Colle N°15: Structures algébriques fondamentales

Description

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+13 janvier 2012 PROGRAMME DE COLLE S13 Bis NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. ´STRUCTURESALGEBRIQUESFONDAMENTALES Lois de composition interne D´efinition : Une loi de composition interne ⋆ :E×E →E est dite : 3 associative si ∀(x,y,z)∈ E , x⋆(y⋆z) = (x⋆y)⋆z. 2 commutative si ∀(x,y)∈E , x⋆y = y⋆x. Un ´el´ement de (E,⋆) est dit ´el´ement neutre pour ⋆ si : ∀x∈E, x⋆e = e⋆x = x D´efinition: On suppose que (E,⋆) a un´el´ement neutree et que⋆ est associative. Un´el´ement x∈ E est dit sym´etrisable ′ ′ ′ ′s’il existe x ∈E, tel que x⋆x = x ⋆x = e. x est alors appel´e le sym´etrique de x. Savoir-faire : une l.c.i. est g´en´eralement not´ee +, ×, ou ⋆. Vous devez savoir adapter suivant les cas (+, ×, ⋆) les notions de sym´etrique, d’´el´ement neutre, et d’it´er´e d’un ´el´ement. Groupes D´efinition : Soit G un ensemble muni d’une loi de composition interne ⋆. (G ) la loi ⋆ est associative1 On dit que (G,⋆) est un groupe si (G ) la loi ⋆ poss`ede un ´el´ement neutre2 (G ) tout ´el´ement poss`ede un sym´etrique.3 Si de plus la loi ⋆ est commutative, on dit que G est groupe ab´elien, ou commutatif. D´efinition : Soit (G,×) un groupe et H ⊂G une partie de G. H est un sous-groupe de G (H σ(j). ⋆ I(σ)D´efinition : Soit n∈N , σ ∈S . On appelle signature de σ le nombre r´eel ε(σ) = (−1) . σ est dite paire (resp.n impaire) si ε(σ) = 1 (resp. ε(σ) =−1).

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: colle-mpsi
• Nombre de lectures: 43
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

PROGRAMME DE COLLE S13 Bis

semaine du 3+13 janvier 2012

NB :seulesem,srppohte´roe`´etoil´eositionsesap´gixensetnoss.eed´eslartsnomesedsnoit
´
STRUCTURES ALGEBRIQUES FONDAMENTALES

Lois de composition interne
D´efinition:Une loi de composition interne⋆:E×E→Eest dite :
associativesi∀(x y z)∈E3 x ⋆(y ⋆ z) = (x ⋆ y)⋆ z.
commutativesi∀(x y)∈E2 x ⋆ y=y ⋆ x.
Une´le´mentde(E ⋆)est ditreuteme´entnle´pour⋆si :∀x∈E x ⋆ e=e ⋆ x=x
D´efinition:On suppose que(E ⋆)reutnenteme´le´nuaeet que⋆etemen´el´.enUtaviosictssax∈Eems´tedtitsyblerisa
s’il existex′∈E, tel quex ⋆ x′=x′⋆ x=e.x′eleolatse´leppasrsym´etriquedex.
Savoir-faire :l.nei.c.tgesn´´elarenemetont+ee´,u×, ou⋆. Vous devez savoir adapter suivant les cas (+,×,⋆) les
notionsdesyme´trique,d’´ele´mentneutre,etd’ite´re´d’une´le´ment.
Groupes
D´efinition:SoitGun ensemble muni d’une loi de composition interne⋆.
(G1)la loi⋆est associative
On dit que(G ⋆)est ungroupesi(G2)la loi⋆pso`sdeue´nleertuentneme´
(G3)ue.rtqimye´uesn`sdeostpeneml´´eutto

Si de plus la loi⋆est commutative, on dit queGest groupenebae´il, oucommutatif.
D´efinition:Soit(G×)un groupe etH⊂Gune partie deG.Hest unsous-groupe deG(H < G) si :
Hest stable par pour la loi deG:∀(x y)∈H×H x×y∈H.
(H×)est un groupe.

The´ore`me*.—Caract´erisationdessous-groupes— Soit (G×) un groupe etHun sous-ensemble deG. Alors

Hest un sous groupe deGsi et seulement si((SGGS12))∀(x y)∈H×HH6=∅x×y−1∈H

Morphismes de groupes
De´finition:Soit(G×)et(G′ ⋆)deux groupes.f:G→G′atsen´eeuppelmorphisme de groupesi :

∀(x y)∈G×G f(x×y) =f(x)⋆ f(y)

Vocabulaire :endomorphisme, isomorphisme, automorphisme

Proposition.—Soitf:G→G′un morphisme de groupes. Alors pour tout (x y)∈G2
f(1G) = 1G′f(x×y) =f(x)⋆ f(y)
f(x−1) = (f(x))⋆(−1)f(x×y−1) =f(x)⋆(f(y))⋆(−1)

Proposition.—isomorphismere´ciproque—.Soitf:G→G′tacilppaice´rnoiuoqprnurohpsimodegrismes.L’oupe
f−1:G′→Gest un isomorphisme deG′surGappel´eromosihp´rempicequroeisdef.

