Devoir Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau Première

Claire Bijuduval

Description

Avec correction. Ds du 21-02-2011
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2011) pour Première S

Sujets

• Ressource
• ressources pédagogiques
• École
• Lycée
• exercices
• Cours
• Devoir scolaire
• Devoir surveillé
• Annales

Informations

• Publié par: ressources-de-premiere
• Nombre de lectures: 312
• Langue: Français

Extrait

Lundi 21 Février 2011.

Mathématiques. 1S1 et 1S2. 3 h. Calculatrice autorisée.

EXERCICE 1. 6 points.

f est la fonction définie sur IR par f(x) = sin x (1 + cos x). C f est la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthogonal (O ;,).

1. a.Montrer que f est périodique de période 2p.  b.f est-elle paire ou impaire ?  c.Expliquer pourquoi on peut restreindre l’étude de f à l’intervalle [0 ;p].

2.Montrer que la fonction dérivée f’ de f est définie sur IRpar f’(x) = 2 cos²x + cos x-1.

3.Etude du signe de f’(x) sur [0 ;p] : a. Factoriser le polynôme 2X² + X-1 b. En déduire une factorisation de f’(x). c. Déterminer les valeurs qui annulent f’(x) sur [0 ;p]. d. Etudier le signe de f’(x) sur [0 ;p]. e. Dresser le tableau de variation de f sur [0 ;p].

4.Déterminer, sur l’intervalle [0 ;p], les abscisses des points d’intersection de C f  avec l’axe (O ; ).

5.a.Quelle est l’équation de la tangente (T) à C f  au point A( ; 0) ?  c.Quelle est l’équation de la tangente (T’) à C f  au point O ?

6.Construire C f  sur [-2p; 2p]. (ne pas oublier de construire les tangentes remarquables).

EXERCICE 2. 7 points

OAB est un triangle isocèle tel que OA = OB = 1et AB= 2 (radians). H est le pied de la hauteur issue de O et K celui de la hauteur issue de A. 1.Calculer. En déduire AB (en fonction deAH en fonction de). 2.Calculer)AK (en fonction de a. En utilisant le triangle OAK. b. En utilisant le triangle AKB, après avoir calculé AOen fonction de. c. En déduire l 'expression de sin (2) en fonction de sinet cos . 3.Calculer, (en fonction de ) a. OK. b. KB en utilisant le triangle AKB. c. En déduire l'expression de cos (2) en fonction de sin . d. En déduire l’expression de cos (2) en fonction de cos . 4.Vérifier les formules obtenues avec2 = /3.

suite au dos …..

EXERCICE 3. 3 points

Connaissances requises : (à recopier et compléter …) sin a = sin b  … cos a = cos b  … sin²a + cos²a = …

on donne : sin (2x) = 2 sin x cos x

On se propose de résoudre, dans [0 ; ], l’équation (E) : cos x + sin x = de deux manières.

1.(E) admet deux solutions « remarquables ». Les trouver en justifiant. 2.Montrer que sur [0 ; ], (E) est équivalente à [cos x + sin x]² = 1 + . En déduire les solutions de (E) sur [0 ; ].

EXERCICE 4. 4 points

Questions de cours. est un vecteur non nul de coordonnées cartésiennes (a ; b) et de coordonnées polaires r et  1. Donner les relations liant a, b, r et  . 2. estle vecteur directement orthogonal à. a. Donner la définition de . b. En déduire ses coordonnées polaires en fonction de r et . c. En déduire ses coordonnées cartésiennes en fonction de a et b.

EXERCICE bonus.

Lieu de points. Dans un repère orthonormé positif : Déterminer l’ensemble des points de coordonnées polaires (; ) pour   [0 ;p/2]

Exercice 1. f est la fonction définie sur IR par f(x) = sin x (1 + cos x).

