Autour de la décomposition de Dunford. Théorie spectrale et méthodes effectives.

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Ces notes ne prétendent pas se substituer à un cours d'algèbre linéaire sur la réduction des endomorphismes ni à une présentation exhaustive de la décomposition de Dunford.
On se limitera au cas où le corps de base est celui des réels ou complexes, et l'objectif de cette présentation est de faire un état des lieux sur les diverses méthodes de décomposition de Dunford.
Lorsque les valeurs propres sont connues avec leurs valeurs exactes, une décomposition en éléments simples de l'inverse d'un polynôme annulateur nous fournit les projecteurs spectraux et a fortiori la décomposition attendue.
Le cas le plus délicat se présente dès que le spectre de l'endomorphisme n'est pas à notre disposition ce qui est une situation courante lorsque la dimension de l'espace vectoriel est supérieure à 4.
La méthode de Newton-Raphson vient alors à la rescousse pour nous fournir une suite qui converge quadratiquement vers la composante diagonalisable.
Certes, cette méthode très en vogue est assez efficace quelle que soit la taille de la matrice étudiée, mais elle nous laisse sur notre faim. En effet, on sait que les composantes de Dunford sont des polynômes en la matrice et on souhaiterait connaître ces polynômes générateurs.
La bonne nouvelle, c'est qu'une méthode effective utilisant le lemme chinois existe et elle a été introduite par Chevalley dans les années cinquante du siècle dernier.
Je mettrai l'accent sur cette méthode qui a été évoquée dans un article de Danielle Couty, Jean Esterle et Rachid Zarouf, en détaillant la preuve de l'algorithme dans le cas où le polynôme caractéristique est scindé sur le corps de base, puis je détaillerai le cas réel qui est une situation plus subtile nécessitant une étude plus poussée.
Un rappel sur les endomorphismes semi-simples a été introduit afin de justifier l'importance de la recherche d'une méthode effective permettant de tester la diagonalisabilité des matrices réelles lorsqu'on ne dispose pas des valeurs propres de l'endomorphisme étudié. Pour y parvenir j'ai proposé les suites de Sturm comme outil de vérification de diagonalisabilité réelle.

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Autour de la décomposition de Dunford
réelle ou complexe :
Théorie spectrale et méthodes effectives.

Alaeddine BEN RHOUMA
Professeur agrégé de Mathématiques

alaeddine.ben-rhouma@ac-guyane.fr

Juillet 2013

1

Résumé.
Ces notes ne prétendent pas se substituer à un cours d’algèbre linéaire sur la
réduction des endomorphismes ni à une présentation exhaustive de la décom-
position de Dunford.
On se limitera au cas où le corps de base estRouC, et l’objectif de cette présen-
tation est de faire un état des lieux sur les diverses méthodes de décomposition
de Dunford.
Lorsque les valeurs propres sont connues avec leurs valeurs exactes, une décom-
position en éléments simples de l’inverse d’un polynôme annulateur nous fournit
les projecteurs spectraux et a fortiori la décomposition attendue.
Le cas le plus délicat se présente dès que le spectre de l’endomorphisme n’est
pas à notre disposition ce qui est une situation courante lorsque la dimension
de l’espace vectoriel est supérieure à 4.
La méthode de Newton-Raphson vient alors à la rescousse pour nous fournir
une suite qui converge quadratiquement vers la composante diagonalisable.
Certes, cette méthode très en vogue est assez efficace quelle que soit la taille de
la matrice étudiée, mais elle nous laisse sur notre faim. En effet, on sait que les
composantes de Dunford sont des polynômes en la matrice et on souhaiterait
connaître ces polynômes générateurs.
La bonne nouvelle, c’est qu’une méthode effective utilisant le lemme chinois
existe et elle a été introduite par Chevalley dans les années cinquantes du siècle
dernier.
Je mettrai l’accent sur cette méthode qui a été évoquée dans un article de
Danielle Couty, Jean Esterle et Rachid Zarouf, en détaillant la preuve de l’al-
gorithme dans le cas où le polynôme caractéristique est scindé sur le corps de
base, puis je détaillerai le cas réel qui est une situation plus subtile nécéssitant
une étude plus poussée.
Un rappel sur les endomorphismes semi-simples a été introduit afin de justifier
l’importance de la recherche d’une méthode effective permettant de tester la
diagonalisabilité dansMn(R)lorsqu’on ne dispose pas des valeurs propres de
l’endomorphisme étudié. Pour y parvenir j’ai proposé les suites de Sturm comme
outil de vérification de diagonalisabilité dansR.

