Devoir Libre n PSI

Description

Devoir Libre n?9 PSI MATHEMATIQUES (a rendre le 25 Novembre 2011) **** Exercice I **** On considre, dans l'espace vectoriel euclidien IR3, la suite (Zn)n = ? ? un vn wn ? ? dfinie par Z0 = ? ? u0 v0 w0 ? ? et pour tout n : ? ????? ????? un+1 = 1 3 un ? 1 6 wn ? 61 vn+1 = 1 3 un + 1 2 vn ? 1 3 wn + 61 wn+1 = 1 3 un + 1 3 vn ? 1 3 wn + 61 La norme euclidienne est note ??. 1. Montrer que la suite (Zn)n vrifie une relation matricielle de la forme Zn+1 = AZn +B. Prciser A et B. 2. Montrer que, pour tout vecteur X de IR3, on a ?AX? ≤ k?X?, o k ?]0, 1[. 3. En dduire que la suite (Zn)n est une suite de Cauchy de IR3. 4. Montrer qu'elle converge et calculer sa limite. **************************************************** Exercice II **** Notations Soit n et p des entiers superieurs ou egaux a

• vn ?


• nom de norme matricielle


• norme matricielle sur mn


• matrice nulle de mn


• devoir libre n?9


• deduire

Sujets

• Déduction

Informations

• Publié par: pefav
• Publié le: 01 novembre 2011
• Nombre de lectures: 33
• Langue: Français

Extrait

◦ Devoir Libren9 PSI MATHEMATIQUES (`arendrele25Novembre2011)

**** Exercice I ****    u n u 0 3    On considre, dans l’espace vectoriel euclidienIR, la suite (Z n ) n =v n dfinie parZ 0 =v 0 et w n w 0 pour toutn:  1 1 u n+1 =u n −w n −61   3 6 1 1 1 v n+1 =u n +v n −w n + 61 3 2 3 1 1 1   w n+1 =u n +v n −w n + 61 3 3 3 La norme euclidienne est notekk. 1. Montrer que la suite (Z n ) n vrifie une relation matricielle de la formeZ n+1 =AZ n +B. PrciserAetB. 3 2. Montrer que, pour tout vecteurXdeIR, on akAXk ≤kkXk, ok∈]0,1[. 3 3. En dduire que la suite (Z n ) n est une suite de Cauchy deIR. 4. Montrer qu’elle converge et calculer sa limite. **************************************************** Exercice II **** Notations Soitnetprseu´eouuxga1.`adseneitresspue´irKne´dngisltnaroceculeleosrse´spedes,oplexscomuide noteM n,p (K) leK-ldieorctvecepaessea`ocffieseamrtcinscientsdaKayantnlignes etpcolonnes. Lorsque p=n,M n,n (Kmelpmisstnest)eluept´noM n (Ker’dcuutbeerla`gtmunetesastrides),I n ralr´epenesntta matriceidentit´e. 0 n,p matairecunlldeed´esignelM n,p (K) et 0 n la matrice nulle deM n (K). GL n (Katridesmmbleenseen’lsegi)´dlbisedseisecrevnM n (K) etT n (Ks)enl’scarr´eemstairecesbmeled d’ordrenlairessutriangusea`e´´l´preeirunsenemdatsK. n m`ee Tout vecteurx= (x i ) 1≤i≤n deKntifitideesnet´lmenue´e´a`XdeM n,1 (Kelquel)taledtneme´le´’i ligne deXsoitx i .Danstoutelasuin,etnsuoretoisnoiffndre´eenmmtX= (x i ) 1≤i≤n eentd´lmenue´M n,1 (K) n aussi bien que le vecteur deKuiqcaisssot.ie´leu p eme` PourA= (a i,j ) 1≤i≤n dansM n,p (K) etX= (x i ) 1≤i≤p dansK, on note (AX) i le coefficient de lailigne 1≤j≤p deAX. Pour toute matriceAdeM n (K(), on note SpA) l’ensemble des valeurs propres complexes deAet on appelle rayon spectral deAele´relρ(Ad´)r:paniefi ρ(A) =max|λ|. λ∈Sp(A)

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