1. a. Montrer que f est périodique de période 2p. Il faut pour cela que : pour tout x deD f , x + 2 D f et f(x + 2) = f(x)  x  IR , x + 2p IR et f(x + 2p) = sin(x + 2p) (1 + cos(x + 2p)) = sin x (1 + cos x) car les fonctions sinus et cosinus sont 2p-périodiques. Donc f est 2p-périodique. b. f est-elle paire ou impaire ? Il faut pour cela que : pour tout x deD f , − x D f et f(− x) = f(x) (paire) ou f(−x) = − f(x) (impaire)  x  IR ,-x  IR  et f(-x) = sin(-x)(1 + cos(-x)) =-sinx (1 + cos x) =-f(x) Donc f est impaire. c. Justifier que l’on peut restreindre l’étude de f à l’intervalle [0 ;p]. f étant périodique il suffit de l’étudier sur un intervalle d’amplitude 2p parexemple [- p;p], le reste de la courbe s’obtiendra par translations de vecteurs k  2p avec k entier relatif f étant impaire, C f est symétrique par rapport à l’origine O il suffit donc d’étudier fsur [0 ;p], la symétrie par rapport à O nous donnera C f sur [- p;p]

2. Montrer que la fonction dérivée f’ de f est définie par f’(x) = 2 cos²x + cos x-1. sin x et cos x sont dérivables sur IR  donc f, produit des fonctions x  sinx et x  1 + cos x est dérivable sur IR

f’(x) = [sin x]’[1 + cos x] + [sin x][1 + cos x]’ = cos x(1 + cos x) + sin x(-sin x) = cos x + cos²x-sin²x or sin²x = 1-f’(x) = cos x + cos²xcos²x donc-(1-cos²x) = 2 cos²x + cos x-1

3. Etude du signe de f’(x) sur [0 ;p] : a. Factoriser le polynôme 2X² + X-1 Ce trinôme a pour racine évidente-1, l’autre racine étant X’, on a-1  X’ =-½ donc X’ = 1/2 d’où 2X²+ X-1 = 2(X + 1)(X-½)

b. En déduire une factorisation de f’(x). f’(x) = 2X² + X-1 = 2(X + 1)(X-½) avec X = cos x donc f’(x) = 2(cos x + 1)(cos x-½)

x 0 p/3p f + 0 0 ’(x) 3/4 f (x)   0 0 c. Déterminer les valeurs qui annulent f’(x) sur [0 ;p]. f’(x) = 0 Û cos x + 1 = 0 ou cos x-½ = 0 Û cos x =-1 ou cos x = ½ dans [0 ;p]x =: cos-1 quand x =p cos x = ½ quand x =p/3 d. Etudier le signe de f’(x) sur [0 ;p]. dans [0 ;p]x + 1  0 car cos x : cos-1 donc f’(x) a le signe de cos x-½ pour 0  x p/3, cos x  ½ donc cos x-½  0 donc f’(x)  0 pourp/3  x p, cos x  ½ donc cos x-½  0 donc f’(x)  0

e. Dresser le tableau de variation de f sur [0 ;p].

4. Déterminer, sur l’intervalle [0 ;p], les abscisses des points d’intersection de C f  avec l’axe (O ; ). Les abscisses des points d’intersection de C f  avec l’axe (O ; ) sont les solutions de l’équation f(x) = 0 f(x) = 0 Û sin x = 0 ou cos x =-1 or, dans [0 ;p], sin x = 0 quand x = 0 ou x =pet cos x =-1 quand x =p donc C f coupe l’axe (O ; ) aux points d’abscisses 0 etp. OU : les valeurs qui annulent f(x) dans [0 ; ] sont données dans le tableau de variation.

5. a. Quelle est l’équation de la tangente (T) à C f  au point A( ; 0) ? On a vu que f’(p) = 0 donc la tangente à C f au point A(p; 0) est l’axe des abscisses.

b. Quelle est l’équation de la tangente (T’) à C f  au point O ? La tangente (T’) à C f au point O (0 ;0) a pour équation : y = f’(0)(x-0) + f(0) or f(0) = 0 et f’(0) = 2(cos 0 + 1)(cos 0-½) = 2donc (T’) a pour équation y = 2x

6. Construire C f  sur [-2p; 2p]

y

1

-2 -11/6 -5/3 -3 /2 -4 /3 -7 /6- -5/6 -2 /3- /2- /3- /60 /6/3 /22 /35 /67 /64 /33 /25 /311 /62 p p pp p pp pp pp pp p pp pp pp p pp p x

-1

EXERCICE 2. OAB est un triangle isocèle tel que OA = OB = 1et AB= 2. H est le pied de la hauteur issue de O et K celui de la hauteur issue de A. la hauteur (OH) est aussi médiane et bissectrice, donc H est le milieu de [AB] et AH = BH = 

1. Calculer AH en fonction de. En déduire AB (en fonction de). Dans AOH rectangle en H, AH = AO sin  donc AH = sin  . De plus AB = 2AH donc AB = 2 sin 

