Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Première

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Application du produit scalaire
Cours, Chapitre en Mathématiques (2010) pour Première S

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Extrait

I) Théorèmede la médiane:

Ch...: Applications du produit scalaire

Soient A et B deux points et I milieu de [AB].Figure: 1 MA²MB²=2MI²AB² Pour tout point M, on a:. 2 Démonstration: Soient A et B deux points et I le milieu de [AB]. Pour tout point M on peut écrire: MA²MB²=MA²MB²=........²........²=MI²2MI.IAIA²... ²2 ... ...... ² MA²MB²=2MI²2MI.IAIB... ²... ²=2MI²... Donc 1 IA=IB=AB I étant le milieu de [AB], on a, donc IA² + IB² = ...AB² + ... AB² = ... 2  = 2MI.IAIB=... On a aussi IA IB0 , donc On en déduit que MA² + MB² = ...

Application:Deux points A et B sont tels que AB = 4. 1) Déterminerl'ensemble des points M tels que MA² + MB² = 26. k k 2) Donner,suivant le valeurs du réel, l'ensemble des points M tels que MA² + MB² =. ........................................................................................................................................................................................

II) Théorèmed'Al-Kashi:

BAC=ABC=ACB= Soit ABC un triangle avec BC = a, AC = b, et AC = c. On donne, , . c²=a²b²−2ab cos b²=a²c²−2ac cos On a:Figure: a²=b²c²−2bccos Démonstration: AB²AB=AC CB AB²=ACCB² AB² =Or ,d'où: .On développe l'identité remarquable: AC²2.−CA.CBCB² ... = AB²=AC²−2CA.CBCB² AC²−2.CA.CB. cosACBCB² Donc =c'est à dire: ...

Remarque:lorsque le triangle est rectangle, on reconnaît le théorème de Pythagore. C'est pourquoi on appelle communément le théorème d'Al-Kashi le « théorème de Pythagore généralisé ».

= Application:ABC est un triangle tel que AB = 3, AC = 8 et BAC22° . Donner une valeur approchée de BC, ainsi que des autres angles du triangle. ........................................................................................................................................................................................

III) Relationdes sinus:

BAC=ABC=ACB= Soit ABC un triangle avec BC = a, AC = b, et AC = c. On donne, , . 1 1 1sinsinsin S=absin=acsin=bcsin= = L'aire S du triangle ABC est:et on a. 2 22a b c Démonstration: Considérons le point H pied de la hauteur issue de A. On sait que l'aire S du triangle s'exprime par la formule vue b×h S= au collège, ici b = BC et h = AH. 2 1 AH=ACsin=bsin S=absin Dans le triangle rectangle ACH, rectangle en H, on a:. On en déduit que. 2

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1 11 absin=acsin=bcsin On réalise la même démarche pour les autres côtés et on trouvedonc 2 2 2 absinacsinbcsin absin=acsin=bcsin abc = = . Si on divise chaque membre par, on a:et en abc abc abc simplifiant, on retrouve bien la relation des sinus.

BAC=22°ABC=43° Application:et .Donner une valeur approchée deABC est un triangle tel que AB = 3, AC et de BC. ........................................................................................................................................................................................

IV) Théorèmedu parallélogramme:

Dans un parallélogramme, les sommes des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés des quatre côtés. Autrement dit ...

Démonstration: On considère un parallélogramme ABCD. La somme des carrés des diagonales est: AC²BD²AC=...... BD=...... AC² + BD² =. Or d'après la relation de Chalses:et d'où: D² == = AC² + BD² =on ADDC²BCC s. Pos u  =AD BC et v  AB CD , on obtient donc: u  ²2  u.v  v  ²u  ²−2  u.v  v  ² AC² + BD² = ...= AB²AD²DC²BC² Donc AC² + BD² = ...soit .

 u Exercice:des coordonnées (2;-3) et le Le plan est rapporté à un repère orthonormal. On considère le vecteur point A de coordonnées (1;2). ⊥ 1) Faireune figure. Représenter l'ensemble E des points M du plan tels que AM  u . 2) Démontrerque E est une droite dont on donnera l'équation.

V) Vecteurnormal et équation de droite:

Définition: n  On appelle vecteur normal à une droite d, tout vecteurnon nul orthogonal à un vecteur directeur de d.

n  Remarque:un vecteur normal à d, alors l'ensemble des vecteurs normaux à d est l'ensemble desSi est n  vecteurs non-nuls colinéaires à.

Propriétés:     Le plan est rapporté à un repère orthonormal jO ; i ; . ➢  na ; b Une droite d ayant pour vecteur normal le vecteura une équation de la forme a xb yc=0 . ➢ a xb yc=0  nba ; Une droite d ayant une équation de la formea pour vecteur normal. Démonstration:   O ; i ;j Le plan est rapporté à un repère orthonormal.   ● n  ba ; x  ; y  Si d a pour vecteur normalet passe par le point: M∈d  Pour tout poi nt M(x;y) on a:<=> M⊥  n donc que M.n=0 .  x  y  y  duit scalaire M.n  va x  n Analytiquement, le prout n soit ... a xb y−a x  −b y  =0 D'où Enposant c = ..., on retrouve bien l'équation de la droite. ● a xb yc=0  u−b ; a Si d a pour équation, alors d a pour vecteur directeur le vecteur. Le vecteur  nba ; u  −b×aa×b=0 n  a ; b est orthogonal àpuisque .Donc estun vecteur normal à d.

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Remarque:l'équation du cercle. O ; i ;j x   ; y    Dans le plan est rapporté à un repère orthonormal, le cercle de centre x−x  ²y−y  ²=r² pour équation:. = Le cerclede diamètre [AB] est l'ensemble des points M tels que AB.BM0 . En exprimant le produit scalaire en fonction des coordonnées, on retrouve l'équation du cercle.

    Application:Dans le plan est rapporté à un repère orthonormal O ; i ;j AB.BM= 1) SoitM(x;y). Montrer que 0 + y² = 0.donc que x² – 5x 2) Endéduire l'équation du cercle C de diamètre [AB].

et de rayon r a

, on donne: A(1;2) et B(4;-2).

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