Université des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathématiques Pures et Appliquées

Gwénaëlle Castellan

Description

Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IPÉ Math306 Année 2005-2006 Corrigé du devoir 2 Dans ce devoir, on utilisera à deux reprises (Ex 1, question 5 et Ex 2, question 2) le résultat suivant : Soit (Xn)n une suite de v.a. définies sur un même espace probabilisé (?,F, P ) et à valeurs dans R. On suppose que (Xn)n converge presque sûrement vers une constante c et que f est une fonction continue au point c. Alors la suite (f(Xn))n converge presque sûrement vers f(c). Ex 1. Comportement asymptotique de variables de loi ?2(n) Dans tout l'exercice, on considère une suite (Xi)i≥1 de variables aléatoires indépen- dantes et de même loi N(0, 1). On pose pour tout n ≥ 1, Zn := n∑ i=1 X2i . On sait qu'alors Zn suit la loi ?2(n). 1) Dans cette question, X est une v.a. de loi N(0, 1). 1.a) Expliquez pourquoi X a des moments de tout ordre. Il s'agit d'étudier, pour tout entier r ≥ 1, la convergence de l'intégrale ∫ +∞ ?∞ |x|r 1 √ 2pi e? x2 2 dx.

• zn ?


• n√


• convergence de l'intégrale ∫


• loi ??????


• convergence


• variable aléatoire


• conditions d'application du lemme de slutsky

Sujets

• Convergence
• Variable aléatoire

Informations

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Extrait

IPÉ Math306

Université U.F.R. de

des Sciences et Mathématiques

Technologies de Lille Pures et Appliquées

Corrigé du devoir 2

Année 2005-2006

Dans ce devoir, on utilisera à deux reprises (Ex 1, question 5 et Ex 2, question 2) le résultat suivant : Soit(X n ) n une suite de v.a. définies sur un même espace probabilisé(Ω,F, P)et à valeurs dansR. On suppose que(X n ) n converge presque sûrement vers une constantec et quefest une fonction continue au pointc. Alors la suite(f(X n )) n converge presque sûrement versf(c).

2 Ex 1.Comportement asymptotique de variables de loiχ(n) Dans tout l’exercice, on considère une suite(X i ) i≥1 de variables aléatoires indépen- dantes et de même loiN(0,1). On pose pour toutn≥1,

n X 2 Z n :=X i . i=1

2 On sait qu’alorsZ n suit la loiχ(n). 1) Danscette question,Xest une v.a. de loiN(0,1). 1.a)Expliquez pourquoiXa des moments de tout ordre. Il s’agit d’étudier, pour tout entierr≥1, la convergence de l’intégrale Z +∞ 1 2 x r− |x | √ e dx. 2 −∞ 2π

2 x r 1 − Comme la fonctiong r :x7→ |x|eest paire et continue surR, on étu- √ 2 2π 2 die seulement la convergence de l’intégrale en+∞. Orlim x→+∞ x g r (x) dx= 0 implique pourxsuffisamment grand,

1 0≤g r (x)≤ 2 x R +∞ 1 et la convergence de l’intégrale 2 dxpermet de conclure à celle de l’intégrale 1 x R R +∞+∞ g r (x) dx. Donc,g r (x) dxest convergente etXa des moments de tout 0−∞ ordre.