Correction : Algèbre linéaire, Endomorphismes nilpotents

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Appplications linéaires. Espaces vectoriels de dimension finie.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
• Nombre de lectures: 64
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

1.a

1.b

1.c

2.a

2.b

2.c

2.d

1.a

1.b

1.c

2.

3.a
3.b

Correction

Partie I

ϕ:→est bien définie.
Soitλ,∈et=(1,…,)∈et=(1,…,)∈.
ϕ(λ+)=ϕ(λ1+1,…,λ+)=(0,λ1+1,…,λ−1+−1)=λϕ()+ϕ() .
Doncϕest bien un endomorphisme de.
=(1,…,)∈kerϕ⇔ϕ()=(0,…, 0)⇔1=2=…=−1=0 .
Donc suite kerϕ= {(0,…, 0,) /∈} =Vect() avec=(0,…, 0,1)≠.
Ainsi dim kerϕ= Im1 et par le théorème du rang dimϕ=−1 .
2 1
ϕ(1,…,)=(0, 0,1,…,−)2,...,ϕ−(1,…,)=(0,…, 0,1) etϕ(1,…,)=(0,…, 0) .
Ainsiϕ=ɶetϕest donc un endomorphisme nilpotent.
:→ degest bien définie car si≤alors deg(+1)−deg()≤.
Siest constant alors(+1)=() donc()= on a0 et deg()= −∞.
Sinon constant alors on peut écrire :
= +avec=deg,∈* et deg≤−1 .

On a alors()=(+1)−+(+1)−()=−1+() avec deg<− la1 car
puissance d’exposant− polynôme1 dus’est simplifiée dans la différence(+1)−() .
Par suite deg()=−1
.
Par ce qui précède kerest formé des polynômes constants et Im ⊂−1.
On a dim ker = Im dim par le théorème du rang1 donc =dim−1==dim−1donc
Im =−1.
Pour tout∈, on a deg()≤deg−1 donc deg2()≤deg−2 ,...,
deg+1()≤deg−+1<0 donc+1()=0 . Ainsi+1=ɶetest nilpotent.

Partie II

On suppose qu’il existe∈ℕ∗tel que=ɶ.
()=()()…() oretcommutent donc ()==ɶcar.
ɶ
=
Ainsiest nilpotent.
On suppose qu’il existe∈ℕ∗ (tel que)=ɶ.
()+1=()()…()=()…()=()=ɶ.
Ainsiest nilpotent.
On suppose qu’il existe∈ℕ∗tel que=.
ɶ
Id=Id−=(Id−)(Id++⋯+−1) . En posant=Id++⋯+−1, on a
(Id−)=(Id−)=Id donc Id−est inversible et (Id−)−1=.
Soit={∈ℕ* /=ɶ}.est une partie deℤ, minorée et non vide carest supposé nilpotent
doncpossède un plus petit élément, c’est notre indice de nilpotence.
Puisqueν()=ɶon aν()=kerν()=.
Soit∈, on a()=donc+1()=(())=()=d’où∈+1. Ainsi⊂+1.

3.c

3.d

1.

2.a

2.b

2.c

2.d

3.

4.

Notons que⊂+1et dim=dim+1implique=+1
Par récurrence sur∈ℕ.
Pour= ok0 :
Supposons la propriété établie au rang≥0 .
On a=+⊂++1. Inversement, soit∈++1. On a++1()=donc()∈+1=
d’où+()=i.e.∈+. Ainsi++1⊂+=. Par double inclusion l’égalité.
Récurrence établie.
La suite (dim)∈ℕsuite croissante d’entiers naturels stationnaire égale à dimest une à partir du
rangν() . Par 3.c, dès que deux termes consécutifs sont égaux la suite devient stationnaire donc la suite
devient stationnaire à partir d’un rang inférieur à dimet doncν()≤dim.

Partie III

()⊂() ,ɶ∈() car==.
ɶ ɶ ɶ
Soitλ,∈et,∈() .(λ+)=λ+=λ+=(λ+)donc
λ+∈() .
− 
−1≠ɶcarest l’indice de nilpotence de. Par suite il existe0∈tel que1(0)≠.
+λ+⋯+λ−=.
Supposonsλ00 1(0)−11(0)
En appliquant−1à cette relation :λ0−1(0)++⋯+=.
Or−1(0)≠doncλ0=0 .
En appliquant−2à la relation initiale on obtient :λ1−1(0)=et doncλ1=0 .
On obtient ainsi successivementλ2=…=λ−1=0 .
La familleest donc libre, étant constituée de=dimvecteurs de, c’est une base de.
   
.
(0)=00+1(0)+⋯+1−1()0
−
   
((0))=((0))=0(0)+12(0)+ +−2−1() ...
⋯
((0))=((0))=0(0)+ 1+1()0+⋯+−−1−1() .

Introduisons=0Id+1+⋯+−1−1∈() .
Pour tout 0≤≤−1 ,((0))=((0)) .
et (prennent mêmes valeurs sur la base0,(0),…,−1(0)) donc=.
Par l’étude ci-dessus : Ainsi()⊂{0Id+1+&#