Exercice N°123: Suites numériques

Description

´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 Suites num´eriques (II) Suites classiques Exercice 5 : Soient u et v les suites d´efinies par les conditions initiales u = 1, 0 v = 2 et les relations de r´ecurrence n 0 Y π π Exercice 1 : Soit n≥ 2, on d´efinit u = cos et v = u sin . n n n k n u +3v 3u +v 2 2 n n n n k=2 ∀n∈ N, u = et v = n+1 n+1 4 4 1. Montrez que u est monotone. 1. On d´efinit les suites a et b par :∀n∈ N, a = u +v et b = u −v . V´erifiez n n n n n 2. Montrez que v est g´eom´etrique. que a et b sont des suites g´eom´etriques. 3. En d´eduire l’expression de v puis de u en fonction de n. n n 2. En d´eduire l’expression de u et v en fonction de n. n n 4. Quelle est la limite de la suite u? Suites de r´ef´erence, limites et comparaisons Exercice 2 : Exprimez en fonction de n les suites d´efinies par : Exercice 6 : Etudiez la limite de la suite u d´efinie ci-dessous. √ √ n 2 1. u = 8 et∀n∈ N,n≥ 5, u = 2u 5 n+1 n n +2n+8 n+1− n−1 √ √ 1. u = 3. u = n n n 2 2. u = 3 et∀n∈ N,u = 2u −1 0 n+1 n n −3n+7 n+1+ n−1 n √ 3. u = u = 1 et∀n∈ N, 6u −5u =−u . 1 1 0 1 n+2 n+1 n 2. u = nsin 4. u = 1+ n n lnn n 4. u = 1,u = 2 et∀n∈ N, u = 2u −u 0 1 n+2 n+1 n 5. u = 0,u = 1 et∀n∈ N u +2u =−2u . 0 1 n+2 n+1 n Exercice 7 : D´eterminez un´equivalent de la suite u d´efinie ci-dessous et en d´eduire √ 6. u > 0, u > 0 et∀n∈ N, u = u u . 0 1 n+2 n n+1 sa limite ´eventuelle : √ n n−lnn+4/n 5 7. u = 1 et , u = 2 u 0 n+1 n 2n 1. u = n n 2 3.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

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• Langue: Français

Extrait

MPSILyc´eeRabelias

Exercice 7 :eqn´zunentlevauiimrete´Dustiedaleudesseci-itreendo´uesduefiein´d
salimite´eventuelle:
1.un=n−elnn−nn+24n3.un=5n2+n53n5n
2.un3=n(+nis−n)1+nn−n4.un=√2n+ 1 + lnnsin(1n)

Exercice 8 :Soitueuusene´rctidenaetiossmitedelilequ0telun+1+un∼+∞n.1
Onsouhaitede´montrerqu’encecasun∼21n.
1. Posons pour tout entiern∈N,an=n(un+un+1).
(a) Montrez queate.limisalainezmrete´dteetnegrenvcoste
(b) Montrez que pour tout entiern≥2,an≤2n un≤n−n1an−1.
Concluez !
2.D´emontrezqueleresultatn’estplusvraisilasuiteuplst’enppsosuuse´e
´
de´croissante.
Indication :1(uiasd´teniefiarepsnoce´dilzer−1)n
∀n∈N un=2n+√n.

Exercice 3 :Soient (un)n∈Net (vn)n∈Nssle´esrteuie´dsellerapseinfiu0= 1,v0= 2
etlesrelationsdere´currence:

1.u5= 8 et∀n∈N n≥5 un+1= 2un
2.u0= 3 et∀n∈N un+1= 2un−1
3.u0=u1= 1 et∀n∈N6un+2−5un+1=−un.
4.u0= 1 u1= 2 et∀n∈N un+2= 2un+1−un
5.u0= 0 u1= 1 et∀n∈Nun+2+ 2un+1=−2un.
6.u0>0 u1>0 et∀n∈N,un+2=√unun+1
7.u0= 1 et un+1=√2un

Exercice 2 :Exprimez en fonction denssiuetdse´nfieips:arle

1. Montrez queuest monotone.
2. Montrez quevseiqtr.ue´etg´eom
3.Ende´duirel’expressiondevnpuis deunen fonction den.
4. Quelle est la limite de la suiteu?

