Travaux pratiques (TP) de Mathématiques de niveau BTS

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Fonctions causales
Travaux pratiques (TP) en Mathématiques (2012) pour BTS Génie optique, BTS Groupement A

Sujets

Fonctions causales BTS1GO MATHEMATIQUES 2009-2010 Exercice 1 La fonction e est définie par : e ( t ) 1 t U ( t ) % ( t % 1) U ( t % 1). 1. Représenter graphiquement la fonction e . 2. La fonction s est définie par : s ( t ) 1 ( t % 1 # e % t ) U ( t ) % ( t % 1) % 1 # e % ( t % 1) U ( t % 1) . ì s ( t ) 1 0 si t 0 0 a. Vérifier que la fonction s est alors définie sur ¡ par : íï s ( t ) 1 t % 1 # e % t si 0 σ t 0 1 ïî s ( t ) 1 1 # (1 % e ) e % t si t ³ 1 b. Comparer s 1 % et s 1 # c. Calculer s '( t ) et étudier son signe sur les intervalles ]0;1[ et ]1; #υ [. d. En déduire le sens de variation de la fonction s sur ¡ . e. Déterminer la limite de la fonction s en #υ . f) Représenter graphiquement la fonction i dans un repère orthogonal O ; i ; j . (unités graphiques : 4cm pour une unité sur l’axe de abscisses et 10cm pour une unité sur l’axe des ordonnées. Exercice 2 On considère le signal d’entrée e défini par : e ( t ) 1 t U ( t ) % 2 U ( t % 1) % ( t % 2) U ( t % 2) e ¡ 1. Déterminer la fonction sur 2. Tracer la courbe représentative de la fonction e dans un repère orthonormal O ; i ; j . Exercice3 On considère le signal d’entrée v défini par v ( t ) 1 V 0 e % t / RC U ( t ) % e % ( t %Ν ) / RC U ( t %Ν ) ïïì v ( t ) 1 0 pour t 0 0 % Ν a. Vérifier que la fonction v est alors définie sur ¡ par: íï ï ïïïî v (( t )) 1 V 00 e RRttCC æ 1 pou R r C 0 ƒσ t 0 Ν [ Ν ; #υ [ % v t 1 V e çç% e ¸ pour t Î èø¸ Dans cette question, on s’intéresse à la représentation graphique de la fonction v . % b. Calculer v ( Ν % ) définie par v ( Ν ) 1 t l | im Ν % v ( t ) et montrer que v ( Ν % ) 0 V 0 . c. Montrer que le "saut" Μ de la fonction v en t 1 Ν % , défini par Μ 1 v ( Ν % 1 ) % v ( Ν ) est égal à V 0 . 2. Étudier les variations de la fonction v pour t ³ Ν . 3. En utilisant les résultats précédents et ceux de la partie I, question 3, donner l’allure de la représentation graphique de la fonction v dans un repère orthogonal. On prendra, pour réaliser le graphique , V 0 1 2 .et Ν 1 . RC 1 1 1 Exercice 4 Soit un système "entrée-sortie", où le signal d'entrée est e ( t ) 1 t U ( t ),où U désigne la fonction échelon unité. On note f ( t ) le signal de sortie . Soit la fonction numérique f telle que : f ( t ) 1 t % 2 # 2 e % t / 2 U ( t ) a. Etudier les variations de f sur éë 0; #υéë b. Déterminer la limite de f ( t ) % e ( t ) lorsque t tend vers #υ . c. Représenter graphiquement e et f dans le même repère orthonormal (unité 1 cm). Justifier que la courbe représentative de f admet une asymptote dont on donnera une équation et que l'on tracera.

Exercice1 1°. e ( t ) 1 t U ( t ) % ( t % 1) U ( t % 1): t %υ 0 1 #υ t U ( t ) 0 t t % ( t % 1) U ( t % 1)00 % ( t % 1) e ( t ) 0 t 1 Si t 0 0 , alors U ( t ) 1 0 et U ( t % 1) 1 0 , y 1

