Devoir Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau BTS

Kdouh

Description

Avec correction. Partiel 1
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2012) pour BTS Groupement A, BTS Génie optique

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• Publié par: ressources-pour-le-superieur
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• Langue: Français

Extrait

PARTIEL N°1 BTS1GO MATHEMATIQUES 2011-2012

Exercice1ratte3du’enpeparts°d’autrdnepetnatnoédnis):ntoip3sle(snoitseuq°2te°1s

 On désigne parEun nombre réel de l’intervalle ]0 ; 3[.  On considère la fonctionfdéfinie sur ¡ ,paire, périodique depériode 5, telle que : ì E´t si0£t£1 ï 1 % # %si£t f(t) í (3E)t2E3 1£2 ï 3si2£t£5 / 2 î  On se place dans le cas oùE= 2.

1° ) Préciser l’écriture def(t ) sur chacun des intervalles [ 0 ;1[ , 5 / 2 ] .2 ; et [ [1; 2[

2° ) Représenter graphiquement la fonctionf [ sur l’intervalle %5;10 ] .

3°) Soit la fonction numériquefdéfinie par :  Représenter graphiquementfdans un repère orthonormal  sur l'intervalle [%2p; 3p]. Exercice2tsin:po3

ì f(t)13pour tÎ ] 0;p [ ï f(0)1f(p)10 í ï f est impaire,de périodeest périodique 2p î

1° ) Préciser l’expression de e (t tout ) pour t ] dans chacun des intervalles suivants : % ¥; 0[ ; ; [0;1[  [1 ; 2[ ; [2; 3[ et [3;#¥[

y 1

0,5

0

-0,5

1

e(t)

2

2° ) Montrer que pour tout réel t , e (t) peut s’écrire sous la forme : 5 1 e (t)1tU(t)%(t%1)U(t1%) 2#(t2%)U(t2)%(%t3)U%(t 2 2

3) .

3

x

Exercice 3 - 4pts 2 f  On considère la fonction définie sur ¡ par f(t) 1 sin ( t ! cos ( 2t ! pour tout réel t Î [ %p ; p ] .

p 1° ) Prouver que f est une fonction paire, de période .  En déduire un élément de symétrie de la courbeC .

é ù 2° ) Résoudre, dans l’intervalle 0;p/ 2 2 cos , l’équation ( 2t ! %110 ë û  Étudier le signe de 2 cos(2t)%1 sur [0 ;p/ 3] et sur [p/ 3;p/ 2] .

f'(t) % 3° ) Calculer et vérifier que f' (t) 1 sin (2t) ( 2 cos (2t) 1 ! . é ù  En déduire les variations de f sur 0 ;p/ 2 . ë û Exercice4:01niop.st %t%(t1%) (t%2 )% s  La fonction est définie par : s(t)1 ( t%1#e ! U(t)%2 ( 1%e ! U(t1)% ( t%2%1%e# ! U ì s(t)10si t00 ; ï %t 1 % # £ ï s(t)t1e si0t01 s 1° ) Vérifier que la fonction est alors définie sur ¡ par : í %t s(t)1t%3#e(1#2e)si1£t02 ï ï %t2 s(t)1e(1#2e%e)si t³2 î #  On rappelle que la notation f ( a ! représente la limite de la fonction f lorsque la variablet

# % f a1limf(t) f a1limf(t) ( ! ( ! tend versapar valeurs supérieures : t|a . De même, t|a . t2a t0a # % # % s1s1s2s2 2° ) Calculer ( ! , ( ! , ( ! , ( ! . s  Que peut-on en conclure pour la fonction lorsquet= 1 ett= 2?

