TP de Mathématiques de niveau BTS

Kdouh

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Travaux pratiques
Travaux pratiques (TP) en Mathématiques (2011) pour BTS Groupement A, BTS Génie optique

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TP MATHEMATIQUESFONCTIONS- REVISIONSBTS1GO 2009-2010 Exercice 1 2%x  Soitfla fonction définie sur R par : f(x)1x%2x#2x e .Cla courbe représentative defdans le plan rapporté  àun repère orthonormal (O;i;j ) . Unité :2cm sur chaque axe. l. a. Étudier la limite defen+ ¥ . %x xx  b.Montrer quefpeut s’écrire sous la forme f(x)1xe(xe%2e# 2) .  c.Étudier la limite defen− ¥ , on pourra utiliser l’expression obtenue à la question b. précédente. %x 2. a. Montrer que la dérivée defpeut s’écrire sous la forme f'(x)12(x%1)(1%e)  b.Étudier les variations de la fonctionf. 1 3. a. Montrer que l’équation f(x) 0 admet pour solution x10 .  b.Montrer que cette équationadmet une deuxième solutiondans l’intervalle [1;#¥[ . f(x)10a %1 a  Déterminerun encadrement deà 10près. %1 f(x)11b b  c.Montrer que l’équationadmet une solution unique. Déterminer une valeur approchée deà 10près. 2 4. Soitgla fonction définie sur R par : g(x)1x%2x .  OnappellePsa courbe représentative dans le repère (O;i;j ) , (Pest une parabole). f(x)%g(x)  a.Étudier le signe de. En déduire la position relative des deux courbesCetP. lim (f(x)%g(x))  b.Déterminer la limite x|#¥  c.Interpréter graphiquement les résultats trouvés aux questions a. et b. 5. Construire les deux courbesCetP. 6. Déterminer une équation de la tangente Dà la courbeCau pointAd’abscisse2. Tracer la droite Dsur la figure. 3 x 2%x F'(x) F(x) 7. Soit F(x)1 %x%2(x#1)e .la dérivée DéterminerQue peut-on dire ?de . 3 Exercice 2.  Lebut de ce problème est l’étude d’une fonction, le tracé de sa représentation graphiqueCet le calcul  d’uneprimitive de cette fonction. %x [0 ;#¥[ l. Soitgla fonction définie surpar : g(x)1 %1#(1%x)e : g'(x)g'(x)  a. Calculer. Étudier le signe de.  b. Déterminer que la limite deg(x) lorsquextend vers + ¥ .  c. Dresser le tableau de variation de la fonctiong. On précisera la valeur deg(0).  d. Démontrer que pour tout x , ; [de [0g0 .( ) #¥x£ %x [0 ;#¥[ 2. Soitfla fonction définie sur, par : f(x)1x e%x# 4 :  Soitla courbe représentative def ( dans le plan rapporté à un repère orthonormal O;i;j ) . Unité : 2 cm sur chaque axe.  xÎ[0 ;#¥[f'(x)1g(x)  a. Vérifier que, pour tout, .  b. Étudier les variations defsur [0 ;+ ¥ [, préciser la limite en #¥ . y1 %x#4  c. Montrer que la droiteDasymptote àd’équation estC.Étudier la position de D par rapport àC.  d. Construire la courbeCet préciser la tangente à cette courbe au point d’abscisse 0. x #¥ 3. a. Soit h la fonction définie sur [0 ;[ par : h(x)1 %#4 2  Tracersa représentation graphique D dans le même repère queC .  b.Calculer les coordonnées des points d’intersection deCet D. f(x)%h(x) [0;#¥[  c.Étudier le signe desur eten déduire la position relative deCet D. %x ¥ G'(x) 4. a. Soit G la fonction définie sur [0 ;+[ par : G(x)1(%x%1)e . Calculer. [0 ;#¥[F'1f  b.(facultatif) En déduire une primitive F surde la fonctionf, c.-à-d. une fonction F telle que. Exercice 3 Le but de ce problème est l’étude d’une fonction, le tracé de sa représentation graphique et le calcul d’une primitive de cette fonction. Partie A 2 Soit la fonctiongde variable réellexdéfinie pour x 2 0 par : g(x)1 %x%4#4 lnx 1. Étudier les variations deg. 2. Déduire du tableau de variation queg(x)a un signe constant. Lequel ?  Onne demande ni les limites aux bornes ni le tracé de la courbe.

