PC DEVOIR MAISON N° Mercredi janvier Mercredi janvier Ecoulement autour d'une aile d'avion CCP PC

Description

PC 2009-2010 DEVOIR MAISON N° 12 Mercredi 20 janvier ! Mercredi 27 janvier - Ecoulement autour d'une aile d'avion (CCP PC 1999)

• fluide en coordonnées cylindriques


• sens de rotation du cylindre


• vitesse angulaire


• axe polaire


• existence de points d'arrêt du fluide


• air


• ecoulement

Sujets

• Vitesse angulaire
• Écoulement

Informations

• Publié par: pefav
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• Langue: Français

Extrait

PCSI B Math´ematiques Lyc´ee Brizeux - ann´ee 2010-2011
Au t o u r d e l a co n t i n u i t´e e t l a d´e r i v a b i l i t´e
A rendre pour le mercredi 13 avril 2011. Vous devez apporter le plus grand soin a` la r´edaction et `a la pertinence
des arguments avanc´es. Les r´esultats doivent ˆetre encadr´es.
´ ´Exercice. Une etude de suite recurrente
x
A - Etude de la fonction f telle que f(x) = 0 si x = 0 et f(x) = sinon
ln(x)
1. Obtenir l’ensemble de d´efinition D de f.
2. f est-elle d´erivable en 0?
13. Justifier que f est de classe C sur [0;1[ .
4. Dresser le tableau de variations de f. On y fera apparaˆıtre les diff´erentes limites et la valeur de f(e) .
vn
B - Etude de la suite v telle que v = 3 et ∀n∈N, v =0 n+1
ln(v )n
5. Montrer que ∀n∈N, v >e.n
6. Justifier que la suite v converge et d´eterminer sa limite.
107. Montrer que ∀x>e, 06f (x)6 .
4
8. Enoncer l’in´egalit´e des accroissements finis.
1
9. Montrer que ∀n∈N, |v −e|6 .n n4
5 −1210. Sachant que 4 > 1000, d´eterminer un entier n `a partir duquel v est une valeur approch´ee de e `a 101 n
pr`es.
` ´Probleme. Caracterisation des fonctions affines
On se propose de d´eterminer les fonctions f : R→R v´erifiant
x+y f(x)+f(y)2(E) ∀(x,y)∈R , f( ) = .
2 2
Le probl`eme se d´ecompose comme suit :
– dans la partie 1, on d´efinit la notion de pseudo-d´eriv´ee de Schwarz qu’on emploiera dans la partie 3;
– dans la partie 2, on d´etermine les fonctions f v´erifiant (E) sous l’hypoth`ese que f soit d´erivable en 0.
Cette partie peut se traiter ind´ependamment des deux autres.
– dans la partie 3, on d´etermine les fonctions f v´erifiant (E) sous l’hypoth`ese que f soit continue surR.
1
vnM1iaeiosroD2Partie 1. Pseudo-d´eriv´ee de Schwarz
Soit f : R → R. On dit que f admet en x ∈ R une pseudo-d´eriv´ee au sens de Schwarz ( ou que f est0
f(x +h)+f(x −h)−2f(x )0 0 0
pseudo-d´erivable en x ) si lim existe et est finie. Dans ce cas, on note0 2h→0,h=0 h
f(x +h)+f(x −h)−2f(x )0 0 0
D(f)(x ) = lim .0 2h→0,h=0 h
Le r´eel D(f)(x ) est la pseudo-d´eriv´ee de f en x .0 0
Soit x ∈R. On noteD l’ensemble des fonctions f : R→R pseudo-d´erivables en x ; de mˆeme on note0 x 00T
D = D , c’est-`a-dire l’ensemble des fonctions f : R→R pseudo-d´erivables en tout point x ∈R.x 00
x ∈R0
Si f : R→R appartient `aD, la pseudo-d´eriv´ee de f, not´ee D(f), est la fonction d´efinie surR par
