Sujets Bac de Mathématiques de niveau Terminale

Tof

Description

Avec correction. Corrigé métropole - réunion 2012 spécialité
Sujets Bac en Mathématiques (2012) pour Terminale S

Sujets

• Ressource
• ressources pédagogiques
• École
• Lycée
• exercices
• Cours
• Devoir scolaire
• Devoir surveillé
• Annales

Informations

• Publié par: ressources-de-terminale
• Nombre de lectures: 77
• Langue: Français

Extrait

Exercice 1 (4 points)

Corrigé sujet Métropole – Réunion (Juin 2012) Spécialité

1.Sur l’intervalle [–3 ; –1], la courbe C’ est située en dessous de l’axe des abscisses et coupe celui-ci en f –1, ce qui signifie que la fonction est négative ou nulle sur cet intervalle. L’affirmation est doncVRAIE.

[ % 21 ; ] [ % 1 ; 2 ] f 2.Pour connaître les variations defon a besoin de connaître le signe de sur , sur [ %1 ; 2 ] donné par la position de C’ par rapport à l’axe des abscisses. Sur , C’ est au-dessus de l’axe [ % 21 ; ] des abscisses doncf est croissante sur . L’affirmation estVRAIE.

[ %21 ; ] f(0) 1 % 1f(x) 0 % 1 3.On sait quefet que  est croissante (continue car dérivable) sur donc [ %01 ; [ sur . L’affirmation estFAUSSE.

y1f ¢ ( 0 ! ´ ( x%0 ! #f(0) 4.orLa tangente à la courbe C au point d’abscisse 0 admet pour équation : f ¢ ( 0 ! 1 1 f(0) 1 % 1 y 1 x % 1 (lecture graphique) et donc l’équation devient . Les coordonnées (1 ; 0) vérifient l’équation donc le point appartient à la tangente. L’affirmation estVRAIE.

Remarque :On peut aussi regrouper toutes les informations dans le tableau suivant afin de justifier chacune des affirmations. 0 –1 x f '(x) f(x) -3

Exercice 2 (5 points) 1. a.

-1

0 2

Page1sur7

2.

3.

b.Sur l’arbre ci-dessus, un seul chemin conduit à E1, celui passant par D donc p ( E ! 1p ( EÇD ! 1p ( D ! ´p ( E ! 10, 4´0, 710, 28 1 1D1 c.Trois situations peuvent se produire : p ( F ! p D D E ( ! 1 ( ÈÇ 1 ÈDÇE 1 ÇE 2 ! 1p D#p ( DÇE 1 ! #p ( DÇE 1 ÇE 2 ! car les évènements sont incompatibles. p ( F ! 10, 6#0, 4´0, 3#0, 4´0, 7´0, 7510, 93 Finalement.

a.On répète 5 fois de suite de manières indépendantes une expérience aléatoire n’ayant que deux issues possibles dont la probabilité du succès vaut 0,07 donc X suit une loi binomiale de paramètres n 1 5 p 1 0, 07 et . æ 5 ö k5%k p ( X1k ! 1 ( 0, 07 ! ´ ( 0, 93 ! ç ¸ k 0 £ k £ 5 è ø k 1 2 b.On sait que pour , donc pour , 5 2 3 æ ö %3 p ( X12 ! 1 ( 0, 07 ! ´ ( 0, 93 ! 10, 039 prèsà 10 ç ¸ 2 è ø . æ n ö 0n n p ( X³1 ! 11%p ( X10 ! 11%0, 07´0, 9311%0, 93 ç ¸ 0 è ø On sait . n p ( X ³ 1 ! 2 0, 999 1%0, 9320, 999 On cherche doncn tel que c’est-à-dire ou encore n n ln 0, 001 1 % 0, 999 2 0, 93 Û 0, 001 2 0, 93 Û ln 0, 001 2 nln 0, 93 Û 0 n carln 0,9300 ln 0, 93 . ln 0, 001 »95,18 ln 0, 93 n ³ 96 Etant donné que il faut que . Le nombre minimum de dossiers à traiter est donc 96.

Exercice 3 (6 points) Partie A 1 æ x f(x)1 #ln ç [ 1 ;# ¥ [ x#1 è x#1 ø sur . æ x ö x x lim ln 1 0 lim 1 lim 1 lim 1 1 1 lim lnX10 ç ¸ x |#¥ X|1 è x # 1 ø x |#¥ x |#¥ |# x ¥ x # 1x 1.. et donc, par composée, 1 lim 1 0 limf ( x ! 10 x |#¥ x|#¥ x # 1 De plus donc, par somme, .

2.

x xa [ 1 ;# ¥ [ x # 1 La fonction est dérivable et strictement positive sur donc, par composée, la æ x xaln ç ¸ [ 1 ;# ¥ [ è x # 1 ø fonction est aussi dérivable sur . En tant que somme de fonctions dérivables, [ 1 ; # ¥ [ la fonctionf est dérivable sur . 1´ ( x#1 ! %x´1 1 u x ¢ ( ¢ u x)1 2 1 2 ( lnu ! 1 u(x) 1 ( x#1 ! ( x#1 ! u x # 1 On sait que . Posons alors et ¢ u ( x ! 1 ( x # 1 ! 1 1 ´ 1 2 u ( x ! ( # ! x x ( x # 1 ! x1 . Page2sur7

3.

