Cours de mathématiques - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Développements limités

Catherine Laidebeure

Description

Ce cours complet de mathématiques est composé de 21 chapitres : (0) Sommaire (1) Ensembles (2) Applications et Fonctions (3) Sommes et Produits (4) Polynômes (5) Suites numériques (6) Séries numériques (7) Limites et continuité (8) Calcul différentiel (9) Intégration (10) Développements limités (11) Fonctions de deux variables (12) Dénombrement (13) Espaces probabilisés (14) Variables aléatoires discrètes (15) Opérations sur les variables aléatoires discrètes (16) Statistique descriptive (17) Systèmes d’équations linéaires (18) Matrices (19) Espaces vectoriels (20) Applications linéaires (21) Réduction

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: cours-cpge
• Publié le: 01 janvier 2011
• Nombre de lectures: 40
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Développements limités - 1 - ECS 1
DEVELOPPEMENTS LIMITES


L’enjeu de ce chapitre est de comparer au voisinage d’un point une fonction complexe
à des fonctions plus simples, en l’occurrence des fonctions polynômes, pour mieux
étudier son comportement.
Dans tout ce chapitre, n désigne un entier naturel.
I – Formules de Taylor
1) Formule de Taylor avec reste intégral
On peut remarquer que toute fonction dérivable est primitive de sa dérivée.
1Donc si f est une fonction de classe C sur un intervalle I, pour tous a et b de I, on
b b
peut écrire : f '(t)dt = f (b)− f (a) . Donc : f (b) = f (a)+ f '(t)dt ∫ ∫
a a
2Si la fonction f est de classe C , on peut intégrer par parties en posant u'(t) = 1 et
v(t) = f '(t) , et donc u(t) = (t − b) et v'(t) = f "(t) . On obtient :
b
bf (b) = f (a) + [(t − b) f '(t)] − (t − b) f "(t)dt a ∫
a
b
Donc f (b) = f (a)− (a − b) f '(a)− (t − b) f "(t)dt . ∫
a
b
Donc f (b) = f (a)+ (b − a) f '(a) + (b − t) f "(t)dt . ∫
a
3Si la fonction f est de classe , on peut intégrer par parties en posant u'(t) = b − t et C
2
(b − t) (3)v(t) = f "(t) , et donc u(t) = − et v'(t) = f (t) . On obtient :
2
b b2 2 (b − t) (b − t) (3)f (b) = f (a)+ (b − a) f '(a) + − f "(t) + f (t)dt   ∫2 2   a a
b2 2
(b − a) (b − t) (3)Donc f (b) = f (a) + (b − a) f '(a)+ f "(a)+ f (t)dt . ∫2 2
a
Plus généralement, on démontre le théorème suivant par récurrence :
n+1Théorème : Soit f une fonction de classe sur un intervalle I. Pour tous a et b de C
bn k n
(b− a) (b− t)(k) (n+1)I : f (b) = f (a)+ f (t)dt . ∑ ∫k! n!
k=0 a
L’initialisation est démontrée. Il reste à montrer l’hérédité.
n+1
Supposons donc que pour toute fonction f de classe C sur l’intervalle I et pour tous
bn k n(b − a) (b − t)(k) (n+1)
a et b de I : f (b) = f (a)+ f (t)dt . ∑ ∫k! n!
k=0 a
Cours de math matiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lyc e Albert Schweitzer, Le Raincy - 2011
eeDéveloppements limités - 2 - ECS 1
n+2Si f est une fonction de classe C sur l’intervalle I, on peut intégrer par parties en
n n+1
(b − t) (b − t)(n+1)posant u'(t) = et v(t) = f (t) , et donc u(t) = − et
n! (n +1)!
(n+2)v'(t) = f (t) . On obtient :
b bn k n+1 n+1 (b − a) (b − t) (b − t)(k) (n+1) (n+2)f (b) = f (a) + − f (t) − − f (t)dt  ∑ ∫k! (n +1)! (n +1)! k=0   a a
bn k n+1 n+1
(b − a) (b − a) (b − t)(k) (n+1) (n+2)Donc : f (b) = f (a) + f (a) + f (t)dt . ∑ ∫k! (n +1)! (n +1)!
k=0 a
bn+1 k n+1
(b − a) (b − t)(k) (n+2)Donc : f (b) = f (a) + f (t)dt . ∑ ∫k! (n +1)!k=0 a
Donc l’hérédité est démontrée, ce qui termine la récurrence.
La formule obtenue est la formule de Taylor à l’ordre n avec reste intégral.
Exemple : La fonction ln est indéfiniment dérivable sur ]0,+∞[ . Ses dérivées
n−1
1 (−1) (n −1)!(0) (1) (n)successives sont : ln (x) = ln x , ln (x) = , et ln (x) = .
nx x
On applique la formule de Taylor à l’ordre n entre 1 et x :
xn k n(x −1) (x − t)(k) (n+1)
ln x = ln (1) + × ln (t)dt . ∑ ∫k! n!
k=0 1
xn k n(x −1) (x − t)k−1 n+1
Donc : ln x = (−1) + (−1) dt . ∑ ∫ n+1k tk=0 1
2n k−1 n(−1) (2− t)n+1
En particulier : ln 2 = + (−1) dt ∑ ∫ n+1k tk=0 1
n (k )