Proposition.— Image et noyau d’un morphisme de groupe —.Soient (G×) et (G′ ⋆) deux groupes etf:G→G′
un morphisme de groupes. Alors
f(G) ={f(x) ;x∈G}est un sous-groupe deG′. On l’appelle l’imagedef. On le noteImf.
¯
f1({1G′}) ={x∈G|f(x) = 1G′}est un sous-groupe deG, on l’appelle lenoyaudef. On le noteKerf.

Th´eor`eme.—Soient (G×) et (G′ ⋆) deux groupes etf:G→G′un morphisme de groupes. Alors
fest surjectifsi et seulement siImf=G′
fest injectifsi et seulement siKerf={1G}

1

´
Etudedugroupesym´etrique

Proposition.—Soitn∈N⋆, (Sn◦urpocolaosmpioittse)rgnuepuonsioaticplapesnde´leppa,eriqum´etysepuorg.
L’´el´ementneutreestl’applicationidentite´.

Exemples :les transpositions, les cycles sont des permutations

The´or`eme.—De´compositiond’unepermutationenproduitdetranspositions—.Soitn∈N⋆.
c=a1a2a3  ap=a1a2◦a2a3◦    ◦ap−1ap
toute permutationσdeSnmoceasopeelbpnundurod’itplauusestd´n−1 transpositions.
Savoir-faire :resopmocumrepenudeontitad´eSnen produit de transpositions.
D´efinition:Soitσ∈Snune permutation. On noteI(σ)lenombre d’inversionsdeσ, i.e. le nombre de couples
(i j)∈[1 n]]2tels quei < jetσ(i)> σ(j).
D´efinition:Soitn∈N⋆,σ∈Sn. On appellesignaturedeσlrerbmonelee´ε(σ) = (−1)I(σ).σest ditepaire(resp.
impaire) siε(σ) = 1(resp.ε(σ) =−1).

Th´eore`me*.—L’applicationε:Sn◦→{±1}×un morphisme de groupes. Autrement dit,est
∀(σ ρ)∈S2n εσ◦ρ=εσ×ερ

Proposition*.—Soitn∈N⋆, etc=a1a2  apunp-cycle deSn. Alorsε(c) = (−1)p−1.
En particulier, les transpositions ont pour signature−1.

Anneaux et corps
D´finition :SoitAunedeuenudilbmesnmeseet´no.,.i.cxl+et×.(A+×)est un anneausi :
e
(A1) (A+)est ungroupe commutatif´eL’eml´.edentnertue+en´ttsoe0A.
(A3)la loi×estdistributive par rappz
((AA42))iollal×estassociative.roreneut,tn`aot´ela1lAoi+,∀∀((yxyzx))∈∈AA33(xx×+(yy)+×zz=)=xx××yz++xy××zz.
a loi×ospnuede`stneme´le´
Si de plus la loi×est commutative, on dit que(A+×)est unanneau commutatif.
D´efinition:Soit(A+×)un anneau.On appelle sous-anneau deAtoute partieBdeA, stable par+et×, contenant
1Aet telle que(B+×)est un anneau.

Th´or`eme*.—Caract´erisationdessous-anneaux—.Soit (A+×) un anneau etB⊂Aune partie deA.
e

(SA1) 1A∈B
Best un sous-anneau deAsi et seulement si(SA2)∀(x y)∈B×B x−y∈B
(SA3)∀(x y)∈B×B x×y∈B

Savoir-faire :vous devez connaˆıtre et savoir appliquer lameˆoinubdelumrofde Newton et l’uetriqom´egee´it´tdine
pourdeux´ele´mentsdel’anneauquicommutent.
D´efinition:SoitKun ensemble muni de deux lois de composition interne+et×.(K+×)est uncorpssi
(K+×)mmtuuaocnaeentsnuit`a´edunonratif{0},
K×=K {0}nentnountue´´lmersible.lestinve’c,toueeqir-d`at-es

Exemple :es,uellsinueledMioatusnssourerp´QRetCsont des corps

De´finition:On appellesous-corpsd’un corps(K+×)toute partieLdeK, stable par+et×qui, munie des lois
induites par+et×est un corps.

Proposition*.—Caracte´risationdessous-corps—.Soit (K+×) un corps etL⊂Kune partie deK.

(SC1) 1K∈L
Lest un sous-corps deKsi et seulement si(SC2)∀(x y)∈L×L x−y∈L
(SC3)∀(x y)∈L×L⋆ x×y−1∈L

2

.