%1 1%1´x 1´ ( x#1 ! 1 f ¢ (x)1 # 1 # 1 2 2 2 ( ! x ( x#1 ! ( ! x ( x#1 !( x#1 ! ( ! x#1xx#1x x#1 On peut donc en déduire que . 2 [ 1 ; # ¥ [ x ( x#1 ! 20 f ¢ ( x ! 2 0 [ 1 ; # ¥ [ Sur , donc , la fonctionf.est strictement croissante sur x f '(x) f(x) 1 0,5+ln0,5 ~ -0.19 + 0

f ( x ! 0 0 [ 1 ; # ¥ [ On peut déduire du tableau précédent que sur .

Partie B 1.Sin= 3. 1 0 # 1 1 i 1 1 1 Pour :uprend la valeur 1 3 1 # 1 i 1 2 22 Pour :uprend la valeur 31 11 # 1 i 1 3 236 Pour :uprend la valeur . 11 6 La valeur exacte affichée est donc .

2.

3.

u % lnn Il suffit de modifier la ligne « Afficheru».« Afficher  » par

D’après ce tableau on peut penser que la suite est décroissante, les dernières valeurs laissent envisager qu’elle converge vers une valeur proche de 0,577.

Partie C 1 1 1 u 1 1 # # # ... # % lnn n n 2 0 2 3n Pour , . 1.On a 1 1 11 æ 1 1 1 ö u%u11# # #...## %ln ( n#1 ! %1## # ...#l%nn ç ¸ n#1n 2 3nn#1 è 2 3n ø 1 1 %ln ( n#1 ! #lnn n#1 1n 1 #ln n#1n#1 1f ( n ! f ( x ! 0 0 [ 1 ; # ¥ [ f ( n ! 0 0 n ³ 1 On sait d’après A.3. que sur donc car . ( u ! u%u00 n n#1n Ainsi ce qui prouve que la suite est décroissante.

2.

k#1 æ 1 1 ö 1 1 1 1 1 %dx³0 ³ ³ % ³ 0 ò k ç ¸ è k x ø k # 1 £ x £ k k # 1x kk x a.donc . Pour , Ceci permet de justifier que

Page3sur7

3.

k#1k#1k#1k#1 æ 1 1 ö 1 11 1 %dx³0Ûdx%dx³0Û %dx ò k k ò k ò k ò ç ¸ è k x ø k xk x k # 1 1 1 k # 1 ³ln ( k#1 ! %lnk dx 1 [ lnx ] 1 ln ( k # 1 ! % lnk ò k k k x donc .

0³

1 Û k

1 k#1 ³dx k ò x .

1 1 ln 3 % ln 2 £ ln 4 % ln 3 £ k 1 2 k 1 3 k 1 1 ln 2 % ln1 £ 1 2 3 b.pour :pour : Pour : 1 1 ln 5 % ln 4 £ ln ( n # 1 ! % lnn £ k 1 4 4 k 1 n n Pour : …….. pour : . En additionnant membres à membres : 1 1 1 ( ln 2%ln1 ! # ( ln 3%ln 2 ! # ( ln 4%ln 3 ! #...# ( ln ( n#1 ! %lnn ! £1# # #...# 2 3n 1 1 1 1 1 1 Ûln ( n#1 ! %ln1£1# # #...# Ûln ( n#1 ! £1# # #...# 2 3n2 3n

1 1 1 11 1 u 1 1 # # # ... # % lnn u # lnn 1 1 # # # ... # n n 2 3n 2 3n c.donc ce qui permet de déduire que n # 1 æ ö n # 1 u # lnn ³ ln ( n # 1 ! Û u ³ ln ( n # 1 ! % lnn Û u ³ ln 2 0 n n n ç ¸ 2 1 n è ø n car . u³0 n 2 0 n Finalement , .

( u ! n On sait que la suite est décroissante (question C.1) et minorée par 0 (question C.2.c) donc elle converge.

Exercice 4 5 points Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

( O,u,v ! Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct . z=%1#i,zet= 2i z= 1#3i A B C On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives y=x # 2 D et la droite d'équation . D 1..Prouver que les points A, B et C appartiennent à la droite Sur une figure que l'on fera sur la copie en prenant 2 cm pour unité graphique, placer les points A, B, C et D tracer la droite .

Montrons que les coordonnées des trois points vérifient l’équation deD. z=%1#i A ( %1 ; 1 ! Î A donc . A D 1 = % 1 # 2 car . z= 2i B ( 0 ; 2 ! B 2 = 0 # 2 donc . B Î D ar c . z= 1#3i C ( 1 ; 3 ! C C Î D 3 = 1 # 2 donc . car .

2.

