é monattention,quiaudépartétaittrès dispersé. Je le remercie enfin pour m’avoir ouvert au milieu professionnel des algèbres d’opérateurs, en particuler grâce à de nombreux voyages pour des colloques. Ces années de thèse m’ont montré ce qu’est le travail concret du mathématicien.

Contents

1

2

I

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Introductionenfran¸cais 1.1 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2Aperc¸u........................ 1.3 Résultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 L’algèbre NeveuSchwarz . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Superalgèbres d’opérateurs vertex . . . . . . . . . 1.6g. .superalgèbre d’opérateur vertex et modules . 1.7 Le cadre de GoddardKentOlive . . . . . . . . . 1.8 La formule du déterminant de Kac . . . . . . . . 1.9 Le critère d’unitarité de FriedanQiuShenker . . . 1.10 L’argument de Wassermann . . . . . . . . . . . . 1.11 Algèbres de von Neumann locales . . . . . . . . . 1.12 Champs primaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.13 Fusion de Connes et sousfacteurs . . . . . . . . .

Introduction in english 2.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 The NeveuSchwarz algebra . . . . . . . . . 2.5 Vertex operators superalgebras . . . . . . . . 2.6 Vertexg. . . .superalgebras and modules . 2.7 GoddardKentOlive framework . . . . . . . 2.8 Kac determinant formula . . . . . . . . . . . 2.9 FriedanQiuShenker unitarity criterion . . 2.10 Wassermann’s argument . . . . . . . . . . . 2.11 Local von Neumann algebras . . . . . . . . . 2.12 Primary fields . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13 Connes fusion and subfactors . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

Unitary series and characters forVir 1/2

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7 7 8 10 12 13 15 16 17 18 19 20 21 23

25 25 26 28 30 31 33 34 35 36 37 38 39 41

43

The NeveuSchwarz algebra 44 3.1 Witt superalgebras and representations . . . . . . . . . . . . . 44

4

5

6

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8

3.2 3.3

Investigation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Unitary highest weight representations . . . . . . . . . . . . .

Vertex operators superalgebras 4.1 Investigation on fermion algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 General framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 System of generators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Application to fermion algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Vertex operator superalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vertexgsuperalgebras and modules 5.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Simple Lie algebrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Loop algebraLg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2gvertex operator superalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1gfermion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2gboson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3g. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .supersymmetry . 5.3 Vertex modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

GoddardKentOlive framework 6.1 Characters ofLgmodules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Coset construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 General framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Character of the multiplicity space . . . . . . . . . . . . . . .

Kac 7.1 7.2 7.3

determinant formula Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Singulars vectors and characters . . . . . . . . . . . . . . . . . Proof of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

FriedanQiuShenker unitarity criterion 8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Proof of proposition 8.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45 48

50 50 52 57 60 63

65 65 65 66 67 67 69 70 73 73 74

76 76 79 79 80 81

83 83 84 85

87 87 88

9

II

8.3

Proof of theorem 8.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Wassermann’sargument

Connes fusion and subfactors forVir 1/2

95

97

10 Local von Neumann algebras 98 10.1 Recall on von Neumann algebras . . . . . . . . . . . . . . . . 98 10.2Z 2 99. . . . . . . . . . . . . . . . graded von Neumann algebras 10.3 Global analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 10.4 Definition of local von Neumann algebras . . . . . . . . . . . . 103 10.5 Real and complex fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 10.6 Properties of local algebras deducable by devissage from loop superalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 10.7 Local algebras and fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

11 Primary fields 115 11.1 Primary fields forLSU(2) . 115. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Primary fields forVir 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 11.3 Constructible primary fields and braiding forVir 1/2 123. . . . . . 11.4 Application to irreducibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

12 Connes fusion and subfactors 131 12.1 Recall on subfactors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 12.2 Bimodules and Connes fusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 12.3 Connes fusion withH α onVir 1/2 133. . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Connes fusion withH β 136. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5 The fusion ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 12.6 The fusion ring and index of subfactor. . . . . . . . . . . . . . 138

