Oral de Mathématiques de niveau Agrégation - Les sujets d'algèbre linéaire

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Algèbre linéaire- oraux 1 et 2
Oral en Mathématiques (2011) pour Agrégation

Sujets

108 : dimension d'un ev admettant une famille génératrice finie ; rang d'une famille de vecteurs Contrairement aux apparences, cette leçon classique présente des difficultés sur la logique de présentation, la cohérence du plan et le traitement intégral du sujet ! Les exemples doivent mettre en évidence la notion de rang ou dimension, par exemple en dualité, dans les formes quadratiques et bien-sûr sur les matrices. Le jury accepte que soit proposé en développement le traitement précis de points du cours, par exemple on peut proposer ”Théorème de la dimension + base incomplète + dimension d’un sous-espace”. Ne proposer que le théorème de la base incomplète n’est pas suffisant au niveau de l’agrégation.

109 : formes linéaires, hyperplans, dualité pour les espaces vectoriels de dimension finie Savoir calculer la dimension d’une intersection d’hyperplans est au cœur de la leçon. L’utilisation des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes permet facilement d’obtenir les équations d’un sous-espace vectoriel ou d’exhiber une base d’une intersection d’hyperplans. Cette leçon peut être traitée transversalement : géométrie algèbre et topologie. Il est important de replacer la thématique de la dualité dans cette leçon. L’exposé doit être bien organisé et raisonnablement complet. Les liens entre base duale et fonctions de coordonnées doivent être parfaitement connus. Il faut que les développements proposés soient en lien direct, comme toujours, avec la leçon : proposer la trigonalisation simultanée est un peu osé !

110 : polynôme d'endomorphisme en dimension finie Le jury signale que les polynômes d’endomorphismes ne sont pas tous nuls. Cette leçon ne porte pas uniquement sur la réduction des endomorphismes. Par exemple, le calcul des puissances ou de l’exponentielle d’une matrice peuvent illustrer cette leçon (sans passer par la décomposition de Dunford). 2005-> Après avoir élaboré et décrit des outils efficaces, le candidat doit pouvoir décrire les matrices vérifiant par exemple 3 2 A −2A −A + 2I = 0 3 A −3A + 2I = 0 On pourra méditer sur l’exemple suivant en utilisant les projecteurs sur les espaces caractéristiques : 2 22 A −3A + 2I = 0 ) exp (A) = (e− e)A + (2e − e )I = P(A). On attend aussi pour les meilleurs quelques résultats concernant l’algèbre formée par les polynômes d’une matrice (dimension, commutant etc.). Les candidats doivent connaître sans hésiter la dimension de l’algèbre K[f]. Les polynômes d’endomorphismes permettent de calculer les puissances d’un endomorphisme. On fera le lien avec les suites récurrentes linéaires ou les équations différentielles linéaires d’ordre n. On n’exige pas le théorème du bicommutant. Il faut s’interroger sur les idempotents et le lien avec la décomposition en somme de sous-espaces caractéristiques.

111 : changement de base

112 : opérations élémentaires sur les lignes et le colonnes d'une matrice Le jury attend le recensement des propriétés invariantes par ces opérations élémentaires. On aimerait aussi que soient citées les opérations minimales, c’est-à dire celles qui engendrent les autres. Le théorème de Gauss-Jordan, qui conduit à l’équivalence de toute matrice de rangrde Mn,p(K) avec une matrice canoniqueJn,p,r, doit conduire à plusieurs applications et peut être démontré de diverses manières. Cette leçon doit aborder la question des algorithmes de calcul, sans nécessairement entrer dans les détails. Bien distinguer les opérations à gauche des opérations à droite. L’une opère sur les lignes, l’autre sur les colonnes. L’une permet de trouver les équations de l’image et l’autre une base du noyau. La notion de matrice échelonnée pourra être introduite. Rappelons que A = PB avec A,B des matrices de Mat(n, p,K) est équivalent au fait que on peut passer des A vers B par manipulation des lignes et est équivalent au fait que A et B ont même noyau. Ce n’est pas une leçon réduite à la réduction des endomorphismes. L’extension des opérations au cas des anneaux principaux est délicate, alors que le cas des anneaux

Les sujets d'algèbre linéaire

euclidiens suffit largement au niveau de l’Agrégation. On peut s’interroger sur la réciproque deA,B semblables impliqueAk,Bkéquivalentes pour toutk >0.