2

TABLE DES MATIÈRES

TABLE DES MATIÈRES

Table des matières
1 Résultats préliminaires 4
1.1 Lemme des noyaux et ses conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Lemme des noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Décomposition de l’espace en somme de sous-espaces caractéristiques 5
1.1.3 Critère de diagonalisabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Restriction aux sous-espaces stables . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Théorème de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Sous-espace cyclique et matrice compagnon . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Théorème de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Le lemme chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Lemme chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Système de congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Suite de Sturm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1 Théorème de Sturm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2 Bornes de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Décomposition de Dunford 15
2.1 Codiagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Somme de nilpotents qui commutent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Diagonalisable et nilpotent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Théorème de Dunford-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 Exemple de décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6 Une utilisation de la densité... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Méthodes effectives 21
3.1 Méthode de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Méthode de Chevalley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Étude du cas réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.1 Endomorphismes semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.2 Dunford dansMn(R). . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 35
3.3.3 Un algorithme de vérification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Références 37

3

1 RÉSULTATS PRÉLIMINAIRES

1 Résultats préliminaires
Kdésigne le corpsRouCetEun espace vectoriel surKde dimensionn∈N∗.
Pour toutu∈ L(E), on noteχu= det(u−XId)le polynôme caractéristique deu,µu
son polynôme minimal etK[u] ={P(u);P∈K[X]}qui est une algèbre commutative.
1.1 Lemme des noyaux et ses conséquences
1.1.1 Lemme des noyaux
Théorème(Décomposition des noyaux).
Soitu∈ L(E)etP=P1Pk∈K[X]tel queP1  Pksoient premiers entre
eux deux à deux.
k
Alors :kerP(u) =LkerPi(u).
i=1

Preuve :On procède par récurrence surk∈Netk≥2.
Initialisation : SoitP=P1P2∈K[X]tel queP1∧P2= 1. D’après le théorème
de Bezout, il existeU V∈K[X]tels queU P1+V P2= 1.
On a alors pour toutx∈E:
x=U(u)◦P1(u)(x) +V(u)◦P2(u)(x)
Soitx∈kerP1(u)∩kerP2(u). On obtient dans ce cas :
u(u)◦P1(u)(x) =V(u)◦P2(u)(x) = 0et doncx= 0.
On a alorskerP1(u)∩kerP2(u) ={0}.
Or six∈kerP(u), avecx=U(u)◦P1(u)(x) +V(u)◦P2(u)(x),
on voit queP2(u)U(u)◦P1(u)(x)= 0etP1(u)V(u)◦P2(u)(x)= 0.
On a alors,x=x1+x2avecx1∈kerP2(u)etx2∈kerP1(u).
DonckerP(u) = kerP1(u)LkerP2(u).
Hérédité : Supposons la propriété vraie jusqu’au rangket montrons qu’elle l’est
encore au rangk+ 1.
Soit alorsP1     Pk Pk+1∈K[X]premiers entre eux deux à deux.
SoitP=P1∙ ∙ ∙PkPk+1. PuisqueP1∙ ∙ ∙PketPk+1sont premiers entre eux, d’après l’in-
tialisation on akerP(u) = ker(P1∙ ∙ ∙Pk)(u)LkerPk+1(u).
k
D’après l’hypothèse de récurrenceker(P1∙ ∙ ∙Pk)(u) =LkerPi.
i=1
k+1
DonckerP(u) =LkerPi(u).
i=1

4

1 RÉSULTATS PRÉLIMINAIRES 1.1 Lemme des noyaux et ses conséquences

1.1.2 Décomposition de l’espace en somme de sous-espaces caractéristiques
Proposition(Décomposition spectrale).
Si un élémentPdeK[X]est un polynôme annulateur d’un élémentudeL(E)
r
tel que :P(X) =Q(X−λi)αi,
i=1
avec pour tout1≤i j≤r,λi∈K,αi≥1etλi6=λjpouri6=j.
r
AlorsE=Lker(u−λiId)αi.
i=1

Preuve :C’est une conséquence immédiate du théorème précédent. En effet, siPest
un polynôme annulateur deu, alorskerP(u) =E.

1.1.3 Critère de diagonalisabilité
Théorème.
u∈ L(E)est diagonalisable si et seulement s’il existe un polynôme annulateur
deuscindé à racines simples surK.

Preuve :Condition nécessaire :
r
uest diagonalisable doncE=LEλioù lesEλisont les sous-espaces propres deu.
i=1
r
SoitP(X) =Q(X−λi), les(X−λi)sont premiers entre eux deux à deux, donc
i=1
r
kerP(u) =Lker(u−λiId).
i=1
On obtient alorskerP(u) =Eet doncP(u) = 0.
Condition suffisante :
Supposons qu’il existeP=α(X−λ1)∙ ∙ ∙(X−λp)scindé à racines simples qui annule
p
u. Dans ce caskerP(u) =L(u−λiId).
i=1
p
OrkerP(u) =E, doncE=L(u−λiId).
i=1
Soit alorsJ={1≤i≤p; ker(u−λi)6={0}}. Sii∈Jalorsλiest valeur propre deuet
on a alorsE=L(u−λiId)ce qui signifie queuest diagonalisable.
i∈J
5