3° )  a. Calculer s'(t] 0 ;1[ ,) sur chacun des intervalles ]1 ; 2 [ ] 2 ;  et #¥[ .

 b. Déterminer le signe de s'(t : ) sur l’intervalle ] 0 ;1[ , ]1 ; 2 [ 2 ;et ] #¥[ .

 c. Calculer la valeur exacte de s ( ln(1#2e ! . lims(t) #¥  Déterminer et dresser le tableau de variation de la fonction s sur ] 0 ; [ . t|#¥

# # % # % 4° ) Calculer s' ( 0 ! , s' ( 1 ! , s' ( 1 ! , s' ( 2 ! , s' ( 2 ! .  On admet que ces nombres sont respectivement les coefficients directeurs des demi-tangentes  à droite et à gauche aux points d’abscisse 1 et d’abscisse 2 de la courbe 9 représentative s  de la fonction

O;i;j 5° ) On se place dans le plan rapporté à un repère orthogonal ( ! d’unités graphiques 4 cm  sur l’axe des abscisses et 20 cm sur l’axe des ordonnées.

(t

2) .

%2 a. Recopier et compléter le tableau suivant dans lequel les valeurs numériques seront données à 10 près.

t s(t)

0,2

0,5

0,8

1

1,2

1,4

1,6

2

2,5

3

3,5

b. Tracer la courbe 9 et les tangentes ou demi-tangentes à la courbe 9 représentative de la fonction s  au points : 0 ; 1 et 2 .

ANNEXEcec:ieErx1 NOM ………………………………….. 2° y 4

3°)

-6

-4 p

-5

-4

-3 p

-3

ANNEXE EXERCICE 4

-2

-2 p

-1

3

2

1

0

- p

1

y 4

3

2

1

0 -1

-2

-3

-4

2

3

4

p

5

6

2 p

7

8

3 p

9

10

4 p

x

x

y

0,4

0,3

0,2

0,1

0

-0,1

1

-0,2 Exercice 1. ì 2t si0£t£1 ï 1 #i£t A. E12 , on obtient f(t) í t1s1£2 ï 3si2£t£5 / 2 î 2. Re résentation ra hi ue y 4

3

2

1

2

3

4

x

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5  La droite d’équation x1k où k est un entier relatif , est un axe de symétrie 2 [0;p] 3°) Le graphe defest donné sur . La fonctionfest impaire donc, par symétrie de centre O, on obtient [%p;p]  la représentation sur .La période est 2p ,donc, par translation de vecteur 2pi et %2pi ,on obtient [%3p;3p]  la représentation sur c ' est- à-dire sur l'intervalle demandé :

%)p

%(p

Exercice 2 5 e (t)1tU(t)%(t%1)U(t1%) 2#(t 2 t %¥ tU(t) 0 5 0 %(t%1)U(t1%) 2 2(t%2)U(t%2) 0 1 0 %(t%3)U(t3%) 2 e (t)1 0

Exercice 3 2 1. f(%t)1sin ( t% ! cos( 2%t)

%p

2%)U(t

0

y ) (

1

0 %1

%( %)

2)%

t 0

0 0

t

2 ( 1si%n ( t ! ! cos(2t)

1 (%t 2 1

p

3)U%(t

( p

3)

t 5 %(t%1) 2 0 0

3 5 %t# 2 2

2 s1in ( t ! cos(2t)

2

) p t

t 5 %(t%1) 2 2(t%2) 0

1 3 t% 2 2

3

#¥ t 5 %(t%1) 2 2(t%2) 1 %(t%3) 2 0

f1(t) , on constate que les points .

