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MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr `a rendre le mardi 4 janvier 2012 DEVOIR LIBRE N˚07 `PROBLEME 1 : D´enombrabilit´e de N×N (x+y)(x+y +1)21.a.

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Langue Français

Extrait

1.a.

b.

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

DEVOIR LIBRE N˚07

`
PROBLEME 1:mbno´eD´tilibarNede×N

a`rendrelemardi4janvier2012

Justifiez que pour tout (x y)∈N2 (, on ax+y)(x+2y+ 1)∈N.
Onconside`realorsl’applicationf:N×NdansNfinied´erap

2
∀(x y)∈N

f(x y) =y(+x+y)(x2+y+ 1)

Quelquescalculsnum´eriques:
Dansletableaudegauchefigurentquelques´el´ementsdeN2. Portez dans le tableau de
droite les valeurs defroerc.senopstnad
Cesre´sultatsnesontqu’uneindicationpourlasuite.

0
1
2
3
4

0
(00)
(10)
(20)
(30)
(40)

1
(01)
(11)
(21)
(31)

2 3
(02) (03)
(12) (13)
(22)

4
(04)

0
1
2
3
4

0

1

2

3

4

2.a.Etant do ´s (x y) et (x′ y′) dansN2tels quex+y≥x′+y′+ 1, montrez que
nne

f(x y)> f(x′ y′)

b.Ddu´ezesiqne-euf(x y) =f(x′ y′)⇒x+y≤x′+y′, puis que

f(x y) =f(x′ y′)⇒x+y=x′+y′

c.neuqez-seuiedD´fest injective.
3.a.tantdonn(e´Ex y)∈N2tel quex≥1, comparezf(x−1 y et+ 1)f(x y).
b.odtnatEe´nny∈N, comparezf(y+ 10) etf(0 y).
c.Montrez quefest surjective.
Onaainsie´tabliqu’ilexisteunebijectiondeN2surN, on dit queN2.leabbromend´tse
Lasuiteduproble`meapourbutded´eterminerl’ante´ce´dentd’unentierp
4.Montrez que pour tout couple (x y)∈N2,

5.

y+ 1)
(x+y)(x2+≤f(x y)<(x+y+)1(2x+y+ 2)

Etantdonn´ek∈N⋆, on noteS(nsomme des entiers compris entre 1 et) la n.

1

a.

b.

Montrez que pour tout entier non nulp∈N⋆, il existe un entiern∈N⋆, unique tel que

S(n)≤p < S(n+ 1)

Justifiezquel’e´quationd’inconnuex∈R,p=
positive,etuneseule,not´eeα. Montrez alors que

x(x+ 1)
2

α−1< n≤α

admet

c.Dezisdu´eiseuqne-f(x y) =p, alorsx+y=nety=p−S(n).
d.´d:eretee´muuqirploue(nemieczllpnexEmex y) tes quef(x
80001 = 28201a`48−2p.esr`

2

y)

une

=

solution

10000. On

r´eelle

,

donne

Fin du sujet

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