Exercice 4 :Soit (unperafieinnne´alod)lted´asuiemesedpronieemerrtu0=−1
etlarelationder´ecurrence:
∀n∈N un+1=u2n+ 2

1. Montrez que la suite (un−vn)n∈Nest constante.
2. Prouvez que (uneuqi.)eetratimhtsnuseiu´eom´etr´etico-g
3. Exprimez pour tout entiern∈Nunetvnen fonctiion den.

∀n∈N un+1= 3un+ 2vnetvn+1= 2un+ 3vn

1. Calculez pour tout entier natureln,unetSn=u0+u1++un.
 
2.Ende´duirequelessuites(un) et (Snnerminezsete´dtevnreegtnso)cont
leur(s) limite(s).

seti´reduSarsinosesctmoape,limiteef´erenc
Exercice 6 :Etudiez la limite de la suiteuuo.sdesseci-efinid´
1.un=nn22−2+3nn+87+n3.un=n√√nn1++1−+√√nn−−11
2.un=√nsinln1n4.un= 11 +nn

1.Onde´finitlessuitesaetbpar :∀n∈N,an=un+vnetb=un−vnfiize.erV´
queaetbnodtsitesessum´etg´eo.seuqir
2.Ende´duirel’expressiondeunetvnen fonction den.

∀n∈Nn+1=un43+vnetvn+3un+vn
 u1=4

Exercice 5 :Soientuetvestialelssiefinarspteui´esdnoitiniscselidnou0= 1,
v0=2edsreitnoeralltseceenrrcu´e

vn=unsin2πn.

Suites classiques
n
Exercice 1 :Soitn≥itfin´end2o,un=Ycos2πk
k=2

et

Suitesnume´riques(II)

1

Semainedu12aoˆut2011

Suites recurrentesun+1=f(un)
´
Exercice 9 :Soituuenvee´ustintlarifiationrelaredrucecnere
´
∀n∈N un+1=un+u1n

1. Demontrez que la suite est divergente.
´
2.De´montrezquelasuiteuest divergente vers±∞.

Exercice 10 :Soitue´nfitidereiapsulau0=a∈R+⋆et la relation :
∀n∈N un+11+2(+3=uunn)

1. Montrez queuefid´e.nitrictemeestsevteibnetnopisit
2. Montrez que∀n∈N|un+1−1| ≤21|un−1|etd´eneuqes-zdeiu
∀n∈N|un−1| ≤12n|a−1| !. Concluez

Exercice 11 :sulae(itutE´zeidun)n∈Nfieinperad´u0arelation:3=e2lt
∀n∈N un+121=un+u1n

Exercice 12 :ieudEt´ofcn,zneeditnoa∈R+⋆, la suite (un)n∈N
u0=a >0 et la relation :∀N un+11
=
n∈1 +un.

d´efiniepar

oidnTuFApAlpcitasetnerruce´rsetuissdedetu´el’`a
Exercice 13 :Soitf:R→Radpner´ntficeoiifanol∀x∈R f(x 3) =π√3cosx
On etudie la suite (undee´d)arepniefi´enndolau0=a∈Ret la relation de
´
recurrence
´
∀n∈N un+1=f(un)
1. Montrez queπ6 est un point fixe def.
2.De´montrezque∀n∈Nun+1−π6≤3√π3un−6π
3.End´eduirequelecomportementasymptotiquedelasuite(un).

Exercice 14 :Soitfepniefid´aralnoitcnoff(x ln() =xx) + 1
1. Etudiez la fonctionf.Voumbsedeleefid´tini´rpssicezerene’l,nod,cenoituntie´
ded´erivabilite´.Tracezl’alluredesarepre´sentationgraphique.
2.Re´soudrel’e´quationf(x) =x.

