DS de Maths niveau BTS

Kdouh

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Avec correction. Partiel-3
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2011) pour BTS CIG

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Extrait

PARTIEL N°3MATHEMATIQUES BTS-CIG1-2010-2011 Exercice1op0n1is:t Partie A : Exploitation du graphique 1. On admet que l’axe des 4 ordonnées et la droite (D) sont 3 asymptotes à la courbe C dessinée 2 ci-dessus

1

-1

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 0

limf(x) limf(x)  représentantune fonctionf. En déduire :et x|0x|#¥ 2. Le point K( 1/3 ; 1/3) est le point commun à C et (D) . D’après le représentation graphique :  a)Quelle est la position de C par rapport à (D) ?  b)Quel est le sens de variation def? Partie B : Justification des observations graphiques 3 13 1  Onpose f(x)1x# % ; g(x)1x# # 2 2 x xx x 1. Expliquer pourquoi C ne peut pas représenter la fonctiong. limf(x) lim [ f(x)%x ] 2. Calculerpuis .Donner une interprétation graphique de ce dernier résultat . x|#¥ x|#¥ 3 x#3x%1 3. a)Montrer que pour toutxstrictement positif,f(x) peut s’écrire : f(x)1 2 x limf(x)  b)Calculer .En donner une interprétation graphique. x|0 2 (x#2)(x%1) 4. a)Calculerf' (x) et montrer que : f'(x)1 pourx> 0 . 3 x  b)Etudier le signe def' (x) et donner le tableau de variation def.  c)Déterminer une équation de la droite ( T ) tangente à C au point A d’abscisse 1 . 5.  a)Montrer que l’équationf(x! 10 admet une solution uniqueadans l’intervalle ] 0 ; 1[. % 3  b)Donner un encadrement d’amplitude 10dea. 6. Montrer que C possède une tangente (T ’) parallèle à l’asymptote (D) ; donner une équation de (T’).

Exercice3:10points 2 x%4x#7 f¡\ { 1 }  Onconsidère la fonctiondéfinie surpar : f(x)1 et on appelle f x%1  sacourbe représentative dans un repère orthonormé (O;i;j plan d’unité graphique 2cm.) du

limf(x) limf(x) 1°. Calculer x|1 et x|1 .Que peut-on en déduire pour la courbe () ? x21x01 c a cx 2° . a) Montrer qu’il existe trois réels, b que pour tout réelet telsdistinct de 1 : f(x)1ax#b# x%1 b) Calculer la limite de f en +¥et en%¥.

c) Montrer que la courbe ( f ) admet une asymptote oblique (D) que l'on précisera.  Etudierla position de ( f ) par rapport àD

3°. Etudier les variations defpuis dresser son tableau de variations

4° Soit D la droite d’équation : y13 .  Déterminerles coordonnées des pointsA et B intersections de  Aétant des deux points celui dont l’abscisse est la plus petite.

f avec la droite D.

T T 5° Déterminer les équations réduites des tangentes ( A ) et ( B ) aux points d’abscisses 2 et 5 de  lacourbe ( f ). 6°- Montrer que le point I1;% le centre de symétrie de la courbe 2 est ( !

T T 7° Construire dans le même repère orthonormé (O;i;j droites () les A ) et ( B ) la droite ( D ) et ns l’intervalle ]1 ;#¥[  lacourbe f da .

