Exercice N°131: Déterminants, applications

Description

⋆⋆ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 D´eterminants a a a ··· a Propri´et´es des d´eterminants 1 2 3 n a a a ··· a 1 1 2 n−1 Exercice1: SoitE unR-espacevectorieldedimensionfinieetf unendomorphisme . . . . . . . . n 2 . . 2. Δ = . . , ou` (a ,a ,...,a )∈K de E v´erifiant f =−id . Montrez que dim E est pair. E R n 1 2 n . . . . . . a 2 Exercice 2 : Montrez qu’une matrice carr´ee antisym´etrique d’ordre impair n’est a a a ··· a 1 1 1 1 pas inversible. a 0 0 ··· 0 0 0 · a Exercice 3 : Soit M une matrice carr´ee d’ordre n. On suppose que M est de rang 0 0 a 0 3. Δ = ou` a∈K strictement inf´erieur `a n−1. Montrez que sa comatrice est nulle. n . . . . . · a · . Exercice 4 : Soit Φ∈L(R [X]) d´efini par 0 a 0 ··· 0 n Z x+1 ] ˜ ∀P ∈R [X],∀x∈R, Φ(P)(x) = P(t)dt. n Exercice 8 : Calculez les d´eterminants d’ordre n∈N suivants, en ´etablissant une x relation de r´ecurrence : Calculez le d´eterminant de Φ. Est-ce un automorphisme de R [X]? n 2a a 0 ··· 0 0 1 ··· 1 . . . Exercice 5 : Soit T : M (R) → M (R) l’application qui `a toute matrice carr´ee n n . . . . . a 2a . . . . . . . d’ordre n associe sa transpos´ee. Calculez le d´eterminant de T. . . −1 . . . . . . . 1. Δ = 2. Δ = , n n . . . 0 0 . . . . . . . . . 1 . . . . Calculs de d´eterminants . . . . . . . .

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

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Extrait

MPSILyc´eeRabelias

d´etsdesnantermisorP´irpe´te

D´eterminants

Exercice 1 :SoitEunR-espace vectoriel de dimension finie etfun endomorphisme
deEverifiantf2=−idE. Montrez quedimREest pair.
´

Exercice 2 :esn’trtzeMnoecartricnemaqu’uirte´mysitnaee´rirpaimrerd’oedqu
pas inversible.

Exercice 3 :SoitMe´deo’drerunematricecarrn. On suppose queMest de rang
strictementinf´erieur`an−1. Montrez que sa comatrice est nulle.

Exercice 4 :Soit Φ∈ L(Rn[Xpira]d)e´nfi
]x+1˜
x) =Zx
∀P∈Rn[X]∀x∈RΦ(P)(P(t)dt
Calculezlede´terminantdeΦ.Est-ceunautomorphismedeRn[X] ?

Exercice 5 :SoitT:Mn(R)→ Mn(Rplapl’)nqioatictuota`iuecirtamecarr´ee
d’ordrene.elcCaezuld´lereteanimedtnasscoeiasrtnapssoT.
´

reim´dtesledlaucsnCant

Exercice 6 :itcnofne,zeluclaestr`eamarspdeonCa b c deldse´et,sui-rminants
vants(vousexprimerezlesr´esultatssousformefactoris´ee):

0a b
1. Δ =a0c
b c0

1 1 1
2. Δ =a b c

a2b2c2

a a a a c a b c
4. Δ =a b b b5. Δ =bccbac
a b c c c a
a b c d c b a c

1 1 1
3. Δ =a b c
3
a3b c3

a c c b
6 Δ =cabcbc
.
a c
b c c a

Exercice 7 :etsd’ordretmrninazeeldse´Caullcn∈N⋆suivants, en utilisant les
proprie´t´esdud´eterminant:
S1S1S1  S1
S1S2S2  S2k
1. Δn=S1S2S3  S3,`ou∀k∈[1 n]] Sk=Xi
.
.i=1
. . ...
S1S2S3  Sn

1

Semainedu12aoˆut2011

a1a2a3  an
a1a1a2  an−1
2. Δn=........u(o`,a1 a2     an)∈Kn
.
.
..a2
a1a1a1  a1
a0 0  0
0 0a
3. Δn= 0 0au0o`a∈K
.a.
0a0  0

Exercice 8 :ete´dselzeluclaCdred’orantsrminn∈N⋆lbatassinutnenee´tn,siuavs
relationder´ecurrence:

