Exercice N°129: Dimension finie

Description

⋆⋆⋆⋆⋆⋆ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 Espaces vectoriels de dimension finie Sous-espace vectoriel de dimension finie 2. Soit, pour tout couple de r´eels (a,b), M(a,b) la matrice :   Exercice 1 : Soient F et G deux s.e.v d’un K-espace vectoriel de dimension finie a−b a b   n∈ N . Montrez que si dim F +dim G>n, alors F∩G contient un vecteur non a a+b a K K M(a,b) = nul. b a a−2b 2 On note F l’ensemble des matrices M(a,b) : F ={M(a,b), (a,b)∈ R }. Exercice 2 : Soit E un espace vectoriel de dimension finie n ∈ N . On appelle hyperplan deE tout sous-espace vH qui est le noyau d’une forme lin´eaire Montrez que F est un espace vectoriel de dimension finie et calculez sa di- non nulle sur E. mension. D´emontrez que les assertions suivantes sont ´equivalentes : 3. Montrez queE etF sont isomorphes et proposez un isomorphisme deE dans ~ F. w • H est un hyperplan de E w w • H est de dimension n−1 w Familles de vecteurs en dimension finie • H est le suppl´ementaire d’une droite vectorielle de E Exercice 8 : Soit E un espace vectoriel de dimension n et (f ,f ,...,f ) une fa- 1 2 n Exercice 3 : Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie sup´erieure `a 2. Soient mille de formes lin´eaires de E. On suppose qu’il existe un vecteur ~x∈E, non nul, ~ H et H deux hyperplans distincts de E. D´eterminez la dimension de H ∩H . tel que∀i∈ [[1,n]], f (~x) = 0 . Montrez que la famille (f ,f ,...,f ) est li´ee dans 1 2 1 2 i E 1 2 n E .

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

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• Langue: Français

Extrait

MPSILyc´eeRabelias

Sous-espace vectoriel de dimension finie

Espaces vectoriels

Exercice 1 :SoientFetGdeux s.e.v d’unK-espace vectoriel de dimension finie
n∈N⋆. Montrez que sidimKF+dimKG > n, alorsF∩Gcontient un vecteur non
nul.

Exercice 2 :SoitEun espace vectoriel de dimension finien∈N⋆. On appelle
hyperplandeEtout sous-espace vectorielHyoneltsefenu’duauiqlin´ormeeeair
non nulle surE.
D´trezquelesassertionssuivantessont´equivalentes:
emon
~•Hest un hyperplan deE
•Hest de dimensionn−1
w•Hstelvleecdtooriiteenedreed’uatrimenepp´lelusE

Exercice 3 :SoitEunKtoecevacdideelrifinoisneme´puseine-psrieure`a2.Soient
H1etH2deux hyperplans distincts deEe´D.mretzeniidaleoidnemsnH1∩H2.

Exercice 4 :On se place dansR3mrete´D.nstueeasebunezintniaeredpulpe´ems
sous-espaces vectoriels suivants :
1.F=VectR(uv~`u),o~u= (110) etv~= (211).
~
2.F=Vect(~u~v~wu),o`~u= (−110),~v= (201) etw~= (111).
3.F={(x y z)∈R3|x−2y+ 3z= 0}.

Exercice 5 :On se place dansR4rseuctveeselerd`isnocnO.u~1= (1010),
u~2= (01−10),u3= (1111),~u4= (0010) et~u5= (110−1). Soit
~
F=Vect(~u1~u2~u3) etG=Vect(~u4~u5). Quelles sont les dimensions de
F G F+G F∩G?
−1
Exercice 6 :SoitA=01100210eeris`dcnnoO.E={M∈ M3(R)|AM=
M A}. Montrez queEest un sous-espace vectoriel deM3(R´dtereteenimasz)
dimension.