-1 0

3 x

Donc f(t) = 0 pour tout t de ] % υ ;0] , Si 0 σ t 0 1 , alors U ( t ) 1 1 et U ( t % 1) 1 0 , donc f(t) = t pour tout t de [ 0 ;1[ , Si t ³ 1 , alors U ( t ) 1 1 et U ( t % 1) 1 1 , donc f(t) = 1 pour tout t de [1; #υ [ . Comme f (1) 1 1, f ( t ) 1 t pour tout t de l'interva1le fermé [ 0 ;1] . Représentation graphique 2. .a . s 1 % 1 lim s ( t ) 1 lim t % 1 # e % t 1 1 % 1 # % e 1 1 e % 1 . t | 1 % t | 1 % s 1 # lim s t lim1(1 e ) e t 1(1 e ) % e 1 1 % e 1 % ee 1 1 % e 1 1 e 1 1 t | 1 # ( ) 1 t | 1 # # % % 1 # % 1 # % 1 # % % 1 Donc s 1 % 1 s 1 # 1 e % 1 et séquent s est continue en 1. par con 2.b),c)et d) pour tout t de ]0;1[, s '( t ) 1 1 % e % t . Et sur ]1; #υ [ s '( t ) 1 % (1 % e ) e % t or t 2 0 donc % t 0 0 donc e % t 0 e 0 car la fonction exponentielle est strictement croissante sur ¡ . donc s '( t ) 2 0 pour tout t de ]0 ;1[ , car e 0 1 1 . s est donc strictement croissante sur ]0;1[. Pour t 2 1 ; s '( t ) 1 ( e % 1) e % t , on en déduit que s '( t ) 2 0 pour tout t 2 1 , donc s est croissante sur [1; #υ [ . t %υ 0 1 #υ s '( t ) 0 0 + 1 % e % 1 + 1 s ( t ) 0 0 e % 1 2.d lim 1 # (1 e ) e % t 1 1 . La re t |#υ % 1 car t l | i # m υ e % t 0 présentation graphique de la fonction s admet la droite d’équation y 1 1 comme asymptote horizontale 2.e. Représentation graphique de la fonction s en repère orthonormal.

y 1

4 x

0 Exercice 2 1. t 0 1 2 t % UU ( t ) % 00 t 0 t % 2 t % 2 ( ) 1í t 0 % 2 si t 00 0 1 % ( t % 2 t ) U )( t % 2) 0 0 0 % ( t % 2) e t îïïì t 0 sissi σσ itt ³σ 2 t 0 2 ( 1 1 2 e ( t ) 0 tt % 2 0 2. représentation gra hi ue y 1

3 x

-1 Exercice 3 t %υ 0 Ν#υ V e % t / RC U ( t ) 0 V 0 e % t / RC V 0 e % t / RC 0 Ν % V 0 e % ( t %Ν ) / RC U ( t %Ν ) 0 0 %çæ RtC % RC ƒ % V 0 e èø¸ V ( t ) 0 V 0 e t / RC ƒ % V 0 e % RtC çæ 1 % e R Ν C ¸ èçø¸ 1. a Si t 0 alors v ( t ) 1 0 ; 0

v t 1 V çæ e % tC %ƒ¸1 V e % RtC . Si 0 σ t σΝ alors ( ) 0 èç R 0 ø¸ 0 æ % ƒ Ν æ % %ç ¸ ƒ % æ ƒ Si t ³Ν alors v ( t ) 1 V 0 çççè e RtC % e è tRC Νø ¸¸¸1 V 0 e RtC ççè 1 % e RC ø¸¸ . On pourra faire un tableau. ø % t % Ν Ν e % Ν C 0 puisque Ν 0 b. v ( Ν % ) 1 t l | im Ν % 1 v ( t ) 1 t li | m Ν % 1 V 0 e RC 1 V 0 e RC et V 0 e % RC 0 V 0 car R 1 % RC 0 . Donc v ( Ν % ) 0 V 0 : Μ v ( % ) v ( ) V 0 e %Ν / RC V 0 e %Ν / RC 1 e Ν / RC Μ 1 Ν % Ν 1 % % b. le « saut » vaut Ν Ν Ν Ν %Ν#Ν ’où 0 . d Μ 1 V 0 e % RC % V 0 e % RC # V 0 e % RC e RC 1 V 0 e RC 1 V 0 e 1 V 0 2. Si t ³Ν , v '( t ) 1 % V 0 e % t / RC 1 % e Ν / RC . Or V 0 est une constante positive . pour tout Ν 2 0 , R Ν C 2 0 donc e R Ν C 2 1 , et 1 % e R Ν C est une constante t Ν #υ % 0 v ( t ) v ( Ν ) négative de plus la fonction exponentielle est toujours strictement positive .Donc v '( t ) est strictement positive . Par conséquent la fonction v est croissante , négative sur l’intervalle [ Ν ; #υ [. De plus , t l | im #υ e % t / RC 1 0 ( RC 2 0 ) t l | i # m υ v ( t ) 1 0 % comme produit d’une . exponentielle ( donc positive ) par un réel négative . En résumé , le tableau de variation sur [ Ν ; #υ [. voir ci-dessus 3. l’allure de la représentation graphique est donc la suivante : y 2

