Exercice N°117: Suites numériques

Description

⋆⌊ℓℓℓ⌋⋆⋆⌊⋆⌋ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 Suites num´eriques (I) Propri´et´es fondamentales des suites convergentes 1. Etudiez la monotonie de S. 2. Montrez que S est convergente Exercice 1 : Soit u une suite de nombres entiers relatifs qui converge vers un r´eel . Montrez que u est stationnaire. 3. D´eterminez un encadrement de la limite. Exercice 2 : Soit u = (u ) une suite `a termes strictement positifs. Exercice 8 : ´etude d’une suite r´ecurrente  n n∈N  u =−2 0 1. On suppose que u est convergente de limite nulle. D´emontrez que la suite √ 2u Soit u la suite d´efinie par n ( u ) est aussi convergente vers 0. n  ∀n∈ N,u = n+1 3−u n 2. On suppose que u est convergente de limite ∈ R. D´emontrez que la suite √ √ 1. D´emontrez que u est major´ee par 0. ( u ) est aussi convergente de limite . n 2. Etudiez la monotonie de u. Exercice 3 : Soit (u ) une suite telle que les trois suites extraites (u ), (u ) 3. Conclure `a la convergence de u. n n∈N 2n 3n et (u ) convergent. Montrez que u converge. 2n+1 4. D´eterminez sa limite. Exercice 4 : Exercice 9 : Soit (u ) une suite born´ee de nombres r´eels v´erifiant : n n∈N j k x x+1 1. Montrez que pour tout r´eel x, + = x . ∀n∈ N , 2u ≤ u +u 2 2 n n+1 n−1 p k X n+2 1. Montrez que la suite (v ) de terme g´en´eral v = u −u converge. n n n+1 n 2. Soitn∈ N.Etudiezlasuite(U ) d´efiniepar∀p∈ N, U = . p p∈N p k+1 2 k=0 2. Montrez que (v ) est convergente de limite nulle.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

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• Langue: Français

Extrait

MPSILyc´eeRabelias

t´esri´eamenfonddsseatelseocustintgeernvesporP

Suitesnume´riques(I)

Exercice 1 :Soituseneitredenemorbsquiconvsrelatif´rnuleeegresrevtiusenu
ℓ. Montrez queuest stationnaire.

Exercice 2 :Soitu= (un)n∈Ntisi.fsreta`etiusenupontmeteictrssme
1. On suppose queusenoctgrevteuias.e´Dmenortzeuqleentedelimitenull
(√un) est aussi convergente vers 0.
2. On suppose queuest convergente de limiteℓ∈Rlaueitsuntmozqree´D.e
(√un) est aussi convergente de limite√ℓ.

Exercice 3 :Soit (un)n∈Nune suite telle que les trois suites extraites (u2n), (u3n)
et (u2n+1) convergent. Montrez queuconverge.

Exercice 4 :
1.Montrezquepourtoutre´elx,jx2k+x12+=⌊x⌋.

2. Soitn∈N. Etudiez la suite (Up)p∈Neiape´nfidr∀p∈N

Convergence par comparaison

Exercice 5 :´dseinfiesedetiuspaesr:Eutnvergencdiezlaco
n1
1.∀n≥1,un=k=X1√n2+k
2.∀n≥1,un=n12Xn⌊kx⌋u,o`x∈Rx´e.estfi
k=1

Suites monotones

Up=k=pX0n2k++21k.

Exercice 6 :Etudiez la monotonie des suites
n
1.un=X21k−n3.un= lnnnpourn≥1
k=0
2.un=2nn!+14.un=k=2Xn0(k−)1+1k

Exercice 7 :SoitSfinieed´esuitlarap∀n∈N⋆ Sn=kXn2n1+2k−1
=0

1

1. Etudiez la monotonie deS.
2. Montrez queSest convergente
3.De´terminezunencadrementdelalimite.

Exercice8:e´tuded’unesite´urrente
u rec
Soiturpaiefin´eeditalus∀u0n=∈N−2un+1= 3 2−unun
1.D´emontrezqueurape.0estmajor´e
2. Etudiez la monotonie deu.
3.Conclurea`laconvergencedeu.
4.D´eterminezsalimite.

Semainedu12aoˆut2011

Exercice 9 :Soit (un)n∈N⋆bmonrser´nroedeesuneebiturifiant:´eelsv´e
∀n∈N⋆2un≤un+1+un−1

1. Montrez que la suite (vnemreted)l´erag´envn=un+1−unconverge.
2. Montrez que (vn) est convergente de limite nulle.
Exercice 10 :Onconsid`ereletiusaudrapeinfie´∀n∈N⋆ un4=√nn2nn
1. Montrez queuest croissante.