Exercice 7 :
1.Onconsid`erel’ensembleE={(x y z t)∈R4|x+y−z+t et= 0x=y}.
Montrez queEest un espace vectoriel de dimension finie et calculez sa di-
mension.

de dimension

1

finie

Semainedu12aoˆut2011

2.Soit,pourtoutcoupledere´els(a b),M(a b) la matrice :
a−b a
M(a b) =aab+aba−ba2b

On noteFl’ensemble des matricesM(a b) :F={M(a b)(a b)∈R2}.
Montrez queFest un espace vectoriel de dimension finie et calculez sa di-
mension.
3. Montrez queEetFsont isomorphes et proposez un isomorphisme deEdans
F.

Familles de vecteurs en dimension finie
Exercice 8 :SoitEun espace vectoriel de dimensionnet (f1 f2     fn) une fa-
milledeformesline´airesdeE. On suppose qu’il existe un vecteurx~∈E, non nul,
tel que∀i∈[1 n]],fi(x~) =~0E. Montrez que la famille (f1 f2     fnsneeadlt´i)es
E⋆
.
Indication :E⋆=L(EK) est de dimensionn.

Exercice 9 :SoitEunK-espace vectoriel de dimensionn∈N⋆, etfun endomor-
phisme nilpotent non nul deE. Soitple plus petit entier tel quefp= 0.
1. Montrez qu’il existex~∈Etel que la famille (~xf(~x)     fp−1(x~)) est libre.
2.End´eduirequefn= 0.

Exercice 10 :SoitEunK-espace vectoriel de dimension finien∈N⋆etf∈ L(E)
un endomorphisme tel qu’il existe un vecteurx0∈E, pour lequel la famille
~
~x0 f(x~0)     fn−1(x~0)est une base deE. On noteC={g∈ L(E)|g◦f=f◦g}.
1. Montrez queCest un sous-espace vectoriel deL(E).
2. Observez queC={a0IdE+a1f+  +an−1fn−1(a0     an−1)∈Kn}.
3.De´terminezladimensiondeC.

seriidneilsnae´niefinsnsmensiopAtaoilpci

Exercice 11 :SoitEunK-espace vectoriel de dimension finien. Soientuetvdeux
endomorphismes deEtels que

E=Imu+Imv=Keru+Kerv

Montrez queImuetImvd’une part, etKeru
suppl´ementairesdansE.

etKervd’autre part, sont

Exercice 12 :SoitEunK-espace vectoriel de dimension finienetfun endomor-
phisme deEertn´’lziuqeelavenc.Mo

Kerf=Imf

⇐⇒

f2= 0 etn= 2Rgf

Exercice 13 :SoitEunK-espace vectoriel de dimension finie etfun endomor-
phisme deEseqzeuelas.oMtneruissntvaerssontiaviutnelnossqe´t
iImfetKerf l´mentairessont supii E=Kerf+Imf
p e
iiiImf2=Imf ivKerf2=Kerf.

Exercice 14 :SoitT:Rn[X]→Rn[Xnd´efiniepar:]’lpalpcitaoi

∀P∈Rn[X] T(P)(X) =P(X+ 1)

Montrez queTest un automorphisme deRn[X].

Exercice 15 :SoitEun espace vectoriel de dimension finie 3 et (~e1e~2e~3) une base
deEeinfi:rapriaee´deis`dreleO.cnnotionlin´’applica
f(~e1) = 2e1+e~2
~
f(e~2) =e~1+ +e3
~
f(~e3) = 4~e1+~e2+ 2e3
~
1. Soitx=x1e~1+x2~e2+x3~e3. Calculezf(~xonrdeen´s)neofcnitnoedcsoo
~
de~xdans la base (e~1e~2 ~)
e3.
2.D´eterminezlenoyau,l’imageetlerangdef.

Exercice 16 :SoitE=Rn[Xmoepoutnˆlyuinqto`acilpoitaΦ]pa’lP
associelepolynˆomeΦ(Prapinfie´d)

Φ(P) =P(X+ 1)−P(X)

deRn[X]

1. Montrez que Φ est une application lineaire deRn[X] dansRn−1[X].
´
2.De´terminezlenoyaudeΦ,ende´duiresonrangetsonimage.