-2

-1 0

-1

Exercice 4 La fonction s est définie par : f ( t ) 1 ( t % 2 # 2 e % t / 2 ) U ( t ) . a . Sur [0; #υ [ f ( t ) 1 ( t % 2 # 2 e % t / 2 ) . Sur cet intervalle , la dérivée est égale : f '( t ) 1 1 % e % t / 2 . L’étude de son signe permet de conclure .en effet : 1 % e % t / 2 ³ 0 Û 1 ³ e % t / 2 Û % t / 2 σ 0 Û t ³ 0 Par conséquent la fonction s est croissante sur l’intervalle [0; #υ [ . b. Pour tout t Î [0; #υ [ : f ( t ) % e ( t ) 1 % 2 # 2 e % t / 2 ; t l | i # m υ ( f ( t ) % e ( t )) 1 t l | i # m υ ( % 2 # 2 e % t / 2 ) 1 % 2 # 2 ´ t l | i # m υ e % t / 2 1 % 2 im e % t / 2 1 0 s . pui que t l |#υ c. de la question b) on déduit : t l | i # m υ ( f ( t ) % ( t % 2)) 1 2 ´ t l | i # m υ e % t / 2 1 0 .Donc la droite ( D) d’équation : y 1 t % 2 est une asymptote à la courbe représentative de la fonction s lorsque t tend vers #υ . y 3 2 1

-1 0 1 2 3 4 5 x

Exercice 6 ì 0 Î ] % υ ; 0[ st définie par ( ) 1 ï 5 si t Î [0;0,5[ On suppose que la force électromotrice f ( t ) e f t ïîí 0 ssiitt Î [0,5; #υ [ Montrer que, pour tout t , on a : f ( t ) 1 5 U ( t ) % U ( t % 1/ 2) , où U représente la fonction échelon unité Exercice 7 On se propose d’étudier la fonction numérique x définie sur [0; #υ [ par : x ( t ) 1 % 7 % 5 t # 9 e t % 2 e 2 t a. Calculer f '( t ) , puis vérifier que f '( t ) 1 % e t % 1 4 e t % 5 b. Etudier les variations de x (dérivée, tableau de variation , limite de x ( t ) quand t tend vers #υ ) . c. Représenter graphiquement x , pour 0 σ t σ 0, 4 , dans un repère orthormal ( O ; i , j ) ( unités graphiques : 4 cm représente 0,1 unité sur les axes ).

y 0,01

-0,01

-0,02

0,1

0,2

0,3

0,4 x

Exercice 7 x ( t ) 1 % 7 % 5 t # 9 e t % 2 e 2 t donc x '( t ) 1 5 9 e t 4 e 2 t : x '( t ) 1 0 Û 5 9 e t 4 e 2 t 0 % # % % # % 1 Posons u 1 e x , on obtient % 5 # 9 u % 4 u 2 1 0 ,c’est une équation du second degré qui s’annule pour deux Valeurs de u : 1 et 5 4 , on en déduit le signe de % 4 u 2 # 9 u % 5 1 % 4( u % 1)( u % 5 / 4) u %υ 1 5 / 4 #υ % 4 u 2 # 9 u % 5 % 0 # 0 %