P (a)n kCorollaire : Si P∈ [X ], alors pour tous réels a et x : P(x) = (x − a) ∑
k!k=0
∞ n+1 (n+1)
En effet, P est C , donc C et P = 0 .
3 2 (1) 2 (2) (3)
Exemple : P(x) = x − 5x + 7x + 4, P (x) = 3x −10x + 7 , P (x) = 6x −10 , P (x) = 6 .
n (k )P (−1) 1 1k (1) (2) 2 (3) 3
P(x) = (x +1) = P(−1)+ P (−1)(x +1) + P (−1)(x +1) + P (−1)(x +1) ∑
k! 2 6
k=0
2 3
P(x) = −9+ 20(x +1) − 8(x +1) + (x +1)
Ceci peut par exemple être utile pour des intégrations.
2) Formule (égalité) de Taylor-Lagrange
Il s’agit de donner une autre expression du reste.
n+1Théorème : Soit f une fonction de classe sur un intervalle I. Pour tous a et b de I C
n k n+1(b − a) (b − a)(k ) (n+1)distincts, il existe c∈]a,b[ tel que : . f (b) = f (a) + f (c)∑
k ! (n +1)!k=0
On note la condition c∈]a,b[ , mais cela signifie c compris strictement entre a et b
sans imposer d’ordre entre a et b.
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eeDéveloppements limités - 3 - ECS 1
kn (n +1)! (b − a) (k) Démonstration : Puisque a ≠ b , on pose : A = f (b)− f (a) .  ∑ n+1 k!(b − a) k=0 
k n+1n (b − a) (b − a)(k ) Donc : f (b) = f (a)+ A . ∑
k! (n +1)!k=0
k n+1n (b − x) (b − x)(k) Soit g la fonction g définie par : g(x) = f (b) − f (x)− A . ∑
k! (n +1)!k=0
n+1 1La fonction f est de classe C , donc g est de classe C sur I. Or g(a) = g(b) = 0 .
Donc d’après le théorème de Rolle, il existe c∈]a,b[ tel que : g '(c) = 0 .
k−1 k nn n(b − x) (b − x) (b − x)(k) (k+1)Or : g '(x) = f (x)− f (x) + A . ∑ ∑
(k −1)! k! n!k=1 k=0
Dans la première somme on pose j = k −1 et dans la deuxième j = k .
n−1 j n j n(b − x) (b − x) (b − x)( j+1) ( j+1)Donc : g '(x) = f (x) − f (x) + A . ∑ ∑
j! j! n!j=0 j=0
n(b − x) (n+1) (n+1)
Donc : g '(x) = [A− f (x)]. Donc : A = f (c)
n!
n k n+1(b − a) (b − a)(k ) (n+1) Donc : . f (b) = f (a) + f (c)∑
k ! (n +1)!k=0
Remarque : On connaît l’existence de c, mais pas son expression.
La formule peut aussi s’écrire en posant h = b − a :
n k n+1h h(k) (n+1)f (a + h) = f (a)+ f (a + θh) avec θ∈]0,1[ ∑
k! (n +1)!k=0
3) Inégalité de Taylor-Lagrange
Elle est obtenue en majorant le reste.
n+1
Théorème : Soit f une fonction de classe C sur un intervalle I telle que
(n+1)∀t ∈ I f (t) ≤ M . Alors pour tous a et b de I :
n+1n k b − a(b − a) (k )
f (b) − f (a) ≤ M . ∑
k! (n +1)!
k=0
n+1 (n+1)Remarque : Puisque f est de classe C sur l’intervalle [a,b], sa dérivée f est
continue sur [a,b], et donc bornée ainsi que sa valeur absolue. Donc le réel M existe.
Démonstration : D’après l’égalité de Taylor-Lagrange, on a :
n+1k n+1n b − a(b − a) (b − a)(k ) (n+1) (n+1) (n+1)f (b) − f (a) = f (c) = f (c) et f (c) ≤ M ∑
k! (n +1)! (n +1)!k=0
Cette inégalité va permettre de calculer une valeur approchée de f (b) connaissant les
diverses dérivées de f en un point a proche et donne un majorant de l’erreur commise.
3 5 2 4
x x x x
Exemple : sin x − x + ≤ et cos x −1+ ≤ ( et ). a = 0 b = x
6 120 2 24
3 2x x4 3Donc, au voisinage de 0 : sin x − x + =o(x ) et cos x −1+ = o(x ) .
0 06 2
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eeDéveloppements limités - 4 - ECS 1
4) Formule de Taylor-Young
nThéorème : Soit f une fonction de classe sur un intervalle I et a un point de I. C
Alors il existe une fonction ε définie sur I telle que lim ε(x) = 0 et :
x→a
n k(x − a) (k ) n . ∀x∈ I f (x) = f (a) + (x − a) ε(x)∑
k!k=0
Démonstration : On note : I =]a, x[ si a < x et I =]x,a[ si a > x . x x
nf est de classe C sur I, donc d’après l’égalité de Taylor-Lagrange au rang (n −1) :
n−1 k n(x − a) (x − a)(k ) (n)∀x∈ I − a ∃c ∈ I f (x) = f (a) + f (c ) . { } x x ∑ x
k! n!
k=0
n k n(x − a) (x − a)(k ) (n) (n) Donc : ∀x∈ I − a f (x) = f (a) + [ f (c )− f (a)] . { } ∑ x
k! n!
k=0
1 (n) (n)On définit la fonction ε par ε(a) = 0 et : ∀x∈ I − a ε(x) = [ f (c ) − f (a)]. { } x
n!
(n)Or, par encadrement : lim c = a , donc par continuité de f : lim ε(x) = 0 . x
x→a x→a
nRemarque : Dans cette formule, le terme (x − a) ε(x) n’est pas explicité. Il est par
ndéfinition négligeable devant (x − a) puisque lim ε(x) = 0 .