1

Introductionenfranc¸ais

1.1 Contexte Dans les années 90, V. Jones and A. Wassermann ont commencé un pro gramme dont le but est de comprendre la théorie (unitaire) conforme des champs du point de vue des algèbres d’opérateurs (voir [46], [98]). Dans [99], Wassermann définit et calcule la fusion de Connes des représentations d’énergie positive irreductibles du groupe de lacetsLSU(n) à niveau fixé ℓ, en utilisant des champs primaires, et avec des conséquences en théorie des sousfacteurs. Dans [87] V. Toledano Laredo prouve les règles de fu sion de Connes pourLSpin(2nMain) en utilisant des méthodes similaires. 1 tenant, soit Diff(S) le groupe de difféomorphisme du cercle, son algèbre de Lie est l’algèbre de WittWengendrée pard n (n∈Z), avec [d m , d n ] = (m−n)d m+n admet une unique extension centrale appelée algèbre de Vi. Elle rasoroVirreprésentations unitaires d’énergie positive et les formules de. Ses caractères peuvent être déduites de la construction ‘coset’ de GoddardKent Olive (GKO), à partir de la théorie deLSU(2) et des formules de KacWeyl (voir [100], [35]). Dans [66], T. Loke utilise la construction ‘coset’ pour cal culer la fusion de Connes pourVir. Maintenant, l’algèbre de Witt admet deux extensions supersymétriquesW 0 etW 1/2 avec des extensions centrales appelées algèbres Ramond et NeveuSchwarz, notéesVir 0 etVir 1/2 ce. Dans travail, on donne une preuve complète de la classification des représentations unitaires d’énergie positive deVir 1/2 , on calcule leur caractères et la fusion de Connes, avec des conséquences en théorie des sousfacteurs. On pourrait faire de même avec l’algèbre RamondVir 0 , en utilisant des modules vertex tordus sur l’algèbre d’opérateurs vertex de l’algèbre NeveuSchwarzVir 1/2 , comme R. W. Verrill [96] et Wassermann [102] l’ont fait pour les groupes de lacets tordus.

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1.2Aper¸cu Tout d’abord, on regarde les représentations unitaires projectives d’énergie positive deW 1/2 . La projectivité donne des 2cocycles, donnant àW 1/2 , une unique extension centraleVir 1/2 . Ces représentations sont complètement réductibles et les irréductibles sont données par les représentations unitaires de plus haut poids deVir 1/2 : des modules de VermaV(c, h) quotientés par les ’vecteurs nuls’, dans le cas ‘sans fantôme’. A partir de l’algèbre des fermions surH=F N S , on construit le champ fermionψ(z). La localité et le lemme de Dong permettent, grâce à des OPE (operator product expansion), d’engendrer un ensemble de champsS, tel qu’il existe une bijectionV:H→ S, avecId=V(Ω) et un champ Virasoro L=V(ωon donne les axiomes de superalgèbre d’opérateurs). Ensuite, vertex, permettant d’aller jusque là dans un cadre général (H, V,Ω, ω), avec Hun espace préhilbertien. Soitgune algèbre de Lie simple de dimension fini, b g + l’algèbregboson (une extension centrale de l’algèbre de lacetsLg) et b g − l’algèbregfermion. On construit un module de superalgèbre d’opérateur vertex à partir deg b = g b g⋉ b gsur )⊗ Fel queViry agit avec (c, h) = +− H=L(V λ , ℓ N S , t 1/2 ℓ+1/3 g c V 3 λ ( 2 ∙dim(g),), avecgle nombre de Coxeter dual etc V λ le nombre ℓ+g2(ℓ+g) de Casimir. Soitg=sl 2 , en utilisant le cadre des fonctions thêta, on obtient la g g décomposition deH=F ⊗(L(j, ℓ)⊗ F) comme b gespacesmodule. Les N S N S de multiplicité des composantes irréductibles sont des espaces de superen trelacementHom g b (H k , H); on en déduit leur caractère comme module de m Vir, h) co module par construction ‘coset’. 1/2 qui agit avecL(c m pq mme sous L’unitarité de la série discrète s’ensuit. m On définit des polynômes irréductiblesϕ(c, h) à parth). Le pq ir de (c m , pq déterminant de Kacdet n (c, h) de la forme sesquilinéaire surV(c, h) à niveau nest facilement interpolé comme un produit deϕ pq , en calculant les ex emples pournpetit. Pour le prouver, on met en lumière des liens entre des résultats précedents sur les caractères et des vecteurs singulierss(i.e. G 1/2 .s=G 3/2 .s= 0), dont l’existence annuledet n . Un déterminant de Kac négatif montre facilement un ‘fantôme’ dans la c région entre les courbesh=h. Maintenant, on part de la région ‘sans pq fantôme’h >0,c >3/2, vers une courbe d’annulationCd’ordre 1; ainsi, de l’autre côté deC, il y a un ‘fantôme’. Par transversalité, il reste sur