Exercice 31 2 %x#3x%6 ¡ { } ve d f da  Soit f la fonction définiepar \ 1 f(x)1 et soit C f la courbe représentatie nsle x%1 repère  orthogonal(O;i,j)unit´es : 1cm sur l’axe des abscisses ; 2 mm sur l’axe des ordonnées. 1. a. Calculer les limites de f aux bornes de cet ensemble. C  b.Déduire de la question précédente une asymptote D à f . 2.. Etudier les variations de f . c 3. a. Déterminer les réels a, b, c tels que f(x) 1 ax # b # x % 2 x ¥  b.Montrer que la droite ( D ) d’équation % x # 2 est asymptote à C f quand vers #¥ .et vers  c.Etudier la position relative de C f et de ( D ) . T C 4. a. Déterminer le coefficient directeur de la tangente 1 à f au point A d’abscisse 0. C  b.Déterminer une équation de la tangente T 2 à f au point B d’abscisse 2. C T 5. Déterminer tous les points de f ayant une tangente parallèle à 1 . 6 . Montrer que le point ( 1; 1) est centre de symétrie de C f . C 7. Déterminer les points d’intersection de f avec les axes de coordonnées. T T 8. Tracer D, ( D ) , 1 , 2 et C f . Exercice 2 3 2 f  Onconsidère la fonctiondéfinie sur ¡ par : f(x)1 %2x#4x#8x#18 1. Déterminer les limites de f en eten #¥ 2. Calculer la dérivée de f et étudier son signe .Donner le tableau complet de variation . 3. En déduire le nombre de solutions de l’équation f(x)10 m 4. Soitun réel . Donner sans justification le nombre de solutions dans ¡ de l’équation f(x)1m . m On envisagera les différents cas des valeurs depossibles

Exercice3 3 2  Ondéfinit sur R la fonctionfpar f(x) 1 x % x % 8x # 6 et C sa courbe représentative dans un repère . 1. Déterminer les limites de f en eten #¥ f 2. Calculer f'(x) . Réaliser le tableau de signes def'(x) et les variations de la fonction. 3.a. Ecrire l’équation de la tangente T à f au point d’abscisse 2 .  b.Ecrire l’équation de la tangente D à f au point d’abscisse 0 .  c.Etudier la position de C par rapport à D . 4. Donner un tableau de valeurs avec un pas de 0,5 . 5. Tracer chacune des tangentes obtenues précédemment puis C aussi précisément que possible sur  l’intervalle[ – 4 ; 4 ] . 6. Combien l’équation f(x)1 des solutions sur [−4, 4] (Justifier). 0 admet-elle %2 a a  Onnote laplus grande de ces solutions. Déterminer un encadrement ded’amplitude 10

1. f(x) est définie si et seulement si son dénominateur x % 1 ¹ 0 , ce qui équivaut à x ¹ 1 .  Ainsi D 1 ¡\ { 1 } 1 ] % ¥ ;1[ È ]1; #¥ [ f . 2. Partons du membre de droite de l’égalité proposée : pour toutx ¹ 1, on a : 2 2 4 ( % x # 2)(x % 1) % 4x % 2 # x x # 2 % 4 % x % 3x # 6 % x # 2 1 1% 1 , ce qui fallait démontrer . x % 1x % 1x1 % x1 % 4 limx 1 %¥ lim (x % 1) 1 % ¥ 3.a. En. Onsait quealors puis lim 1 0 par somme puis quotient x |%¥ x |%¥ x % 1 x |%¥ lim % x 1 #¥ lim % x # 2 1 #¥  delimites . De même ,, puis, il s’ensuit alors par somme de limites que x |%¥ x |%¥ limf(x) 1 #¥ x |%¥  b. En #¥ ( démarche identique ) 4 limx 1 #¥ lim (x % 1) 1 #¥  Onsait quealors puis lim 1 0 par somme puis quotient de limites . x |#¥ x |#¥ x % 1 x |#¥ lim % x 1 % lim % x # 2 1 %  Demême ,, puis, il s’ensuit alors par somme de limites que x |#¥ x |#¥ limf(x) 1 %¥  . x |#¥ 4 1 lim(%x#2)11 lim(x%1)10 c. En 1 : on a f(x) 1 % x # 2 % 1 x % # 2 4 % ´ pour tout x ¹ 1 . x|1 et x|1 . x % 1x % 1 x1 x1 0 0 1 lim1 %¥  Or, x % 1 0 0 pour tout x 0 1 , on en déduit alors par inverse de limites que.et (x%1) x|1 x01 1 limf(x)1 #¥ % 4 ´ lim 1 #¥  Onconclut par quotient et somme de limites que x|1 (x % 1) x | 1 x01 x 0 1 1 lim1 #¥  Demême , , x % 1 2 0 pour tout x 2 1 .et, on en déduit alors par inverse de limites que (x%1) x|1 x21 1 limf(x)1 %¥ % 4 ´ lim 1 %  Onconclut par quotient et somme de limites que x|1 (x % 1) x | 1 x21 x 2 1 limf(x)1 %¥limf(x)1 #¥ b. Comme x1 et x1 , on peut affirmer que la droite D d’équation x 1 1 est une | | x21x01  asymptoteverticale à la courbe f . 4 4 4. a. pour tout x ¹ 1 , on a f(x) % ( % x # 2) 1 % , or on vient de voir que lim 1 0 .Par conséquent x % 1 x % 1 x |#¥ 1 %# ¥  Lacourbe f admet la droiteDd’équation y x2 pour asymptote enet en #¥ . 4  b.pour tout x ¹ 1 , on a f(x) % ( % x # 2) 1 est de même signe que 1 % x , si bien que f(x) 2 ( % x # 2) 1 % x % ¥  pour x Î ] ;1[ et que f(x) 0 ( % x # 2) pour x Î ]1; #¥ [ . ] % ¥ ;1[ et en dessous de D sur ]1; #¥ [  Onconclut que la courbe f est au dessus de D sur 5. Soit I(x;y) 1 D Ç D ; alorsx 1 1et y 1 % x # 2 1 % 1 # 2 1 1 .Par conséquent l’intersection des asymptotes  Estle point I(1;1) . D 1 ¡\ {1}  Vérifionsmaintenant que ce point est un centre de symétrie de la courbe f .Comme f est  symétriquepar rapport à 1 il fat et il suffit que : f(a # h) # f(a % h) 1 2b , c’est-à-dire # #% 1´ 1 f(1h)f(1h) 21 2 . En effet : pour tout h ¹ 0 4 44 4 f(1 # h) # f(1 % h) 1 % (1 # h) # 2 % ( % 1h % ) 2 # % 1 1 h % % 1 # h # # . Cqfd 1 # h % 1 1 % h1 % h h  Lepoint d’intersection I est donc centre de symétrie de la courbe f . 6. a . La fonction f étant un polynômes, elle est dérivable sur son domaine de définition.

