Cours - Mécanique I - 1ère année de CPGE scientifique, voie MPSI, Energie potentielle - Energie mécanique - Problèmes à un degré de liberté

Damien Decout

Description

Cours de mécanique basé sur le programme de physique de 1re année de la voie MPSI des CPGE. Ce cours est composé de 5 chapitres : (1) Introduction à la mécanique classique - Rappels et domaine de validité (2) Repérage d'un point vitesse et accélération (3) Dynamique du point en référentiel galiléen (4) Energie potentielle - Energie mécanique - Problèmes à un degré de liberté (5) Oscillateur harmonique - Régime libre

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: cours-cpge
• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 183
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

´ ´
MPSI-2006/2007-M´ecaniqueI-Energiepotentielle-Energieme´canique-Probl`emes`aundegr´edelibert´e

´ ´
Energie potentielle - Energie
m´ecanique-Probl`emes`aun
degre´delibert´e

Danslechapitrepre´ce´dentnousavons´etabli,a`partirdela2eloi de Newton,
lethe´ore`medel’e´nergiecin´etiqueetdefinil’e´nergiecin´etique,letravailet
´
la puissance d’une force.

Tabledesmatie`res

1

2

3

4

Travail d’une force - Exemples
1.1 Force de pesanteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2Forcederappel´elastique....................
1.3 Force de frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

´
Energie potentielle
2.1 Force conservative... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2...ouforcede´rivantd’unee´nergiepotentielle.........

´
Energiem´ecanique
3.1De´finition............................
3.2 Conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Proble`mea`undegr´edelibert´e
4.1Positionsd’´equilibre......................
´
4.1.1 Equilibre stable - Exemple du ressort . . . . . . . . .
´
4.1.2 Equilibre instable - Exemple du pendule . . . . . . .
4.1.3Ge´ne´ralisation......................
4.2Petitsmouvementsauvoisinaged’unepositiond’e´quilibre
stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Damien DECOUT - Derniere modification : janvier 2007

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1
1
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2

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3
3
3
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4

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4.2.1 Exemple du pendule . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2Ge´ne´ralisation......................
4.3 Portrait de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
4.3.1De´terminismem´ecanique-Etatd’unsyst`eme....
4.3.2Lectureetinterpre´tation................

1
1.1

Travail d’une force

avec :

Force de pesanteur

-

Exemples

δW=FdOM=−mg dz

W12=−mg(z2−z1) =mgz1−mgz2=Ep1−Ep2

Ep(z) =mgz+cte

Attentiona`l’orientationdesaxes!

1.2

avec :

1.3

Forcederappele´lastique

δW=FdOM=−kx dx
(x2x221) =Ep
W12=−k22−1−Ep2

Ep(x)=12kx2+cte

Force de frottement

δW=FdOM=−kvxdx
W12ne peut pas se mettre sous la formeEp1−Ep2.

4
4
5
5
6

´ ´
MPSI-2006/2007-Me´caniqueI-Energiepotentielle-Energiem´ecanique-Proble`mes`a

1.4 Exercice

Soit dans le planOxymttaopninue`:alafuomricselso´eri

F= (y2−x2)ex+ 4xyey

Calculer le travail deO(0a`0)A(11)
– suivant la droiteOA.
– suivantOxdex0=a`x= 1 puis suivantOydey = 1.= 0 `
ay
– suivantOydey0=a`y= 1 puis suivantOxdex0`a=x= 1.
W.viuinsmiehcuddnepe´d

2

2.1

´
Energie potentielle

Force conservative...

Une force estconservative(lelneo)uerd´recone’uediveigrene´eitnetop
s’il existe une fonctionEp(x y z(tap))l´peeee´egrenopeitnetlleitelle que
δW=−dEp.

L’´energiepotentielleestde´finie`auneconstantepres.
`

Letravailned´ependplusducheminsuivi:
W=ZδW=−ZdEp=Ep1−Ep2=−ΔEp
en particulierHδW= 0.
RδW=RFdOMeducalitnoel´eeecsitraussiappF.

2.2

...ouforced´erivantd’unee´nergiepotentielle

dEp=−δW=−FdOM=−(Fxdx+Fydy+Fzdz)

Damien DECOUT - Derniere modification : janvier 2007

undegre´delibert´
e

∂Ep
Ep(x y z)⇒dEp=x∂E∂pdx+∂dyy+E∂∂zpdz
Fx=−∂Ep
Fy=−x∂∂y∂Ep
Fz=−∂∂Ezp
quel’onpeute´criredemani`erepluscondens´eeF=−grad(Ep).

Exemple:lepoidsestoppos´eaugradientdemgz.

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∂Fx∂Fy
Dans le planOxy,F=sileved’une´d´eritoneitlenereigpe
∂y ∂.
x
Exemple :F= (y2−x2)ex+ 4xyey´erinedengrene´dsu’evap
tentielle.