t Î é% p;p ù  Les point M (t) et M(%t) sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées .pour tout ë û  La courbe ( C fl’axes des ordonnées pour axe de symétrie .) admet 2 2 2  pour toutt, f(t#p)1sin ( t#p ! cos ( 2 ( t#p ! ! 1 ( %sin ( t ! ! cos(2t#2p)1sin ( t ! cos(2t)1f(t) f  Il suffit donc d’étudier sur un intervalle d’amplitude p / 2 , par exemple [0;p/ 2] . 2.fest dérivable sur [0;p/ 2] et sa dérivée est définie par : 2 2 2 é ù f'(t)12 cos(t) sin(t) cos(2t)%(2 sin t) sin(2t)1sin ( 2t ! cos ( 2t ! %2 cos ( 2t ! sin ( t ! 1sin ( 2t ! cos ( 2t ! %2sin ( t !  ; ë û 2 é ù é ù é ù f'(t)1sin ( 2t ! cos ( 2t ! %2 sin ( t ! 1sin ( 2t ! cos ( 2t ! % ( 1 c%os ( 2t ! ! s1in ( 2t ! 2 cos ( 2t ! 1% ë û ê ú ë û ë û é ù ' ;p/ 2 , sin ( 2t ! ³0 donc f(t) du singe de 2 cos 2t%1 . b. sur 0 est ë é ù é p/ 2 ù  Dans l’intervalle 0;p/ 2 , la fonction cosinus est décroissante sur 0; . ë ë û 1p p p  2 cos ( 2t ! %1³0Ûcos ( 2t ! ³ Ûcos ( 2t ! ³cosÛ0£2t£ Û0£t£ 2 3 3 6 é ù é ù  Donc sur 0;p/ 6f'(t)³0 ; fcroit et sur p/ 6 ;p/ 2 , f'(t)£0 ;f décroit . ë û ë û

t f'(t)

f(t)

0 0

0

+

p / 6 0 3 8

%

p / 2 0

%1

/6 p

-2 /3 p

- /2 p

- /3 p

- /6 p

y

0

-1

/6 p

/3 p

/2 p

2 /3 p

5 /6 x p

Exercice 4 Si t00 , on a : s(t)10 . %t Si 0 £ t 0 1 , on a s(t)1t%1#e ì 0#0#0si t00 %t ï t%1#e si0£t01 s(t)1 í %t t%3#e(1#2e)si1£t02 ï %t2 e(1#2e%e)si t³2 ï î %t%t1#t% Si 1 £ t 0 2 s(t)1t%1#e%2#2e#01t%3#e(1#2e) %t%t#2t%2 Si t³2 s(t)1t%3#e(1#2e)%t#3%e1e(1#2e e% ) d’où 1. on a : # %1%1 1%1#1%0 1%1 s(1 )1 %2#e(1#2e)1 %2#e#2e1 %2#e#2e1 %2#e#21e % %1 1 s(1 )11%1#e1e # % %1  On déduit que s(1 )1s(1 )1e et que s est continue en t 1 1 . # %22 2 %1% %2 2%1  De la même façon : s(2 )1e(1#2e%e)1e#2e% 1 et s(2 )1 %1#e(1#2e)1 %1#e#2e # % %2 1  Donc s(2 )1s(2 )1 %1#e#2e et la fonction s est continue en t 1 2 . ì 0si t00 %t ï 1%e si00t01 t s'(t)1 2. calculons la dérivée s : '( ) í %t 1%e(1#2e)si10t02 ï %t2 %e(1#2e%e)si t22 ï î  Etudions le signe de la dérivée s'(t) si 0 0 t 0 1 . Supposons que s'(t)³0 ; 1 1 %t % % æ ö t t Û £ Û % £ Û ³ #  On a alors 1 %e(1#2e)³0Û1³e(1#2e) e tlntln ( 1 2e ! ç ¸ 1#2e1#2e è ø  On obtient de manière analogue s'(t)£0 sit£ln ( 1#2e ! . t 1 2 ln ( 1#2e ! s'(t) 0 + 1.c. Calculons s ( ln ( 1#2e ! ! : 1 %ln(1#2e) s ( ln ( 1#2e ! ! 1ln(1#2e)%3#e(1#2e)1ln(1#2e)%3#(1#2e)1ln(1#2e)%2 1#2e %t2 lims(t)1lime(1#2e%e)10 t #¥ 0 1 2 ln ( 1#2e ! t|#¥ |#t¥ s'(t +0 + ) + %1 -0,13 0 e s(t) 0 ln(1#2e)%2