1.2 Théorème de Cayley-Hamilton 1 RÉSULTATS PRÉLIMINAIRES

1.1.4 Restriction aux sous-espaces stables
Proposition.
Soitu∈ L(E)diagonalisable etFun sous-espace vectoriel deEstable paru,
alors l’endomorphisme induit paruàFest diagonalisable

Preuve :On noteuFl’endomorphisme induit paruàF. Siuest diagonalisable alors
il existeP∈K[X]scindé à racines simples tel queP(u) = 0. OrF⊂Eetu(F)⊂F,
doncP(uF) = 0.uFest alors diagonalisable.

1.2 Théorème de Cayley-Hamilton
1.2.1 Sous-espace cyclique et matrice compagnon
Proposition.
SoitP(X) = (−1)n(Xn+an−1Xn−1++a1X+a0).
00−a0
1 −a1
SoitA= 0  ∈ Mn(K)
0001−−aann−−12
appelée matrice compagnon deP.
Alors on a :χA(X) =P(X).

Preuve :Par récurrence surn≥1.
Initialisation :
SoitA= (−a0). Dans ce casχA(X) =−a0−XetP(X) = (−1)(X+a0) =−a0−X.
DoncχA(X) =P(X)et la propriété est alors vraie pourn= 1.
Hérédité :
Supposons la propriété vraie jusqu’à l’ordrenet démontrons qu’elle est alors vraie à
l’ordren+ 1.
100−−aa0
1
Soit alorsA= 0  ∈ Mn+1(K)
0001−−aann−1

6

1 RÉSULTATS PRÉLIMINAIRES 1.2 Théorème de Cayley-Hamilton

X 0−a0

1 −a1
On aχA(X) = det(A−XIn+1 0) =  
  X−an−1

00 1−X−an
En développant par rapport à la première ligne on obtient :
−X 0−a11−X0 0
1 −a20 1−X00
n+2
χA(X) =−X0  −(−1)a0     
 −X−an−10  1−X
00 1−X−an 0   1
χA(X) =−X(−1)n(Xn+anXn−1+  +a2X+a1)+ (−1)n+1a0
χA(X) = (−1)n+1(Xn+1+anXn+  +a2X2+a1X+a0)
La propriété est alors vraie à l’ordren+ 1.

1.2.2 Théorème de Cayley-Hamilton
Théorème(Cayley-Hamilton).
Pour toutu∈ L(E)χu(u) = 0.

Preuve :Soitx∈E,(x u(x)     un(x))est une famille qui contientn+ 1éléments.
OrdimE=n, donc cette famille est liée.
Soitple plus petit entier tel que(x u(x)∙ ∙ ∙ up(x))soit liée.
Dans ce cas,(x u(x)     up−1(x))est libre et il existea0 a1     ap−1∈Ktels que
up(x) +ap−1up−1(x) +  +a0x= 0.
On complète la famille libre en une base deEet on écrit la matrice deMdeudans
cette base. On obtient alors :
M=A0BC!01000001−−−−aaaapp01−−21∈ Mp(K).
∈ Mn(K)avecA=

On aχM(X) = det(M−XIn) = det(A−XIp) det(B−XIn−p) =χA(X)χB(X).
0
OrχA(X) =P(X)avecP(X) = (−1)p(Xp+PakXk)et doncχA(A)(x) = 0.
k=p−1
Ceci étant vrai pour toutx∈E, doncχM(M) = 0.
7

1.3 Le lemme chinois

Corollaire.
SiA∈GLn(K)alorsA−1∈K[A]

1 RÉSULTATS PRÉLIMINAIRES

n−1
Preuve :χA(X) = (−1)nXn+PakXk. D’après le théorème de Cayley-Hamilton
k=0
χA(A) = 0, c’est-à-dire :
(−1)nAn+  +a1A+a0In= 0⇐⇒(−1)nAn+  +a1A=−a0I
n
En factorisant parA−1on obtient :A−1(−1)nAn+  +a1A=−a0A−1.
OrAest inversible etdetA=a0, donca06= 0.
On a alorsA−
1=a−01A−1((−1)nAn+  +a1A).

DoncA−1=a01(−1)nAn−1+  +a1Inqui est un polynôme enA.
1.3 Le lemme chinois
Rappelons queK[X]est un anneau principal puisqueKest un corps.
De cette propriété tout idéalIdeK[X]est principal et doncI= (P)pour un certain
P∈K[X]et dans ce casK[X]Iserait un anneau.
1.3.1 Lemme chinois
Théorème(Chinois).
Soitk∈Netk≥2. SoientP1     Pkdes éléments deK[X]premiers entre eux
deux à deux. Alors :
K[X](P1∙ ∙ ∙Pk)'K[X](P1)× ∙ ∙ ∙ ×K[X](Pk)

Preuve :démontrer le théorème ci-dessus je propose deux preuves qui sont toutesPour
les deux instructives car elles peuvent tre exploitées dans d’autres démonstrations uti-
lisant les mmes propriétés intrinsèques.