3

3.1

´
Energieme´canique

De´finition

ie

dEc= (Fc+Fnc)dOM

dEc=δWc+δWnc=−dEp+δWnc

d(Ec+Ep) =δWnc

Ec+Ep=Emeep´lpaergi´encaniqeume´e

po-

´ ´
MPSI-2006/2007-Me´caniqueI-Energiepotentielle-Energiem´ecanique-Probl`emesa`undegre´delibert´e

Dansunre´fe´rentielgalil´een,lavariationd’´energieme´caniqueeste´galeau
travail des forces non conservatives :

ΔEm=Wnc

ouencoredansunr´ef´erentielgalil´een,lade´riv´eedel’e´nergieme´caniquepar
rapportautempseste´galea`lapuissancedesforcesnonconservatives:

3.2

Conservation

dEm
dt=Pnc

Silapuissancedissip´eeparlesforcesnonconservativesestnullea`tout
instant alorsEm=cte(eppna´eelqu´eioatpelaimertnirge´´energie`eredel’).

Exemple du ressort :Em=21mx21+2kx2=cte
˙
ddEtm= 0⇒mx˙x¨ +kxx˙ = 0
˙
Exemple du pendule :Em12=m(lθ)2+mg l(1−cosθ) =cte
˙ ¨ ˙
ddEtm= 0⇒ml2θθ+mg lsinθθ= 0

4Problemeaundegr´edelibert´e
` `

4.1

4.1.1

Positionsd’e´quilibre
´
Equilibre stable - Exemple du ressort

Ep1=kx2
2

Damien DECOUT - Derniere modification : janvier 2007

~
F

−a

Em

Ep

Ec

Ep

~
F

a

x

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CommeEm=cte=Ec+EpetEc≥0,Emest la plus grande valeur que
puisse prendreEpnclimit´entestdoeLomvume.rapex=−aetx= +a.

Fx=−dxEdp=−kx

Entre 0 eta,Fx≤nemeeyst`eles`mne0arx= 0.
Entre 0 et−a,Fx≥st`emeen`maraeneissuysel0x= 0.

xond’sitii-´equnopserroopenua`denotepgi,cleeltieliminumdm´’nere=0,
libre stable pour le ressort.

4.1.2

´
Equilibre instable - Exemple du pendule

Ep=mgl(1−cosθ)

´ ´
MPSI-2006/2007-M´ecaniqueI-Energiepotentielle-Energiem´ecanique-Proble`mes`aundegr´edeliberte´

Ep

~
F

π

~
F

θ

Comme pour le ressort,θndcorrespo=0d’umne´eem,limineitn,elleigretop
a une position d’equilibre stable pour le pendule.
` ´

Regardonsmaintenantcequisepasseautourdumaximumd’´energiepoten-
tielleθ=π:
δW=Frdr+Fθrdθ=Fθldθ=−dEp

Fθ=−l1θdEdp=−mgsinθ

Entre 0 etπ,Fθ≤0´eloigneysele`tsedemθ=π.
Entreπet 2π,Fθ≥emedtse`lesyussigneaeloi0´θ=π.

θ=π,c,elleitnetopeigeren’´mdmuximalee´uq-iisitno’dd`aunepoorrespon
libre instable pour le pendule.

Damien DECOUT - Derniere modification : janvier 2007

4.1.3

G´ene´ralisation

Ep

~
F

x1

~
F

x2

~
F

x

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Unminimumd’e´nergiepotentiellex1nopsua`dopenitisd’onorrecqu´eibilre
stable:

Eddxpx1 et= 0

dd2Ex2px1>0

Un maximum d’energie potentiellex2cnepod`ausponorreno’disitlibie´uqre
´
instable:

ddExpx2= 0 etdd2Ex2px2<0

SiEm< Ep(x1)srmeeepvesureesltl´,’sceesayh`ptpx >0, on a un´etatde
diffusion.
SiEp(x1)< Em< Ep(x2)es,lreeentfin´ntsocmeeesy`txaetxb, on a un
e´tatlie.
´
SiEm> Ep(x2), on a encor ´tat de diffusi
e un e on.
(Faire3sch´emasdiffe´rents)

´ ´
MPSI-2006/2007-Me´caniqueI-Energiepotentielle-Energieme´canique-Probl`emes`aundegre´deliberte´

4.2 Petits mouvements au voisinage d’une position
d’e´quilibrestable

4.2.1

Exemple du pendule

Ep

Ep=mgl(1−cosθ)
Au voisinage deθ= 0, cosθ'1−θ22
2
Ep'mglθ2
Em=cte1=2m(lθ)˙2+θlmg22⇒0 =ml2θ˙θ+¨mg lθθ˙
θ+¨lθg= 0
Ce que l’on retrouve aussi en faisant sinθ'θ.

4.2.2 Generalisation
´ ´

Une fonctionf(xourdeeˆrteptu)eautpp´eveloed´ex0selon
=f(x0) +Xx
f(x)∞(−n!x0)nf(n)(x0)
n=1

Damien DECOUT - Derniere modification : janvier 2007

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