0 1  1
. .
.
1. Δn=−1 . . . .
. .
. . . . 1
.
−1 −  1 0

2a a0  
. .
. .
a2a. .
2 . . . . .
. Δn . .= 0 . .
. . .
. . .
.. . .
0  0a

a+b b  b
. .
3. Δn=a. . . ..
.
.. . . .b
.
a  a a+b

0
.
0 ,
a
2a

Exercice9:D´eterminantdeVandermonde
Ond´efinitpourtoutn-uplet (x1 x2     xn)∈Kn
1x1x21  xn−1
1
1x2x22  xn2−1
V(x1     xn) =. . . .
. . . .
1xnxn2  xnn−1
1. CalculezV(x1     xntedue)´ndse´eprroeti´ntiasple
V(x1     xn−1 x).

la

fonction

x

→

2. Soient (a1     ansces)dsdreaialdaueue`xitcndxsi(tsetb1     bn) des sca-
lairesquelconques.Montrezqu’ilexisteunpolynoˆmeP∈Kn−1[X], unique,
tel que
∀i∈[1 n]] P(ai) =bi

stnaete´nimrnsiosddeplApatic
Exercice 10 :DansR3sur,euqinonetcevseleparent´secasabaoiru~= (−124),
v~= (317) et~w= (2−2 ? est-elle directe ?1) forment-ils une base

Exercice 11 :Soitfm∈ L(R3reprriceamatontlvietntae´es)demsihpromodne’l
m2
dans une baseBestA=11m3+m1 0m1u`o,m∈R.
Pour quelles valeurs dem,fmest-il un automorphisme deR3?

Exercice 12 :Soit (a b c d)∈K4ux`a,dedistdeuxtcni´R.suoselerdysesemt`e

x+y+z= 1
ax+by+cz=d
a2x+b2y+c2z=d2

Exercice 13 :SoitP∈R[Xie´re´fnueir´uoraleg`a]unpolynˆomededegn−1. Soit
x∈R. Montrez que

P(x)
P(x+ 1)

.

P(x+ 1)

     P(x+n)
P(x+n+ 1)

.
P(x+n)P(x+n+ 1)     

= 0
.
.
P(x+ 2n)

Exercice 14 :SoitEunRsebaneectoacev-esp`euaro´tarppirleBetf
l’endomorphismerepresente´par
´
MB(f) =A=−32−26−36
2−2−2

1. Pour quelles valeurs deλ∈Ra-t-on Det(A−λI3) = 0 ?
2.D´eterminezunebaseC= (ǫ~1ǫ~2ǫ~3) telle que
MC(f) =020004001

∈ L(E)

2

nallsuoeMecsi
Exercice15:Polynoˆmecaracte´ristique
1. SoitA∈ Mn(Kedetiquerisact´racemoˆnylopeL.)Apirae´nfisedt

∀λ∈K χA(λ) = Det(A−λIn)

(a) sineuqzefi´eri=2,vχA(λ) =λ2−Tr(A)λ+ Det(ATu(ro`),A) =
a1 1+a22est la somme des coefficients diagonaux deA

Nb :Tr(Aeelapel´)eapsttracedeA.
(b)D´eterminezlepolynˆomecaracte´ristiqued’unematricetriangulaire.
(c)Justifiezquelepolynˆomecaracte´ristiqueestunpolynoˆme.Pre´cisezson
degre´,soncoefficientdominantetsoncoefficientconstant.
(d) Montrez que le coefficient deλn−1est (−1)n−1Tr(A).
(e)Montrezquedeuxmatricessemblablesontmeˆmepolynoˆmeca-
racte´ristique.

2. Soitfun endomorphisme deKnnonaeuqicmetairecci´e`aunmentasso
A∈ Mn(K).
D´efinition:Un scalaireλ∈Kest unevaleur propredef(ou deA) si
~
Ker(f−λId)6={0}.
Lee´isue-osssocpreaeprospacorpruelavala`eprλest alorsEλ(f) =
Ker(f−λId).

(a) Montrez que pour toutλ∈K,

λest une valeur propre defsi et seulement siλest racine du
polynˆomecaract´eristiqueχA.
(b)De´terminezlesvaleurspropresetlessous-espacespropresdel’endomor-
phisme canoniquement associe a
´ `
1111−11−11
A=11−−11−11−11

Exercice 6 .—

Exercice 10 .—

Exercice 15 .—

Correction des exercices

3