Oral de Mathématiques de niveau Agrégation

Description

équations différentielles - oraux 1 et 2
Oral en Mathématiques (2011) pour Agrégation

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• Langue: Français

Extrait

225 systèmesdifférentiels linéaires d'ordre 1 à coefficients constantsFlash Un candidat a proposé un plan d’étude fondé sur l’exponentielle de matrice puis réalisé un développement n’utilisant pas l’exponentielle mais une autre technique ; il s’agit là d’un manque de cohérence. Tout est dans DW T2 et Rombaldi et Demailly et Hubbard. Développement : Cauchy-Lipschitz. 1) Exemples et définition

Exemples : chute libre dans un champ magnétique (DW T2) et relations entre taux d'intérêts à court et moyen termes et milieu à deux espèces en compétition (Liret). Définition d'une solution du système.

2) Structure de l'espace des solutions et conséquences

T1 : structure de l'espace des solutions CSQ : il faut savoir résoudre le système homogène et trouver une solution particulière.

3) Résolution du système homogène

T2 : Cauchy-Lipschitz et exponentielle matricielle. Rombaldi Exemple : résolution du système homogène.

Cas particulier : expression de la solution du problème de Cauchy lorsque la condition initiale est un VP de A.

Lemme : si A et B commutent dans Mn(C), alors exp(A+B)=exp(A)exp(B). T3 : calcul de l'exponentielle matricielle dans le cas général.

Exemples : allures des trajectoires.

Exercice 1 : CNS pour que les solutions soient bornées sur R ? Rombaldi Exercice 2 : CNS pour que les solutions soient bornées sur R+ ?

Lemme : le polynôme minimal de la matrice compagnon d'un polynôme égale ce polynôme. Application : résolution des équations scalaires linéaires d'ordre n.

(i) Attention : un problème de Cauchy linéaire scalaire doit fournir toutes les y(t 0 ) pour i<n et pas seulement y(t 0 )

Algorithme de Rombaldi pour le calcul de l'exponentielle matricielle. Exemple

4) Résolution du système complet

Lemme : exp(A) est inversible. T4 : VDC pour trouver une solution particulière de l'équation complète. Demailly.

Exemple : résolution d'un système complet.