2

3. Soit (xn)n∈Niusa´detlmeeitrreedmesenorpladonn´eefinieparx0= 2, et
parlarelationder´ecurrence∀n∈N xn+1=f(xn).
(a) Etudiez sur [0+∞[, la fonctiong:x7→(x+x1)2:euqeriude´d.En
∀x∈]1+∞[0≤f′(x)≤.14
(b)V´erifiezque:∀n∈N|xn+1−1| ≤41|x−1|
n
(c)End´eduireque:∀n∈N|xn−1| ≤1nrifie.V´e(qzeuxn)n∈N
4
converge et donnez sa limite.

iuSnfie´dsetetictnemiseiilpm
Exercice 15 :Oonncuoris`drepen∈N⋆npolynomafonctioltoutruopeinfie´delai
x∈Rpar :
pn(x) =xn+xn−1+  +x−1
1.Ene´tudiantlafonctionpolynomialepnnuqieu’elleposs`edeune,me´drtnouqze
racinepositivenot´eeun.
2.De´montrezque∀n∈N⋆,pn(un+1)<rileeed´auldidtsnvoesreanaei.End0
suite (unntre´emo)etdegrevnocelle’uqz.
3. Simplifiez l’expression depn(x) pourx6tend´edu=1emiladetizesilne-ael
suite (un).

Exercice16:D´eveloppementasymptotiqued’unesuiteimplicite
1. Soitn∈N⋆Montrezquel’´equtaoin.x3+nx= 1
admetuneuniqueracinere´elle.Onnoteuncette unique solution.
2.Montre.’end´eduisez-vous?
z que∀n∈N⋆0≤un≤n1Qu
3. Montrez successivementun=n1+o1n, puisun= 1n−n14+on14.

(En)

Exercice17:D´eveloppementasymptotiqued’unesuiteimplicite
1. Montrez que pour tout entiern∈N⋆eli,tsixunueniquer´eelxnstrictement
positif tel quexnn+xn−1 = 0.
2. Montrez que la suite (xn)n∈N⋆fin´eesierotcsaisiadisnttnetnee1s.vdre
3. On posehn= 1−xn. Montrez que lnhn∼ −lnn.
4.End´eduireun´equivalentdexn−1.

Correction des

Exercice 1 .—1. Soitn∈N. On a 0≤un+1= cos(π2−n)×un≤un. La suite
(uncr´essoitean.)sedt
2. Soitn∈N.On avn+1=un+1sin(π2−n−1) =un×cos(π2−n−1)×
sin(π2−n−112)=unsin(π2−n) =v2nequeons´asuint,let(craP.vn) est
geome s
´ ´trique de rai on21.
3.Onend´eduitque∀n∈N vn=2nv2−2=2n1−1, puis que
1n
∀n∈N un=−n2)=πsi(π(π2)2n)
2n−1sin(π2 n

4. Posonshn=2πn−−−→0. En composant avec sinh∼h, il s’ensuit que
n→∞
π
un∼2 .N

Exercice 2 .—1.u5= 8 etun.2sino´etr´eomderaiquegtse
2.u0= 3 et∀n∈N un+1= 2un−1.uique.e´moe´rte´itocg-iusenutsmhtiraete
resoutlonsfints(xeuanoiopxqe´’itauP F)⇐⇒r= 1.
´
la suite (un−quedetrieom´stg´1e):2nosiareun−1 = 2n(u0−1) = 2n+1.
D’o`uun= 1 + 2n+1.
3.u0=u1= 1 et∀n∈N6un+2−5un+1=−un. (un) est une suite RL2.
O´tso´el’atqucnoicarare´titsi
n re u que :



(EC) 6r2−5r+ 1 = 0

Δ = 25−24 = 1>0, donc (EC) a deux racines distinctesr1=1e2t
1
=
r23 .
Il existe (λ )∈R2tel que

∀n∈N un=λ 
2n+3n

nemi(d´Oneretλ deseocdn`)laa’diitiales:itionsin
1 =λ3λ++2⇐⇒−3 =
6 = 4 =λ

Finalement
∀n∈N un42=n−33n
4.u0= 1 u1= 2 et∀n∈N un+2= 2un+1−un. (un) est une suite RL2.

3

exercices

il existe un couple (λ )∈R2unique