Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Terminale

Tcherkan

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Exponentielles de base a
Cours, Chapitre en Mathématiques (2012) pour Terminale ES

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Extrait

EXPONENTIELLES DE BASE a

I.1 Un jeu d'écriture

I. GENERALITES

u ( x ) On considère la fonctionf:x→eavecu ( x ) =x ( lna ) , oùa> 0 etxun réel quelconque. Simplifions l'expression algébrique de la fonctionf u ( x ) ( lna ) x lna x x f ( x ) =e=e=e=a Cherchons l'ensemble de définition def f= expouet comme exp est définie surℝ, l'ensemble de définition defest donc celui deu, c'est à dire ℝ.

I.2 Définition et vocabulaire

Définition

x aétant un réel strictement positif, on appelleexponentielle de base a, la fonctionx→ac'est à dire xln ( a ) x→e Toute exponentielle de base a est définie surℝ. Remarque.

L'étude du cas particuliera=ea déjà été traité dans le chapitre "La fonction exponentielle"

Vocabulaire

x n Si x est un entier , par exemplex=navecn∈ ℕ, alorsa=aet n xln ( a ) nln ( a ) ln ( a ) n x→e=e=e=a=a ×....× a, n fois, autrement dit on retrouve la fonction puissance classique que vous avez étudiée en 4è. C'est pourquoi les fonctions exponentielles de basea> 0 sont aussi appelées fonctions puissances. πy D'ailleurs à la calculatrice pour calculer 3 on utilise la touche ^ oux.

Propriétés algébriques

Propriété I.1. Pour tous réels strictement positifs a et b,et pour tous réels x et y, on a: x 1a x x x+yy x −x x−x xy x y x y x ln ( a ) =xlna ;1 = 1a ; =a × a ; a= ; a= ; a= ( a )  ; ( ab ) =a × b ; x y a a x x a a = x b b

1

Aucun effort de mémoire à fournir, puisqu'on retrouve les mêmes régles qu'avec les puissances usuelles de 4è.

Néanmoins, nous rédigerons la démonstration de cette propriété afin de se familiariser avec les fonctions exponentielles de base a>0.

Démonstration.

x xlna x xln1 0x+y ( x+y ) ln ( a ) xln ( a ) yln ( a ) x y ln ( a ) = ln e = xln ( a )  ; 1 = e = e = 1  ; a = e = e e = a a  ; x 1a y x−y xln ( a ) −yln ( a ) x−y x xy xyln ( a ) yxln ( a ) xln ( a ) x y a = e e = aa a × =  ; a = e = e = e = ( a )  ; y y a a a x x xln a1a x xln ( ab ) x ( ln ( a ) +ln ( b )) xln ( a ) +xln ( b ) xln ( a ) xln ( b ) x x x ( lna−lnb ) xlna−xlnb x b ( ab ) = e = e = e = e × e = a × b  ; = e = e = e e = a × = x x b b b

II.1 Signe

Propriété II.1.

II. F ONCTIONSPUISSANCES

Soit a>0.La fonction exponentielle de base a est strictement positive.

Démonstration.

x u ( x ) Soit a>0 et notons f:x→a .On a pour tout réel x , f ( x ) = e avec u ( x ) = x ( lna ) . La fonction exponentielle exp étant strictement potitive,il vient que f est strictement positive.

II.2 Fonction dérivée

Théorème II.1.Toute fonction exponentielle de base a>0 est dérivable surℝet la dérivée de x x x→xa est → ( lna ) a

Démonstration.

x u ( x ) Notons f:x→a .On a pour tout réel x , f ( x ) = e avec u ( x ) = x ( lna ) avec u dérivable telle que u' ( x ) = lna . u u x ( lna ) x Donc f est dérivable sur ℝ . Or ( e ) ' = u'e , donc f' ( x ) = ( lna ) e = ( lna ) a

Exemple.

x x Si f ( x ) = 3alors f' ( x ) = ( ln3 ) 3

II.3 Sens de vraiation de f

xlna Pour tout réel x,f' ( x ) = ( lna ) e.La fonction exponentielle de base e est trictement positive doncf' ( x ) est du signe delna.Orlna> 0⇔a> 1 etlna< 0⇔0 <a< 1. Doncf' ( x ) > 0⇔a> 1 etf' ( x ) < 0⇔0 <a< 1.

2

x Théorème II.2.Si a> 1,alors x→a est strictement croissante surℝ. x Si0 <a< 1alors x→strictement décroissante sura est ℝ. Exemple.

x x→ 3est strictement croissante surℝ, car 3>1. x 1 1 x→est strictement décroissante surℝ, car0 < < 1 2 2

II.4 Limites aux bornes de l'ensemble de définition

x xlna Pour tout réel a>0 et tous réelsx, on aa=e.Posons doncX=xlna.

Sia> 1, alorslnalim> 0, donc Xlim= − ∞ et X= + ∞. x→ − ∞x→ + ∞ X X Or lime= 0 et lime= + ∞. x→ − ∞x→ + ∞ xlna xlna Donc d'après le thm sur la limite d'une fonction composée limelim= 0 et e∞= + x→ − ∞x→ + ∞ Si 0 <a< 1, alorslnalim< 0 donc Xlim= + ∞ et X= − ∞. x→ − ∞x→ + ∞

D'où le

x x Théorème II.3.Si a> 1,lima= 0etlima= + ∞. X→ − ∞X→ + ∞ x x Si0 <a< 1, alorslima= + ∞etlima= 0 x→ − ∞x→ + ∞

III. C OURBESREPRÉSENTATIVES

x1 Six= 1 alorsa=a=a, donc la courbe représentative d'une fonction exponentielle de base a>0 passe toujours par le pointA ( 1;lna ) .