113 : déterminants applications Voilà typiquement une leçon où les applications ont été souvent sacrifiées au profit d’une fastidieuse suite de définitions et propositions théoriques. Il faut donc éviter de se perdre en préambules théoriques, mais définir clairement le déterminant d’une matrice carrée. La démonstration de légalité det(AB) = det(A) det(B) a mis plusieurs candidats en difficulté ; on attend une méthode simple ! Dans cette leçon on attend quelques calculs de déterminants ; le déterminant de Vandermonde, pourtant très connu, a plongé quelques candidats dans l’embarras. Les calculs de polynômes caractéristiques peuvent former de bons exemples, mais ne sauraient être les seuls. Il convient aussi de s’interroger sur le calcul effectif, en pratique, des déterminants : la comparaison entre la méthode du pivot (qui doit être mentionnée) et la méthode du développement par cofacteurs est instructive. On peut aussi proposer des applications géométriques telles que des calculs de volumes etd’aires ou des orientations du plan ou de l’espace. Les candidats ont recopié de mauvais plans sur Internet en oubliant les propriétés importantes du déterminant ; volume, orientation, discussion du rang grâce aux bordantes. Les interprétations géométriques du déterminant sont fondamentales. Le jury ne peut se contenter d’un Vandermonde ou d’un déterminant circulant dans un plan ! Signalons que les candidats qui ont proposé comme développement des thèmes trop éloignés de la leçon ont tous été sanctionnés. Par exemple le calcul de la distance à un sous-espace vectoriel ne peut pas constituer un développement substantiel. On ne peut pas présenter le théorème de Müntz sans présenter le calcul du déterminant de Cauchy préalablement. D’une manière générale on attend pendant le développement l’illustration d’un calcul ou la manipulation de déterminants non triviaux et pas uniquement l’extraction d’un résultat du plan.Le résultant et les applications simples à l’intersection ensembliste de deux courbes algébriques planes (programme 2009) peuvent trouver leur place dans cette leçon.

120 : endomorphismes symétriques en dimension finie

122 : réduction et classification des formes quadratiques d'un espace vectoriel euclidien de dimension finie : applications géométriques

144 : rang en algèbre linéaire

150 : factorisation de matrices

151 : réduction d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie Cette leçon ne peut se réduire à la diagonalisation. Dans la décomposition de Dunford f = d + n, le fait que d et n sont des polynômes en f doit être signalé. L’utilisation des polynômes d’endomorphisme est certainement utile dans cette leçon. On doit savoir que 0 est une racine simple 2 du polynôme minimal si {0} ≠ ker(A) = ker(A ). On pourra s’interroger sur les classes de similitudes de matrices parmi les matrices ayant un polynôme caractéristique donné.

155 : systèmes linéaires

156 : valeurs propres

160 : pivot de Gauss

162 : rang d'une matrice ; détermination et algorithmes de calcul de fréquentes confusions entre matrices équivalentes et semblables.

310 : exercices d'algèbre linéaire faisant intervenir les polynômes

Les sujets d'algèbre linéaire

311 : exercices faisant intervenir la notion de rang

312 : exercices faisant intervenir les matrices inversibles

313 :exercices faisant intervenir les systèmes linéaires Il est parfois difficile aux candidats de repérer les vecteurs propres évidents, la résolution de système linéaire étant leur première et parfois unique approche.

314 :exercices faisant intervenir les déterminants résolution des systèmes de Cramer, calcul des valeurs propres d’un endomorphisme à l’aide du polynôme caractéristique, déterminants de Hankel, jacobien et caractérisation des diﬀéomorphismes, caractérisation de la positivité des matrices symétriques réelles et application à la convexité d’une fonction numérique de plusieurs variables réelles par sa matrice Hessienne, etc.

315 :exercices faisant intervenir la recherche et l'emploi de valeurs et vecteurs propres

316 :exercices faisant intervenir la réduction des endomorphismes Des calculs sur les polynômes caractéristiques de matrices par blocs ont été effectués mais sans rigueur.

317 : exercices sur les matrices diagonalisables des calculs sur les polynômes caractéristiques de matrices par blocs ont été effectués mais sans rigueur. Il faut pouvoir donner des exemples naturels d’endomorphismes diagonalisables et des critères.

318 : exercices faisant intervenir les projecteurs et symétries

319 :exercices faisant intervenir des méthodes ou des algorithmes de calcul en algèbre linéaire

321 :exercices faisant intervenir la réduction des matrices symétriques réelles On pouvait évoquer la recherche des axes de symétrie pour les coniques et quadriques. L’usage d’un logiciel de calcul formel peut ici rendre quelques services.

322 : exercices sur les formes quadratiques