DEVOIR D'ANALYSE N˚

Description

DEVOIR D'ANALYSE N˚ 1 A remettre dans la semaine du 5 au 10 mars Exercice Soit n ? N?, et soit fn la fonction definie sur [ 0, ∞ [ par fn(x) = (1 + x n)1/n . Etudier la convergence uniforme sur [ 0, ∞ [ de la suite (fn)n≥1. Probleme Soit n ? N?, et soit fn la fonction definie sur [ 0, +∞ [ par fn(x) = { ( 1? xn )n si x ? [ 0, n ] 0 si x ≥ n . 1) Montrer que fn est continue sur [ 0, ∞ [ , et que fn est derivable sur [ 0, ∞ [ si n ≥ 2. 2) Trouver la limite simple f sur [ 0, +∞ [ de la suite (fn)n≥1. 3) Pour x ≥ 0, on pose h(x) = xe?x. Montrer que la fonction h est bornee sur [ 0, +∞ [ et calculer ||h ||∞. 4) Pour x ? [ 0, n [ on pose gn(x) = x + (n? 1) ln ( 1? x n ) . a) En etudiant les variations de gn, montrer qu'il existe un nombre ?n et un seul dans ] 0, n [ tel que gn(?n) = 0, et que ?n > 1.

• limite e?x


• premiere methode


• formule de taylor-lagrange


• e?x dx


• theoreme d'intervertion des limites


• theoreme d'encadrement


• devoir d'analyse n˚


• application continue

Sujets

• Théorème de Taylor
• Théorème des gendarmes

Informations

• Publié par: pefav
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Extrait

DEVOIR D’ANALYSE N˚1

A remettre dans la semaine du 5 au 10 mars

Exercice ∗ Soitn∈N, et soitf n 0r[lafoidnnotceiuse´nfi,∞[ par n1/n f n (x) = (1 +x). Etudier la convergence uniforme sur[ 0,∞[ dela suite (f n ) n≥1 . Probl`eme ∗ Soitn∈N, et soitf n cnitalof[0esurefiniond´,+∞[ par   n x 1−six∈[ 0, n] n f n (x) =. 0 six≥n 1) Montrer quef n [ 0est continue sur,∞[ ,et quef n e´iravlbseru0[estd,∞[ sin≥2. 2) Trouver la limite simplef0sur [,+∞[ dela suite (f n ) n≥1 . −x 3) Pourx≥0, on poseh(x) =xe. Montrer que la fonctionhsebtro´neesur[0,+∞[ et calculer||h|| ∞ . 4) Pourx∈[ 0, n[ onpose   x g n (x) =x+ (n−11) ln−. n a)En´etudiantlesvariationsdeg n , montrer qu’il existe un nombreα n et un seul dans] 0, n[ tel queg n (α n ) = 0, et queα n >1. 0 0 b)Ende´duirelesignedef−fsur [0, n] . n h(α n ) c) Montrer quef(α n )−f n (α n ) =. n 5) Montrer que||f−f n || ∞ = (f−f n )(α n riqeeualetdne´ud,e)suite(f n eme´tninuemrof)converg versfsur [0,+∞[ .   a R 6) Soita >suituelaerpiuqeceqede`ce´.D0edirdu´ef n (x)dxconverge et donner sa limite. 0 7) En vous inspirant d’un calcul fait en cours, montrer que si|x|<lra´eeng´meeretdeire´sal,1 n n (−1)x /nconverge et que ∞ X k x k (−1) =−ln(1 +x). k k=1 8)Ende´duireque ∞   k X 2 1−k g n (2) =, n k(k+ 1) k=2 puis que 1< α n <2.