f(x+h)+f(x−h)−2f(x)
D(f)(x) = lim .
2h→0,h=0 h
Questions pr´eliminaires
1. Soit x ∈R. Montrer queD est un s.e.v. duR−espace vectoriel F(R,R).0 x0
2. En d´eduire queD est un s.e.v. de F(R,R).
23. Soient (α,β)∈R ; f et g des fonctions appartenant `aD. Montrer que D(αf +βg) =αD(f)+βD(g).
Que peut-on alors dire de D : D →F(R,R) qui `a f ∈D associe D(f)?
Quelques exemples de fonctions admettant une pseudo-d´eriv´ee.
4. Soit δ : R →R d´efinie par δ(0) = 1 et δ(x) = 0 sinon. Montrer que δ admet en 0 une pseudo-d´eriv´ee
D(δ)(0) que l’on d´eterminera.
25. Soit f ∈C (R,R). Montrer que f appartient a`D et que pour tout x ∈R :0
00D(f)(x ) =f (x ).0 0
Indication. pensez `a utiliser l’outil D.L..
Fonctions admettant un extremum local Soit f d´efinie et continue surR appartenant a`D.
6. On suppose que f admet un maximum local en x ∈R. Montrer que D(f)(x )≤ 0.0 0
7. Que dire si f admet un minimum local en x ? L’´etablir.0
Fonctions `a pseudo-d´eriv´ee nulle Soit f d´efinie et continue surR appartenant a`D.
On veut d´eterminer `a quelle condition n´ecessaire et suffisante la pseudo-d´eriv´ee de f est identiquement
nulle surR.
On suppose que D(f) = 0. Soient a < b et ε > 0 des r´eels arbitrairement choisis . On d´efinit la fonction
auxiliaire ϕ suivante d´efinie surR par
f(b)−f(a)
ϕ(x) =f(x)− (x−a)−f(a)−ε(x−a)(b−x).
b−a
8. Montrer que ϕ est continue surR et qu’elle appartient a`D.
9. Calculer D(ϕ)(x) pour tout x∈R.
10. Justifier que ϕ admet un maximum M sur [a,b].
11. Dans cette question, on suppose M > 0.
(a) Montrer que M est atteint pour x ∈]a,b[. Indication. s’inspirer de la d´emonstration du th´eor`eme0
de Rolle.
2
666(b) En d´eduire que ϕ admet un maximum local en x .0
(c) Aboutir `a une contradiction.
12. Quelle est la valeur de M ? En d´eduire que ϕ≤ 0 sur [a,b].
f(b)−f(a)
13. Conclure que f(x)≤ (x−a)+f(a) pour tout x∈ [a,b].
b−a
14. Apr`es avoir justifi´e son emploi, appliquer l’in´egalit´e trouv´ee a` −f. En d´eduire que si D(f) = 0, alors f
est affine.
15. En d´eduire une C.N.S. sur f pour que D(f) soit identiquement nulle.
Partie 2. Solutions de (E) d´erivables en 0
On suppose ici que f : R→R est d´erivable en 0 et qu’elle v´erifie (E).
On pose g(x) =f(x)−f(0) pour tout x∈R.
16. Montrer que g est d´erivable en 0 et qu’elle v´erifie (E).
17. Soit x∈R fix´e.
g(x)x(a) Montrer par r´ecurrence que g( ) = pour tout n∈N.n n2 2
0(b) En d´eduire que g(x) =g (0)x.
(c) Exprimer f(x) en fonction de x.
18. En d´eduire l’ensemble des fonctions f : R→R d´erivables en 0 et v´erifiant (E).
Partie 3. Solutions de (E) continues sur R.
On suppose ici que f : R→R est continue en 0 et qu’elle v´erifie (E).
19. Montrer que f est pseudo-d´erivable surR et ´etablir que D(f) = 0.
20. En d´eduire l’ensemble des fonctions f : R→R continues surR et v´erifiant (E).
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