Oral de Mathématiques de niveau Agrégation - Polynômes d'endomorphismes, réduction, applications

Description

Algèbre linéaire- oraux 1 et 2
Oral en Mathématiques (2011) pour Agrégation

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Extrait

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Polynômes d'endomorphismes, réduction, applications

Le jury signale que les polynômes d’endomorphismes ne sont pas tous nuls. Cette leçon ne porte pas uniquement sur la réduction des endomorphismes. Par exemple, le calcul des puissances ou de l’exponentielle d’une matrice peuvent illustrer cette leçonsans passer par la décomposition de Dunfordles matrices vérifiant par exemple A. Après avoir élaboré et décrit des outils efficaces, le candidat doit pouvoir décrire 3− 2 2A − A + 2I = 0 ou A3− 3A + 2I = 0 On pourra méditer sur l’exemple suivant en utilisant les projecteurs sur les espaces caractéristiques : A2− 3A + 2I = 0 ou exp (A) = (e2− e)A + (2e − e2)I = P(A). On attend aussi pour les meilleurs quelques résultats concernant l’algèbre formée par les   polynômes d’une matrice (dimension, commutant etc.). Les candidats doivent connaître sans hésiter la dimension de l’algèbre K[f]. Les polynômes d’endomorphismes permettent de calculer les puissances d’un endomorphisme. On fera le lien avec les suites récurrentes linéaires ou les équations différentielles linéaires d’ordre n. On n’exige pas le théorème du bicommutant. Il faut s’interroger sur les idempotents (QUID ? Je crois que c'est les A-lle lien avec la décomposition en somme de sous-espacesId nilpotentes) et caractéristiques. Tout est dans LFA, Gourdon, Rombaldi, LFA et Merlin Pb : calculer l'exponentielle de u. Cas concret d'un SDLCC : prendre la matrice dans Gourdon ex 1 p 199.Cauchy-Lipschitz me donne l'exponentielle sous forme de série, limite uniforme d'une suite de polynômes en u. Ces polynômes forment un sev de L(E), fermépuisqu'en dimension finie. L'exponentielle est donc un polynôme en u. Comment le trouver ?

 1)   ynloPôme minimal et polynôme caractéristique [DW T2] DéfinitΦle morphisme d'algèbre de K[X] dans L(E) et note K[u] pour im(Φ). Puisque K[u] est isomorpheàK[X]/ker(Φ!∃il faut connaître ker(Φ). Théorème et définition : ker(Φ) est un idéal de K[X]. Il admet un unique générateur unitaire appelé  polynôme minimal de u notéM u de degrér inférieuràn². K[u] est isomorphe (d'algèbre)àK r [X]. Exemples : cas des homothéties, des nilpotents, des affinités, l'inverse de u est un polynôme en u.  Recherche pratique de l'expression de u  k   dans la base (1,u,u  2 ,...u  r  . >r keuqsrol ) Avec la division euclidienne de X k par M u . Recherche pratique du polynôme minimal. # Parfois la forme de la matrice permet de trouver un polynôme annulateur : exemple dans [DW T2]. ##Autre idée : chercher ses racines. Comment les caractériser ?

Théorème et définition : valeurs propres racines du M, caractérisation par det(u-lId)=0, polynôme caractéristique, espaces propres.

Propriétés : polynôme caractéristique d'une matrice compagnon. Théorème de Cayley-Hamilton : C(u)=0 Conséquences : le degréde M est inférieuràn.

Application 1 : caractérisation des matrices A telle que :A 3 − 2A 2 − A + 2I = 0. Ce sont toutes celles dont le spectre contient l'une au moins des racines du polynôme (1, -1, 2). Application 2 : calcul de exp(A) lorsque A n'a qu'une seule valeur propre et n'est pas diagonale. LFA ED p 66-67. Propriété: polynôme minimal d'une matrice compagnon.

 2)    nsioaticplAp Tout commence par deux lemmes fondamentaux [BMP] Lemme 1 : si uov=vou alors le ker(v) et im(v) sont u-stables Conséquence : Les espaces propres sont stables, les espaces caractéristiques sont stables. Lemme 2 : lemme des noyaux. Conséquences : S'il existe un polynôme annulateur scindésimple alors u est diagonalisable. Si C est scindéalors u est trigonalisable. Exemples : projecteurs, syméd'une matrice circulante [Gourdon ex 4 p 180].tries, diagonalisation Commutant : on constate que leséléments de K[u] commutent avec u ; réciproque dans certains cas particuliers ? CF Gourdon.

Théorède Rombaldi sur les sous-espaces caractme 2.8 éristiques.

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Polynômes d'endomorphismes, réduction, applications

Lemme : les projecteurs spectraux sont des polynômes en u. Applications : calcul de l'exponentielle dans le cas général. réduction de Dunford. Exemple : calcul de l'exponentielle dans le cas particulier introductif. DEVELOPPEMENT : polynôme caractéristique d'une compagne, Cayley-Hamilton, puis lemme sur les projecteurs, puis calcul de l'exponentielle dans le cas général et dans l'exemple.