Partie B lnx  Soitla fonctionfde la variable réellexdéfinie pour x 2 0 par : f(x)1 %x#2%4 x f'(x) primerf'(x) e g(x) 1. Calculeret exn utilisant. f(x) 2. Donner les variations de. Préciser les limites aux bornes de l’ensemble de définition. y1 %x#2 3. Soit la droite D, d’équation.  Montrerque Dest asymptote à la courbe représentative def. Étudier les positions relatives de et D.   4. a. ReprésenterCet Ddans un même repère (O;i;j ) . On prendra comme unité 2 cm sur l’axe des abscisses,  1cm sur l’axe des ordonnées. b. Déterminer et placer les éventuels points d’intersection deCet Det tracer les tangentes à en ces points.   c. Déterminer les éventuels points de où la tangente est parallèle à D.  Partie C 4 Soit la fonctionhde variable réellexdéfinie pour x20 par : h(x)1 %x#2% x 1. Étudier les variations deh. 2. SoitH lacourbe représentative deh, montrer que la droite Dest asymptote àH.Déterminer l’autre asymptote.  . 3. Tracer la courbeH dansle même repère queC. 4. Déterminer les éventuels points communs de etH etC; étudier les positions relatives de ces deux courbes. 2 1. Dériver (lnx ) . lnx 2. (facultatif) En déduire une primitive sur ]0;#¥[ depuis une primitive G(x) def(x une fonction G ) ;c.-à-d. x 1 telle que G'f . Exercice 4. 3 2x x Soit la fonction numériquefde la variable réellexdéfinie sur I par : f(x)1e%e%2x%4 2 On appelleCla courbe représentative de la fonctionfdans le repère orthogonal (O;i;j ) d’unités graphiques 4cm sur l’axe des abscisses et2cm sur l’axe des ordonnées. Partie A 1. Déterminer les limites defen %¥ et en+ ¥ . x æ 3 x 2. Soit g(x)1e e%1 . ç ¸ è 2 ø 2 ( ) x a. Montrer queg xs’annule pour x1ln et que 0 est sa seule racine. 0 3 b. Étudier le signe deg(x)sur R . f(x)%(%2x%4)g1(x)y1 %2x%4 c. Montrer que. En déduire que la droite Dasymptote àd’équation estC.  Étudierla position deCpar rapport à D. x x f'(x) 3. a. Calculeret montrer que pour tout réelx, f'(x)1(3e#2)(e% 1) . f'(x) b. Étudier le signe de. Dresser le tableau de variations def. Partie B f(x)10a 1. Justifier que l’équationdans l’intervalleadmet deux solutions et deux seulement, l’une ] %¥;0 ] , %1 b edans l’intervalle ]0;#¥[ .En u  l’autrtilisant la calculatrice donner des encadrements d’amplitude10 des a b  deuxracineset . 2xx x 2. a. Résoudre l’équation 3e%e%212 en posant u1e .  b.En déduire qu’il existe un point unique A de la courbeCoù la tangente a pour coefficient directeur 2et que 4  l’abscissede A . est ln 3  c.Tracer la droite D, la courbeCet la tangente en Aà la courbeC.

y

1

| j

0

-1

y 4

3

2

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| j

| i

1

Intégrale = 1,18799

2

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x

| -1 0 i 1 2 3 4 5 6 x

-1

y 6

5

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3

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1 | j | -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 i 1 2 3 4 5 6 7 8 x -1 Intégrale = -2 -2

-2

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-4

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0

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