Oral de Mathématiques de niveau Agrégation

Description

équations différentielles - oraux 1 et 2
Oral en Mathématiques (2011) pour Agrégation

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Extrait

224 x"+ax'+bx=csur I (a et b continues sur I) Tout est dans DW et Liret et Gourdon et Hauchecorne Développement : Bessel ou Cauchy Lipschitz (n'est-ce pas un peu hors sujet ?) ou comportement général.

1) Conséquences pratiques du théorème de Cauchy-Lipschitz Un exemple dans le cas où les coefficients sont constants (oscillateur amorti Liret p 454), et un autre pour les coefficients variables (Bessel générale Liret p 474)

étape 1 : étudie l'EH associée. Le corollaire de Cauchy assure que l'espace des solutions est de dimension 2 : il faut donc déterminer deux solutions indépendantes. Dans le cas où les coefficients sont constants, ces solutions sont données. Sinon, tu peux essayer : polynômes, exponentielle, DSE.

Un changement de variables à connaître : si tu connais une solution x1 qui ne s'annule pas sur l'intervalle, alors pose z tel que x=x1.z ; z' est solution d'une équation différentielle d'ordre 1. Application : LFA p 37

T1 : utilisation du Wronskien pour déterminer si deux solutions sont indépendantes.

Exemple : x" – tan(t)x + 2x=0

Application : résolution de l'équation d'Euler d'ordre 2. LFA étape 2 : cherche une solution particulière de l'équation complète : essaie polynômes, exp, DSE. Si tu n'en trouves pas, tu as le théorème sur la VDC. T2 : VDC. Exemple : comparaison de la VDC et de l'identification sur le cas de l'oscillateur. 2) Propriétés des solutions Gourdon et Liret

Conséquences du théorème de Cauchy-Lipschitz. Une solution d'une EDL2 a un nombre fini de zéros sur un segment. Gourdon Les zéros de deux solutions indépendantes sont entrelacés. Liret Équations oscillantes. Liret

Conséquence du lemme de Gronwall. Les solutions de x''+qx=0 sont bornées sur R+ lorsque q>0. Gourdon

3) Application aux équations ax" + bx' + cx = 0 Liret et Hauchecorne.

On se ramène au cas précédent sur des intervalles où a ne s'annule pas, puis on essaie de recoller les solutions. Il n'y a pas de résultat général sur la dimension de l'espace des solutions. Ce n'est même pas sûr que ce soit un espace vectoriel : ce peut-être un singleton. Exemples dans Hauchecorne

Exercice : étude de la fonction de Bessel d'ordre 0 Liret