2. Calculer AK (en fonction de) a. En utilisant le triangle OAK. dans OAK rectangle en K, AK = OA sin 2 donc AK = sin 2

b. En utilisant le triangle AKB, après avoir calculé AO en fonction de . ˆ ˆ ABO BAO dans AKB:= =½ ( - 2) = /2 –  ˆ ABO et AK = AB sin= AB sin(/2-) = AB cos  or AB = 2sin  donc AK = 2sin cos

c. En déduire l 'expression de sin 2 en fonction de sinet cos . AK = sin 2 et AK = 2sin cos donc sin2 = 2sin cos 3. Calculer, (en fonction de) a. OK.dans OAK rectangle en K, OK =OA cos2, donc OK = cos2

A

H

O

b. KB en utilisant le triangle AKB. ˆ ABO dans AKB rectangle en K, KB = AB cos= (2sin) cos(/2-) = (2sin )(sin ) = 2sin² . Donc KB = 2sin²

c. En déduire l'expression de cos 2 en fonction de sin . K  [OB] donc OK + KB = OB c’est à dire cos2 + 2sin² = 1. Donc cos2 = 1 – 2sin²

d. En déduire l’expression de cos 2 en fonction de cos . cos2  = 1-2sin²  et on sait que sin²  + cos²  = 1 c’est à dire sin²  = 1-cos²   onen déduit que cos2  = 2 cos²  -1.

4. Vérifier les formules obtenues avec 2 = /3. 2 = /3 donc  = /6 sin2 = 2sin  cos   sin /3 = 2sin /6 cos /6  /2 = 2(1/2)( /2)  /2 = /2 ce qui est vrai.Donc sin2 = 2sin  cos  est vérifié pour 2 = /3

K

B

cos2 = 1 – sin²  cos /3 = 1 – 2sin²/6  ½ = 1 – 2(1/2)²  ½ = ½ ceui est vrai

Connaissances requises :

donc cos2 = 1 – 2sin² est vérifié EXERCICE 3.

our 2 = /3

sin a = sin b  a = b + 2k ou a =  − b + 2kcosa = cos b  a = b + 2k ou a = − b + 2k sin²a + sin²b = 1sin 2x =2 sinx cosx On se propose de résoudre, dans [0 ; ], l’équation (E) : cos x + sin x = de plusieurs manières. 1. (E) admet deux solutions « remarquables ». Les trouver en justifiant.

et et+ =… donc, dans [0 ; ], /6 et /3 sont solutions de (E) 2. Montrer que sur [0 ; ], (E) est équivalente à [cos x + sin x]² = 1 + . cos x + sin x =  [cosx + sinx]² = ()²car les deux membres de l’égalité sont positifs  [cosx + sinx]² = = 1 + donc l’équivalence est démontrée. En déduire les solutions de (E) sur [0 ; ]. or [cosx+ sinx]² =1 +  cos²x + sin²x + 2 sinx cosx = 1 +  1 + sin2x = 1 +  sin2x == sin(/3)  2x = /3 + 2kou 2x =  − /3 + 2k  x = /6 + kou x = /3 + k Dans [0 ; ], les solutions sont /6 et /3

EXERCICE 4. 4 points

Questions de cours. est un vecteur non nul de coordonnées cartésiennes (a ; b) et de coordonnées polaires r et  1. Donner les relations liant a, b, r et  . on sait queet r = 2. estle vecteur directement orthogonal à. a. Donner la définition de . est le vecteur tel que |||| = |||| et ( , ) = /2 + 2k avec k  b. En déduire ses coordonnées polaires en fonction de r et . les coordonnées polaires desont donc r et  + /2 c. En déduire ses coordonnées cartésiennes en fonction de a et b. soit a’ et b’ les coordonnées cartésiennes de: or cos( + /2) = − sin  et sin( + /2) = cos  doncd’où

EXERCICE bonus. Lieu de points. Déterminer l’ensemble des points de coordonnées polaires (; ) pour   [0 ; p /2] M ayant pour coordonnées polaires et  ses coordonnées cartésiennes sont x M = et y M = On a x M + y M = = 1 donc M est sur la droite d’équation x + y = 1 quand  = 0, on obtient le point A (1 ; 0) quand  =p/2, on obtient le point B (0 ; 1) 0   p/2 donc M est dans le « premier quadrant » du repère donc l’ensemble cherché est le segment [AB].