2.Onde´finitpourtoutn∈Nlasuite auxiliairevn= lnun+1−lnun.
(a)De´montrezque∀x∈R+ln(1 +x)≤x.

(b)Enutilisantunde´veloppementipoceuq´tselenort´dmeezeuq,

n
Xvk≤18
k=1

3.End´eduirequeuest convergente.

Exercice 11 :Soitu= (un)n∈Neerv,slire´tnafiunesuitedenombres
´

De´montrezque

∀n∈N un≤un+3

a ´ee et lim (un+2−2un+1+un) = 0.
uest convergentessiu jorest mn→+∞

Exercice 12 :Soitu= (unitsuenedne)usleelletrbmo´rseeque

1
∀n∈N2< un<1
vparv0=u0et∀n∈N⋆=vn−1+un
Ond´efinitlasuite vn1 +unvn−1.
Montrez que (vn´dtereteenimlaszitime.neetevgrctno)se

Suites adjacentes

Exercice 13 :Soit 0< a < buedtinfie(setiusx.Ond´an) et (bn) par
a0=a b0=b an+1=panbn bn+1=an+2bn
Montrez que les suites (an) et (bn) sont adjacentes.

Exercice 14 :Soit 0< b < acnO.seelessuitonsid`er´ueesmirbqide´iefinarsp
u0=a v0=b
un+vn2unvn
+1=
∀n∈Nun+1=2vnun+vn

1.D´emontrezparre´currenceque∀n∈N vn< un.
2.De´montrezquevest croissante et queuest d´ roissante.
ec
3.(a)V´erifiezque∀n∈N0< un+1−vn+1<12(un−vn)
(b)Ende´duirequelessuitesuetvsont adjacentes.
4.De´terminezlalimitecommunedessuitesuetv.

Exercice 15 : Le nombre irrationneleeinpereab,galodusen´methri
n=Sn+ 1 .
Soit (Sn) et (S′nnfie´pseira)letesdssui∀n∈N,Sn=Xk1,e!tS′nnn!
k=0
1.D´emontrezquelessuitesSetS′imilL.etruesnoctnoevrgentesetdemˆeme
limite commune esteab,llugosademhneratierie´ep´n.
2.D´eduisez-enqueeest irrationnel.

lm´peCmoents

Exercice16:Th´eor`emedeCesaro
´ `
Soit (un)n∈N⋆detimoneuusentls,er´eebresℓ∈R(eia`sscoO.anun) la suite de
sesmoyennesarithme´tiques(vn)n∈N⋆arep´dinfie

n
∀n∈N vn= 1nXuk
k=1

2

1. Montrez que si (unest convergente de limite 0, alors () vn) est convergente de
limite 0
2. Montrez que si (un) est convergente de limiteℓ, alors (vn) est convergente de
limiteℓ
3.Quepensez-vousdelar´eciproque?

´
Exercice17:Etudedes´eries
Soit (anneenumostidue)´reerbsend´els.OlasufinitetiSpar

n
∀n∈N Sn=Xak
k=0

Seealel´peapstsuite des sommes partielles.
1.De´montrezquesiSest convergente, alors (an) est convergente de limite nulle.
2. On suppose dans cette question que (an) = (−1)nbn,ou`(bn) est une suite
d´ecroissantedelimitenulle.Pluspre´cis´ement,on´etudielasuite(Snfiein)´de
par
n
∀n∈N Sn=X(−1)kbk
k=0
(a)De´montrezquelessuites(S2n) et (S2n+1) sont adjacentes.
(b)End´eduirequeSest convergente.
(c) Notonsℓ= limSneremcndalze’tner´emo.D
n→+∞nt|Sn−ℓ| ≤bn+1

Exercice 18 : S´ ie harmonique et constante d’Euler
er
Onconside`relasuite(Sn)n∈N⋆finiepard´e∀n∈N⋆ Sn=n1
Xk.
k=1
On introduit les suites (vn) et (wn)´drespaefini∀n≥2 vn=Sn−1−lnnetwn=
Sn−lnn.
1. Montrez que∀x∈[01] x−x22≤ln(1 +x)≤x.
2.D´emontrezque∀n∈N⋆n1+1≤ln1 +n1≤n.1
3. Montrez que les suites (vn) et (wn) sont adjacentes.
On noteγleur limite commune.γlure.ntta’Eedla´enscoatselepp
4. Montrez que limSn1.
=
n→+∞lnn
On notera cette relationSn∼lnn.
5. Etablissez pour tout entiern≥2, l’encadrement 0≤wn−γ≤.1
n
Pour quelle valeur den0,wn0enavelruparpco´hest-iludeeeγa1`0−2?esr`p