Devoir Libre N°04: Années précédentes

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MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr `a rendre le mercredi 2 novembre 2011 DEVOIR LIBRE N˚04 `PROBLEME 1 : Polynˆomes de Tchebychev 1. Questions de cours a.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

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Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

a`rendrelemercredi2novembre2011

DEVOIR LIBRE N˚04

`
PROBLEME 1:eohlvPdsemoˆnycybehcTe

1. Questions de cours
a.appelezlRdnoifalee´datinficorcQus.ctonnAiobmelneesstnolesetionefinided´D? Quel
estsonensembledede´rivabilit´e?Donnezl’expressiondesade´rive´e.
b. donnez l’allure de sa courbe estDressez le tableau de variation de la fonction Arccos
repre´sentative.
c.Montrez que pour toutx∈ D (, Arccos−x) =π−Arccos (x).
d.s(corc(Aoscedee´fiilpmisnoieexpressontrezun´Dmex)) et sin(Arccos (x)) pourx∈ D.
2.a.rritomuezEpxopueltr´excos(2x) et cos(3x) en fonction de cos(x).
em
b.´Duqzertnoepourtousr´eelsxety, cos(x) + cos(y) = 2 cos(x2+) cos(x2−).
D´efinition:Soitn∈Ne´nfiO.dntionfoncitlaTn:D →RparTn(x) = cos(nArccos (x)).
3.a.Soitn≥0. CalculezTn(1),Tn(0) etTn(−1).
b.Soitx∈R, on poseg(x) =Tncos(x)−cos(nx). Que vautg(x) lorsquex∈[0 π], Quelle
estlaparit´edegpae´s?odriitic?´e
D´eduisez-enque
Pour toutx∈R Tn(cos(x)) = cos(nx)
c.Montrez que pour toutx∈ D,Tn(−x) = (−1)nTn(xrsqureloeduiend´ovsuev-zpeuo.)uQe
nest pair, lorsquen ?est impair
d.CalculezT0(x) T1(x) T2(xVt´deersiffoenczqueces)o.nnymoaielitnopslonsex.
4.a.onMeztrrtuolee´peuqtruoa, cos(n+ 2)a= 2 cos(n+ 1)acos(a)−cos(na).
b.tu´reeldu´eDotruopeuqne-zesix∈ D;
Tn+2(x) = 2xTn+1(x)−Tn(x)
c.Retrouvez ainsi l’expression deT3, puis calculezT4etT5.
5.Soitn∈N⋆.
a.nqu´eioat´Deuqzertnutolsslel’densioTn(xlee´stnosrsel=0)xk2=n1)π
emo
aveck∈[0 n−1]].cos(2k+,
´
b.Pourx∈]−11[, calculezTn′(xrte)nouati’´eqdrelesouTn′(x) = 0.
6.a.r´uJtleeitsuqzefiopeuotrua
(cos(a) +isin(a))n+ (cos(a)−isin(a))n= 2 cos(na)

b.

D´eduisez-enquepourtoutx∈ D
Tn(x) =x+i

1−x2n+x−i
2

1

1−x2n

Fin du sujet