Exercice 17 :SoitEun espace vectoriel de dimension 2 etvun endomorphisme
deE. On suppose que
••(vv6=−IddIEE)2= 0
1. Montrez quevest un automorphisme deEet exprimezv−1en fonction dev
etIdE.
2. (a) Montrez queIm(v−IdE)⊂Ker(v−IdE)
(b)End´eduireenraisonnantsurlesdimensionsque

Im(v−IdE) =Ker(v−IdE)

2

Exercice 1 .—Utilise leauqsedemnemidertsonsie´hte`ro

Correction des

N

Exercice 2 .—•siHlemre´nieriannonleuletsepprnuyhIlexlan.unfoiste
f:E→Ktelle queH=Kerftesleulnn.oCmmueenformelin´eaireno
surjective, laformule du rangdonnedimE=dim Kerf+dim Imf, soit
dimH=n−1.
•SiHest un s.e.v. deEde dimensionn−1.Hposs`lpe´emtndieaueersnpuD.
De plusDest de dimensionn−(n−1) = 1. Ainsi,Dest une droite vectorielle.
•SiHleleirotcevetiorded’unairementpl´esepuseltD:

E=H⊕D

Soitp:E→Dlaarojprtiecdeonnie´iaerniudtipel’applicationlEsurD, pa-
ralle´lement`aH. D’autre part, commeDest de dimension 1, elle est isomorphe
a`K. Soitϕ:D→Kun isomorphisme deDsurK. Posonsf=ϕ◦p:E→K.
fmmeelletedee´sopmocCos.onticalippsaeirecommestlin´eafuesrvalase`t
dansKitd’s’ag,ilefunmeorn´liireaeD.esulpmoc,emϕest injectif, on a pour
tout vecteur~xdeE,

f(x~) = 0⇐⇒ϕ(p(x~) = 0⇐⇒p(x~) =~0E⇐⇒~x∈Kerp⇐⇒x~∈H

Ainsi,Kerf=H.

N

Exercice 3 .—Soitn=dimKEl’exr`esD’ap.t,nede´ce´rpecicreH1etH2sont de di-
mensionn−ladimd´etermi.1oPruisneednoH1∩H2, appliquons leTh`or´e
nereme
des quatre dimensions:

dimK(H1+H2) +dimK(H1∩H2) =dimKH1+dimKH2

Montrons que l’hypoth`H6=H2, entraˆıne queH1+H2=E.
ese1
En effet,H1+H2est un s.e.v deEqui contientH1. Ainsi,H1+H2est de dimension
finien−1 oun.
SidimH1+H2=n−1 =dimH1, commeH1⊂H1+H2qeeurne´ustlle,i
H1+H2=H1ubdoartpusclinlea`noiuicondui,ceqH1=H2, ce qui est absurde.
Parconse´quent,dimH1+H2=n=dimE. Comme de plusH1+H2⊂E, il en
´ lte queE=H1+H2. La formule des quatre dimensions donne finalement
resu

n+dim(H1∩H2) = (n−1) + (n−1)

d’ou l’on tire,dimK(H1∩H2) =n−2.

N

Exercice 4 .—eP´eteourderunrmin´lmeuspprideneatFdohttseel,e´masulai-
vante :
•Trouver une base (e~1~ep) deF.
•esabettecrete´lpComdeFen une base deE.pssoojruttuo’Csespr`eed’asibl
leiecnmolpe`eth´eor`emedelabasT:

~ ~ ~

~

3

exercices

•

En ce cas,G=Vect(u~p+1~uneridee)suppstunental´emF.

1.~uet~vengendrentFetaussiunslofmrneaerisei,ntnossli´nilocnomeom.C
famille libre deEqu´et(enraP.snoc~~uv) est une base deF.
Compl´etons-l`aenunebasedeEeicservoenmtic`uonsduorntcehrehcsuoN.
~wtel que (u~w~v~) soit une base deR3. Prenons~w= (100). Alors la famille
(v~uw~~(onobtientunsyste`emrtaignluiaer)ltseerbigaidstneicffieoca`xauon
nonnulsenlev´erifiant).Commellecomptele”bon”nombred’e´l´ements,
c’est une base deR3. Finalement la droite vectorielleG=Vect(~w) est un
suppl´ementairedeF.

2. La