Colle N°16: Ensembles ordonnés, propriétés de R

Description

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S16 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. ´ ´ ´ENSEMBLES ORDONNES, PROPRIETES DE R Ensembles ordonn´es D´efinition : SoitR une relation binaire de E. On dit queR est : r´eflexive lorsque ∀x∈E, xRx. sym´etrique lorsque ∀(x,y)∈E×E, (xRy)⇒ (yRx). 2 antisym´etrique lorsque ∀(x,y)∈E , (xRy etyRx)⇒ (x = y). 3 transitive lorsque ∀(x,y,z)∈ E , (xRy etyRz)⇒ (xRz). Un ensemble ordonn´e est un couple (E, ) ou` est une relation d’ordre sur E, c’est-a`-dire une relation r´eflexive, antisym´etrique et transitive. D´efinition : Soit (E, ) un ensemble ordonn´e. Deux ´el´ements x,y de E sont dits comparables si (x y) ou (y x). Lorsque tous les ´el´ements de E sont comparables deux a` deux, on dit que est un ensemble totalement ordonn´e. Dans le cas contraire, on dit que (E, ) est partiellement ordonn´e. D´efinition : Soient (E, ) un ensemble ordonn´e, et A∈P(E) une partie de E et x un ´el´ement de E. • x est un majorant de A dans E si ∀a∈A, a x • x est un minorant de A dans E si ∀a∈A, a x • x est un plus grand ´el´ement de A dans E si x est un ´el´ement et majorant de A • x est un plus petit ´el´ement de A dans E si x est un ´el´ement et minorant de A Vocabulaire : On dit que A est une partie major´ee (resp. minor´ee) de E s’il existe un majorant (resp.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: colle-mpsi
• Nombre de lectures: 31
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

PROGRAMME DE COLLE S16

semaine du 3+1erseptembre 2011

NB :seulesem,srppohte´roe`´etoil´eositionsesap´gixensetnoss.eed´eslartsnomesedsnoit
´ ´ ´
ENSEMBLES ORDONNES, PROPRIETES DE R

Ensemblesordonne´s
De´finition:SoitRune relation binaire deE. On dit queRest :
exivefle´rlorsque∀x∈E xRx
´etriquelorsque∀(x y)∈E×E(xRy)⇒(yRx)
sym
sym´antiqueetrilorsque∀(x y)∈E2(xRy et yRx)⇒(x=y)
transitivelorsque∀(x y z)∈E3(xRy et yRz)⇒(xRz)
Unensembleordonn´eestuncouple(E)u`oest une relation d’ordre surEe,t-`a,c’eseune-diritnoeralxevi´rfle
antisyme´triqueettransitive.
D´efinition:Soit(E)´enn.nuneesbmelrood
De´euxeml´stnex ydeEsont ditscomparablessi(xy)ou(yx).
´le´selsuoteuqsesdntmeLorEmesnelbmpcontsoue`xdauerabaeldsueestunex,onditqlatonemeterdton´on.
e
Dans le cas contraire, on dit que(E)este´raplemetieldonnntor.
Definition :Soient(E)oelbnodr,e´nteneuemnsA∈P(E)une partie deEetxu´nlee´emtnedE.
´

•xest unmajorantdeAdansE
•xest unminorantdeAdansE

si∀a∈A ax
si∀a∈A ax

•xest unenemtndral´´epgsuldeAdansE si xmajorant´deementetseut´nleA
•xest unpluspeemtnit´tlee´deAdans xE sieunstl´´eeronidtnanememtetA

Vocabulaire :On dit queAest unee´eorajemtipra(resp.ee´ronim) deEs’il existe un majorant (resp. minorant)
deAdansE
Notation :L’ensemble des majorants ( resp des minorants) deAdansE´tontseeMajE(A)(resp.MinE(A)).

Proposition.—Soit (Emesnoelbenu)etrdonn´e,A∈P(E).

SiA(ntme´eeld´angruse`ednulpopssresp.itepsulpnunt)´emet´elα, alors il est unique. On noteα= max(A) (
resp.α= min(A) ).

Structured’ensembleordonn´edeR

Th´eore`me*.—

Soientxetyomxneudeer´esbrsnpuslO.uqeopesx < y. Alors

•

∀t∈R x+t < y+t

The´ore`me*.—In´egalite´striangulaires

• ∀(x y)∈R2|x+y| ≤ |x|+|y|



•

∀t∈R+⋆×t < y×t
 x

• ∀(x y)∈R2|x−y| ≥|x| − |y|

Savoir-faire :ituloeu’dnusemoem.jamruopsimuoreroavrlrenobsraeuallrseilesagilnie´triat´esairengul
Bornessup´erieure,infe´rieure
De´finition:Bornesup´erieureetborneinfe´rieured’unepartie—.SoitA∈P(R)une partie deR.
•Si l’ensembleMajRAdes majorants deAdansR´lmenetpstetie´edeunpluposs`M,Mppatseale´leborne
sup´erieuredeA. On note

•Si l’ensembleMinRAdes minorants
inf´erieuredeA. On note

M= supA= minMajR(A)

deAdansRand´el´ementopsse`ednulpsurgm,mstappel´elaeborne

m= infA= maxMinR(A)
1

Th´eor`eme.—Caract´erisationdelabornesupe´rieure/inf´erieure





SoitA⊂Rurtieendeepaiodre´eentomnavjR, alors


(∀α∈R)

α= supA

⇐⇒

•
•

SoitA⊂Ron´reeedivedteimartienonunepR, alors
(∀α∈R)α= infA⇐⇒•
•

The´or`eme*.—Proprie´t´edelabornesupe´rieure/inf´erieure

∀a∈A α≥a
∀ε >0∃a∈A;α−ε < a≤α

∀a∈A α≤a
∀ε >0∃a∈A;α≤a < α+ε

•´rojedeeartienonvideetmaoTtupeRneeurnboupesri´esopde`sreeu
•edeiertpateouTe´ronimteedivnonRuneb`edepossruereeini´froen

Savoir-faire :labornesi´et´edeero:tbnepue´iruettmepalerporneerrvuœjamenuridnoitaroupesApar ”passage au
sup”p,tbneiuosvaleirlacetturderobea`enia’lededCBlaS
Remarque :siAamdtenulpsurgnad´el´ementαalorsαetsalobnrsepue´rieuredeA.
Cons´equencesdelaproprie´t´edelabornesupe´rieure
De´finition:Une partieCdeRest diteconvexesi(∀(a b)∈R2)(a b)∈C2⇒[a b]⊂C

The´ore`me.—IntervallesdeR.Les parties convexes deRsont les intervalles.
—

The´oreme.—
`

Ralapropri´ete´d’Archime`de—.

(∀ε >0)(∀a∈R)(∃n∈N);

(nε > a)

Proposition.—Partieentie`red’unr´eel—.Soitx∈R. Il existe un entier relatifn∈Z, unique, tel quen≤x < n+ 1.
nest lapartreenie`etidex, on le note⌊x⌋.

Proposition.—densit´edesrationnelsetdesirrationnels—.
Soit (x y)∈R2tel quex < y.
Il existe un nombre rationnelrdans l’intervalle ouvert ]x y[.
Il existe un nombre irrationnelξdans l’intervalle ouvert ]x y[.

Th´eor`eme*.—Racinesn`iseme—.und’eer´oslpifit
Soitn∈N⋆ourt.Pitfopise´leuorta∈R+, il existeb∈R+, unique tel que :

(1)

Cet´el´ementb´teetson

bn=a

naoua1nppta´eelesetalracinene`iemdea.

2