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la prochaine courbe intersectantC; et ainsi de suite sur chaque courbes, à l’exception des ‘premières intersections’: la série discrète. Le théorème 1.2 s’ensuit. Finalement, un argument de cohérence entre les caractères des espaces de m multiplicitéMet ses irréductibles (dans la série discrète par FQS), montre pq m m m m Msans autre irréductible queL(c , h). Ainsi,M=L(c) et on pq m rs pq m , h p,q m obtient son caractère comme celui deM, déjà connu par la construction pq ‘coset’. Le théorème 1.3 s’ensuit. Maintenant, b getVir 1/2 donnent des superalgèbres localesg b (I) etVir 1/2 (I) par couplage avec les fonctions lisses s’annulant en dehors deI(un intervalle 1 propre deSdes estimées de Sobolev, l’action sur les représentations). Par d’énergie positive est continue. On engendre leur algèbre de von Neumann, contenue dans une algèbre de fermions. Par le dévissage de Takesaki et la construction ‘coset’, on obtient que ces algèbres sont le facteur hyperfini de type III 1 , dont les supercommutants sont engendrés par des chaines de com pression de fermions. Il y a également une dualité de HaagAraki dans le vide, et en dehors, un sousfacteur de JonesWassermann, comme défaut de dualité. Les fermions compressés sont des exemples de champs primaires. On les construitengénéral,àpartird’applicationsentrelac¸antdeuxreprésentations irréductibles, et à coefficients dans un espace de densités. On voit que ces ap plications sont complètement caractérisées, bornées et classifiées par ‘coset’, pour deux charges particulièresα,β. On obtient également leurs relations de tressage, qui permettent de donner le terme dominant d’une sorte d’OPE pour les champs primaires couplés, ce qui permet d’avoir la densité de von Neumann et l’irréductibilité des sousfacteurs. Ainsi, on obtient des bimodules irréductibles d’algèbres de von Neumann locales, donnant un cadre pour définir la fusion de Connes. Ses règles sont une conséquence directe de la formule de transport (expliquant l’entrelacement pour des châınes), qui est prouvée en utilisant les relations de tressage et la densité de von Neumann. Les règles donnent la dimension de l’espace des champs primaires; elles montrent également que les sousfacteurs sont d’indice fini et explicitement donné par le carré de la dimension quantique, un caractère de l’anneau de fusion, donné comme l’unique valeur propre positive d’une matrice de fusion, et un produit de deux dimensions quantiques pour LSU(2) par le théorème de PerronFrobenius.

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1.3 Résultats principaux Partie I: Série unitaire et caractères pourVir 1/2 Les représentations irréductible d’énergie positive de l’algèbre NeveuSchwarz sont notéesL(c, hNotre propos est de donner) avec Ω leur vecteur cyclique. une preuve complète de la classification des représentations unitaires, de telle manière qu’on obtienne directement les caractères de la série discrète, sans résolution de FeiginFuchs [20]. L’algèbre NeveuSchwarz est définie par :  C 3  [L m , L n ] = (m−n)L m+n + (m−m)δ m+n 12 n [G r , L n ] = (m−)G r+n 2  C2 1 [G r , G s ] + = 2L r+s + (r−)δ r+s 3 4 1 ⋆ ⋆ avecm,n∈Z,r,s∈Z+ ,L=L, = 2 n −n G r G −r . L La propriété d’énergie positive signifie queL(c, h) =H=H n , avec 1 n∈N, tel queL 0 ξ= (n+h)ξsurH n etH 0 =CΩ (avecCΩ =cΩ). 2 Lemme 1.1.SiL(c, h)est unitaire, alorsc, h≥0

Théorème 1.2.La classification des représentations unitairesL(c, h)est :

(a)Série continue:c≥3/2eth≥0.

m discrète:(c, h) = (avec: (b)Sériec m , h pq )

3 8 c m = (1−) 2m(m+ 2)

et les entiersm≥2,

et

2 ((m+ 2)p−mq)−4 m h= pq 8m(m+ 2)

1≤p≤m−1,

1≤q≤m+ 1etp≡q[2].

Théorème 1.3.Les caractères de la série discrète sont:

m L 0 −c m /24m−c m /24 ch(L(c m , h))(t) =tr(t) =χ N S (t).Γ (t).tavec pq pq Y X n−1/2 1 +t m m m γ(n)γ(n) pq −pq χ N S (t) =,Γ (t) = (t−t)et pq n 1−t ⋆ n∈Nn∈Z 2 [2m(m+ 2)n−(m+ 2)p+mq]−4 m γ(n) = pq 8m(m+ 2)

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