' æ 1 ö 1  Enutilisant la formule 1 % pour v une fonction dérivable ne s’annulant pas, ç ¸ 2 v è ø v 2 2 é2 # (x % 1)ù é2 % (x1 % )ù 4 2 % (x % 1) ë ûë  onobtient pour tout x ¹ 1 : f'(x) 1 % 1 1# 1 2 22 (x % 1) (x % 1) (x1 % ) (x#1)(3%x) f'(x)1  Soitpour tout x ¹ 1 2 (x%1) D b) Dressons le tableau de signe de f ' sur f x % 1 1 3 #¥ x # 1 + +0 + 3%x + 0+ + 2 + +0 ++ (x%1) f'(x) 0 ++ 0+ D c) On en déduit le tableau de variation de f sur f x %11  3 #¥ f'(x 0 ) 0 + + #¥ #¥ % 3 f(x) ¥ ¥  5  Nepas oublier de placer les limites «aux bouts des flèches » 4 4 f(%1)1 %1#2% 15  et f(3) 1 % 3 # 2 % 1 3 %2 2 , f' s’annule en % 1 et en 3 horizontales, tangentes  Deplus sibien que la courbe f admet des  Auxpoints A( % 1; 5) et B(3; % 3) . Elles doivent impérativement apparaître sur le tracé . 4 7. comme f(2) 1 % 2 # 2 %% 1 4 et y 1 14 12 10 C 8 T 6 A 4 2 I x -6 -5 -4 -3 -2 -1 01 2 3 4 5 6 7 8 -2 C -4 B -6 -8 -10 -12 (2 # 1)(3 % 2) f'(2) 1 1 3 que ,alors 2 (2 % 1) la tangente T à la courbe f  au point C(2; % 4) a pour équation réduite y 1 f'(2)(x % 2) # f(2) 1 3(x % 2) 4

Soit y 1 3x % 10 8. En plaçant les deux asymptotes et les trois tangentes rencontrées en cours d’étude, On peut alors tracer sans aucune difficulté la courbe f