3

a>1

0<a<1

IV. LIEN AVEC LES SUITES GEOMETRIQUES

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IV.1 Forme exponentielle

Théorème IV.1.

1. Toute suite géométrique ( u ) de raison a> 0stictement positif peut s'écrire:et de terme initial u n0 An+B u=tout naturel n (où A et B sont des réels).e pour n an+b 2. Réciproquement toute suite de la forme e où a et b sont des réels fixés, est une suite a b géométrique de raison e et de terme initial e

Démonstration.

n 1. étant une suite géométrique de rais 0 pour tout naturel n. on a, n = a u ( un ) u ln ( u ) n nln ( a ) 0 u> 0 donc u = e et de même puisque a>0, a = e . 0 0 n ln ( u ) nln ( a ) ln ( u ) nlna+ln ( u ) 0 0 0 u n = a e = e e = e = . an+b A = lna B = ln ( u ) = e En posant et 0 , on obtient un an+b aa n b an b b 2. ment supposons que pour tout naturel n, u = e = e e = e ( e ) e Réciproque ant 0 = e ent n t en pos u et q = e , il vi n u un = 0 q pour tout naturel n. a b )  donc bie ( un une suite géométrique de raisonest n e et de premier terme e

IV.2 RACINE nième d'UN REEL POSITIF

Considérons la fonction puissance restreinte à [ 0; + ∞ [ et soit donc f la fonction définie sur [ ∞0; + [ par n f:x→xoù n est un naturel non nul, donc supérieur ou égal à 1. n− 1 f est dérivable sur son ensemble de définition etf' ( x ) =nxavecn ≥ 1 donc f' ( x ) ≥ 0 pour tout x∈ [ 0; + ∞ [

x

f ( x )

0

0

a

+∞

+∞

Si a désigne un réel positif ou nul, alors d'après le tableau des variations,comme f est positive, continue et n strictement croissante, alors l'équationf ( x ) =ac'est à dire l'équationx=aadmet une unique solution dans [ ∞0; + [ . 1 n Cette unique solution est notéeaou √ a. n

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n Propriété IV.1. et définition: Pour tout entier n ≥ 1 et pour tout réel a ≥ 0 , l'équation x=a admet une unique solution dans [ ∞0; + [ . Cette solution est appelée racine nième de a. 1 n n n x=a⇔x=a⇔x= √ a Remarque.

De même que la racine carrée d'un réel positif a est l'unique réel positif dont le carrée est a, la racine nième de a est l'unique réel positif dont la puissance nè est a. Exemple.

1 ( 16 ) est le nombre stristement positif dont la puissance 4è est égale à 16. 4 1 4 4 Or162 = et 2>0. Donc ( 16 ) = 2

Conséquence.

1 n En gardant les mêmes notations:a

IV.3 Moyenne géométrique

Définition IV.1. 1 n le réel ( a a...a ) 1 2n

Exemple.

n 1 =aeta 2

2 1 2 =aet comme √ a> 0 et ( √ a ) =aon aa=√a 2

a,a, ...,asont n réels >0.On appelle moyenne géométrique de ces nombres 1 2n

1 1 3 3 La moyenne géométrique de 4, 2 et 1 est ( 4×2×1 ) = 8. 1 1 3 3 3 8est le nombre strictement positif dont la puissance 3è est égale à 8.Or82 = et 2>0 donc8=2 Remarque.

t Un pourcentage d'augmentation det% correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 100 t Un pourcentage de diminution det% correspond à un coefficient multiplicateur de 1 − 100 Un pourcentage de variation moyen correspond à la moyenne géométrique des coefficients multiplicateurs.

IV.4 Exercices

Ex1: M.Williams place 20 000 euros à intérêts composés pendant 9 ans.Son capital s'élève alors à 45 637.83 euros. Calculer le taux annuel t de placement.

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45637.83 9 9 t t Solution: 45637.83 = 20000× 1 + donc 1 + = , c'est à dire 100 100 20000 1 45637.83 9 t 1 + = , que l'on calcule à l'aide de la calculatrice en utilisant pour CASIO la touche ^ 100 20000 (1:9).On obtientt≈ 9.6%

Ex2: Entre 2000 et 2001, une action côtée en bourse a augmenté de 10.25%. Entre 2001 et 2002, elle a de nouveau augmenté de 21%.Calculer le taux moyen d'augmentation entre 2000 et 2002.

Solution: Sur les 2 années, le prix de l'action a été multiplié par ( 1 + 0.1025 )( 1 + 0.21 ) = 1.1025×1.21. Le coefficient multiplicateur moyen est la moyenne géométrique des deux nombres 1.1025 et 1.21, c'est à dire 1 ( 1.1025×1.21 ) = ( 1.1025×1.21 ) = 1.155 2 √ Donc le taux annuel d'augmentation est égal à 15.5%

Voir aussi Exercice résolu G p149 collection Déclic Term ES

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