Donc x '( t ) se factorise sous la forme :

x ( t ) 1 % 4( e t % 1)( e t % 5 / 4) ' Ou par vérification simple une question Demandée dans l’énoncé % 4( e t % 1)( e t % 5 / 4) 1 % 4( e 2 t % (5 / 4) e t % e t # 5 / 4) 1 % 4 e 2 t # 5 e t # 4 e t % 5 1 % 4 e 2 t # 9 e t % 5

t 0 ln(5 / 4) #υ x '( t ) 0 # 0 % 9 % 5 ln 5 8 4 x ( t ) 0 %υ

æ 7 5 t 9 ƒ x t 1 e t % % # b. pour tout t ³ 0 , ( ) 2 çè e 2 t e 2 t e t % 2 ø¸ . t l | i # m υ e 2 t 1 #υ et t l | i # m υ e 7 2 t 1 0 . lim 0 lim 0 lim 1 0 æ%%%ƒ1% t |#υ et 2 t 1 avec t |#υ et t 1 et t |#υ e t 1 . Donc t l | i # m υ èç e 7 2 t e 5 2 t t # e 9 t 2 ø¸ 2 et t l | im #υ x ( t ) 1 %υ x e ln 2 ln (ln(5 / 4)) 1 % 7 % 5 ln(5 / 4) # 9 ln(5 / 4) % 2 e 2 ln(5 / 4) 1 % 7 % 5ln(5 / 4) # 445 e % 1265 e l x ( n(5 / 4)) 1 % 7 % 5 ln(5 / 4) # 445 % 285 1 % 586 % 5 ln(5 / 4) # 980 % 285 1 98 % 5ln çæè 54 ƒø¸ . La fonction x admet un maximum égal à 98 % 5 ln çæè 54 ƒø¸ . y 0,01

-0,01

-0,02

0,1

0,2

0,3

0,4 x

Exercice 5 On appelle fonction causale une fonction définie sur ¡ , et qui est nulle sur ] % υ ; 0 [ . On considère un système linéaire e(t) système s(t) Le signal de sortie s est associé au signal d’entré e .les fonctions s et e de la variable réelle t , sont définies

sur ¡ , et ce sont des fonctions causales ( c’est-à-dire nulles pour t 0 0 ) . U est la fonction échelon unité définie sur ¡ par : UU (( tt )) 11 10 ssiitt ³0 00 On considère les signaux d’entrée e et e 1 définis par : e ( t ) 1 U ( t ) % 2 U ( t % 1) # U ( t % 2) e 1 ( t ) 1 e ( t % 3) 1°) Tracer les courbes représentatives de e et e 1 dans un repère orthonormal (Annexe exercice ci-dessous). % % % % % 2. La fonction s est définie par : s ( t ) 1 (1 % e t ) U ( t ) % 2(1 % e ( t 1) ) U ( t % 1) # (1 % e ( t 2) ) U ( t % 2) . ì s ( t ) 1 0 si t 0 0 í ï s t 1 % e % t si σ % t 0 Vérifier que la fonction s est alors définie sur ¡ par : ï ss ((( tt ))) 1 1( % 1 e # (12 e % e 2 1)0) ee tt s 1 si 0 σ 2 t 0 2 ïî1 2 % % % i t ³ 3. Calculer s (1 # ) , s (1 % ) , s (2 # ) , s (2 % ) . Que peut-on en conclure pour la fonction s lorsque t = 1 et t = 2? 4. a. Calculer s '( t ) sur chacun des intervalles ] 0 ;1[ , ]1 ; 2 [ et ] 2 ; #υ [ . b. Déterminer le signe de s '( t ) sur l’intervalle : ] 0 ;1[ , ]1 ; 2 [ et ] 2 ; #υ [. c. Déterminer t l | i # m υ s ( t ) et dresser le tableau de variation de la fonction s sur ] 0 ; #υ [. 5. Calculer s ' (0 # ) , s ' (0 % ) s ' (1 # ) , s ' (1 % ) , s '(2 # ) , s '(2 % ) .On admet que ces nombres sont respectivement les coefficients directeurs des demi-tangentes à droite et à gauche aux points d’abscisse 1 et d’abscisse 2 de la courbe 9 représentative de la fonction s 6. On se place dans le plan rapporté à un repère orthogonal O ; i ; j d’unités graphiques 2 cm sur l’axe des abscisses et 4 cm sur l’axe des ordonnées. a. Recopier et compléter le tableau suivant dans lequel les valeurs numériques seront données à 10 % 2 près. t 0,2 0,5 0,8 1 1,2 1,4 1,6 2 2,5 3 3,5 4 5 6 s ( t ) b. Tracer alors les tangentes ou demi-tangentes à la courbe 9 représentative de la fonction s au points : 0 ; 1 et 2 . tracer alors la courbe 9 . c. On note s 1 le signal de sortie associé à e 1 , en déduire la représentation graphique de s 1 . y

-1