(1 # i)z # 3 % i = Résoudre l'équation et vérifier que la solution de cette équation est l'affixe d'un D point qui n'appartient pas à la droite .

Page4sur7

%3#i ( %3#i ! ( 1%i ! %2#4i ( 1#i ! z#3%i10Ûz1 Ûz1 Ûz1 Ûz1 %1#2i 1#i2 2 ( %1 ; 2 ! # % 1 # 2i y=x2 Le point d’affixe admet pour coordonnées qui ne vérifient l’équation donc ce point D n’appartient pas à .

% 1 # 2i Dans la suite de l'exercice, on appellefl'application qui, à tout pointMd'affixezdifférente de , fait 1 (1 # i)z # 3 % i correspondre le pointM’d'affixe . D Le but de l'exercice est de déterminer l'image parfde la droite .

M 1 3.Soitgla transformation du plan qui, à tout pointMd'affixez, fait correspondre le point (1 # i)z # 3 % i d'affixe . (a)Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformationg. * z' 1 az # b a Î £ b Î £ L’expression complexe de cette transformation est de la forme avec et , c’est donc une similitude, a11#i12 ·de rapport æ æ öö æ ö 2 2 2 2p arg(a)1arg ( 1#i ! 1arg 2#i1arg 2#arg#i10# [ 2p ] ç ç ¸ ¸ ç ¸ 2 2 2 2 4 è è ø ø è ø ·d’angle w ·vérifiant :de centre d’affixe 3 % i w1 ( 1 # i ! w# 3 % i Û % i w1 3i % Ûw1 Ûw 1 1 3 % i % i 1 1 1 g (b)Calculer les affixes des points A , B et C , images respectives par des points A, B et C. z1 ( 1#i ! z#3%i1 ( 1#i ! ( %1#i ! #3%i11i%z11i A A A 1 1 z1 ( 1#i ! z#3%i1 ( 1#i ! 2i#3%i11#i z11#i B B B 1 1 z1 ( 1#i ! z#3%i1 ( 1#i ! ( 1#3i ! #3%i11#3i z11#3i C C C 1 1

D 1  (c) Déterminer l'image de la droiteDpar la transformationget la tracer sur la figure. L’image d’une droite par une similitude est une droite, il suufit donc de connaître l’image de deux points de g ( A ! 1A g ( B ! 1B 1 1 Î Î D. A D et B D de plus et . D ( A B ! C 1 1 1 1 La droite est donc la droite (qui passe aussi par ).

M 2 4.Soithl'application qui, à tout pointMd'affixeznon nulle, fait correspondre le point d'affixe 1 z . h ( A ! ,h ( B ! h ( C ! 1 11 (a)placer ces points sur la figure.et et Déterminer les affixes des points A,B C h ( A ! ,h ( B ! h ( C ! 1 1 1 2 2 2 Nommons et les points repectifs et . 1 1 1#i1 1 z11 1 soit z1 #i A A 2 2 z1%i22 2 A 1 Page5sur7

1 1 1%i1 1 z1 1 1soit z1 %i B B 2 2 z1#i2 2 2 B 1 1 1 1%3i1 3 z1 1 1soit z1 %i C C 2 2 z1#3i10 10 10 C 1 .

1 1 1 %= z2 2

1 1 1 % = Û z2 2 (b)Démontrer que, pour tout nombre complexe non nulz, on a : 1 1 1 2 2%z 2%z Û2´ %= 2´ Û1%= 1Û= 1Û= 1Û|z z2 2z z z

|z % 2 |=|z| .

2%|=|z| .

D 1 C (c)En déduire que l'image parh de la droite est incluse dans un cercle dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure. |z%2 |=|z|Û|z%2 |=|z%z| 0 L’ensemble des points M du plan d’affixez tels que est la médiatrice du [ OK ] D 1 segment oùKest le point d’affixe 2 c’est-à-dire la droite. 1 1 1 %= D 1 z2 2 On peut donc déduire de la question précédente que tous les points de d’affixezvérifient 1 1 1 z % = Û EM 1 M2 D 2 1 2 2 2 donc les points images pargqui signifie que les pointsvérifient ce  de 1 1 M 2 2 2 appartiennent au cercle(C)de centreEd’affixe et de rayon . (d)Démontrer que tout point du cercle (C)qui est distinct de O est l'image parhd'un point de la D 1 droite . 1 z 1 1 1 1 1 1 1 Z M ( z ! Î (C) Û EM 1 Û z Û % 1 Û% 1 Z % 2 1 Z ¹ 0 2 2 2Z2 2 ce qui définit un point de D 1 .

5.

f D Déterminer l'image par l'application de la droite .

SoitM(z) un point du plan. g h 1 1 zaz1(1#i)z#3%ia1 1 f(M) 1 hog ( M ! z(1#i)z#3%i 1 donc or l’image parg de la droiteDest la æ 1 1 E ç ¸ D D 1 1 è 2 ø 2 droite et l’image de parh.et de rayon est le cercle de centre

Page6sur7