8

1 RÉSULTATS PRÉLIMINAIRES

1.3 Le lemme chinois

Première méthode :
Principe de la méthode.
Soient deux anneauxAetB. SoitIun idéal deA.
Pour démontrer queAI'B, il suffit de construire un morphisme surjectif
ϕ:A→Btel queI= kerϕ.
Dans ce casAkerϕ'Imϕ, ce qui est équivalent àAI'B.

Démontrons alors la propriété par récurrence surk∈Netk≥2.
Initialisation :
SoientP1etP2deux éléments deK[X]premiers entre eux. Il existe alors, d’après Bezout,
U V∈K[X]tels queU P1+V P2= 1.
Soit alors le morphisme d’anneaux
→K[X](P1)×K[X](P2)
ϕ:(K[PX]7→(PmodP1 PmodP2)

On akerϕ={P∈K[X]tel queP1|PetP2|P}. OrP1etP2sont premiers entre eux
donckerϕ={P∈K[X]tel queP1P2|P}= (P1P2).
On obtient doncK[X]kerϕ'Imϕ. Soit alorsK[X](P1P2)'Imϕ
Montrons à présent queϕest surjective.
Pour cela, on considère(Q R)∈K[X](P1)×K[X](P2)et on considèreP∈K[X]avec
P=U RP1+V QP2.
OrU P1≡1 ( modP2)etV P2≡ mod1 (P1).
DoncP≡Q( modP1)etP≡R( modP2).
On a alorsϕ(P) = (Q R)et doncϕest surjective avec
Imϕ=K[X](P1)×K[X](P2).
Finalement on a :K[X](P1P2)'K[X](P1)×K[X](P2).
Hérédité :
Soientk∈Netk≥2et soientP1     Pk Pk+1∈K[X]premiers entre eux deux à deux.
Supposons queK[X](P1∙ ∙ ∙Pk)'K[X](P1)× ∙ ∙ ∙ ×K[X](Pk).
Puisque(P1∙ ∙ ∙Pk)etPk+1sont premiers entre eux, d’après l’initialisation on obtient
K[X](P1∙ ∙ ∙Pk+1)'K[X](P1∙ ∙ ∙Pk)×K[X](Pk+1).
Avec l’hypothèse de récurrence on obtient :
K[X](P1∙ ∙ ∙PkPk+1)'K[X](P1)× ∙ ∙ ∙ ×K[X](Pk)×K[X](Pk+1)

9

1.3 Le lemme chinois

1 RÉSULTATS PRÉLIMINAIRES

Deuxième méthode :
Principe de la méthode.
Cette méthode nous permettra de résoudre des systèmes de congruences dans
K[X]et sera reprise dans la preuve de la décomposition de Dunford, d’où son
intért.
Cette fois-ci, on passe par une méthode directe en démontrant que :
ϕ:(K[X](P1∙ ∙ ∙Pk)→K[X](P1)× ∙ ∙ ∙ ×K[X](Pk)
Pmod (P1∙ ∙ ∙Pk)7→(PmodP1     PmodPk)
est un isomorphisme.

k
En effet, on définitQi=QPjpour1≤i≤k, et dans ce cas lesQiseront premiers
j=1j6=i
entre eux dans l’ensemble.
Par le théorème de Bezout, il existeU1     Uk∈K[X]tels queU1Q1+  +UkQk= 1.
Pour tout(R1     Rk)∈K[X](P1)× ∙ ∙ ∙ ×K[X](Pk), onconsidère
P=U1Q1R1+  +UkQkRk
qui vérifie bienP≡Ri( modPi)pour1≤i≤k.
Doncϕ(P) = (R1     Rk)etϕest alors surjective.
Puiskerϕ={P∈K[X](P1∙ ∙ ∙Pk)tel quePi|Ppour tout1≤i≤k}.
Puisque lesPisont premiers entre eux deux à deux, alors :
kerϕ={P∈K[X](P1∙ ∙ ∙Pk)tel queP1∙ ∙ ∙Pk|P}={0}.
Doncϕest injective et doncϕest un isomorphisme.
1.3.2 Système de congruences
Proposition.
Soitk∈Netk≥2. SoientP1∙ ∙ ∙Pkdes éléments deK[X]premiers entre eux
deux à deux. Alors le système :
P≡Q1modP1
P≡Q2modP2
(S) : ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙ ≡
P≡QkmodPk
admet une solution uniquemod (P1∙ ∙ ∙Pk).

10

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