Exercice no Enoncé Les allumettes

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CRÉTEIL 1 CRÉTEIL Exercice no 2 Enoncé Les allumettes Des allumettes En disposant des allumettes de longueur identique sur une surface plane, on réalise petit à petit la figure suivante constituée de carrés : Première rangée Deuxième rangée Troisième rangée Quelle rangée est-on en train de construire lorsque l'on pose la 100ème allu- mette ? Lorsque l'on pose la 2006ème allumette ? Solution Approche calculatrice par A. Guillemot Toutes les rangées sont formées d'un nombre impair de carrés, ainsi la rangée n contient 2n? 1 carrés. On appelle Sn le nombre d'allumettes nécessaire pour réaliser n rangées. Pour réaliser la rangée suivante qui contiendra 2n+ 1 carrés, il faut : 8 allumettes pour faire les carrés des extrémités. 2n? 1 allumettes pour réaliser les côtés horizontaux. 2n? 2 allumettes pour réaliser les côtés verticaux.

• bulletin no


• bulletin vert de l'apmep


• exercice no


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• angle


• théorème de pythagore au triangle npb


• pp ?2

Sujets

• List of recurring characters in Star Trek: Deep Space Nine
• Parisot

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Extrait

CRÈTEIL

CRéTEIL

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o Exercice n2 Enonce Les allumettes Des allumettes En disposant des allumettes de longueur identique sur une surface plane, on rÉalise petit À petit la figure suivante constituÉe de carrÉs :

Ème Quelle rangÉe est-on en train de construire lorsque l’on pose la 100allu- Ème mette ?Lorsque l’on pose la 2006allumette ?

Solution Approche calculatrice par A. Guillemot

Toutes les rangÉes sont formÉes d’un nombre impair de carrÉs, ainsi la rangÉe ncontient2n−1carrÉs. On appelleS n le nombre d’allumettes nÉcessaire pour rÉalisernrangÉes. Pour rÉaliser la rangÉe suivante qui contiendra2n+ 1carrÉs, il faut : 8allumettes pour faire les carrÉs des extrÉmitÉs. 2n−1allumettes pour rÉaliser les cÔtÉs "horizontaux". 2n−2allumettes pour rÉaliser les cÔtÉs "verticaux".

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Olympiades acadèmiques - 2006

On peut donc dire queS n+1 =S n + 8 + 2n−1 + 2n−2. D’oÙS n+1 =S n + 4n+ 5ou bienS n =S n−1 + 4(n−1) + 5

Il suffit de construire la table de valeurs de la suite(S n )pour rÉpondre au problÈme.

Utilisation du mode "seq" de sa calculatrice. On entre la suite(S n )sous la formeS n =S n−1 + 4(n−1) + 5 dans l’ÉcranY=

On demande la table de valeurs par la commande TABLE et on la fait dÉfiler pour obtenir la rÉponse À nos questions.

Conclusion. Ème Ème La 100allumette sera utilisÉe dans la construction de la 7rangÉe et la Ème Ème 2006 allumettedans la construction de la 31rangÉe.

CRÈTEIL o Exercice n3 Enonce Le parchemin

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Sur ce parchemin ne figurent qu’un carrÉ, trois segments et trois indications de \ longueur. DÉterminer l’angleAP D. On pourra construire l’image de cette figure par la rotation de centreAd’angle o 90 quitransforme le pointBen pointD.

Solution 1 Solution proposÉe par Dominique Roux Inspecteur GÉnÉral Honoraire de mathÉmatiques

Elle suit le conseil de l’ÉnoncÉ, À cela prÈs qu’il n’est pas utile de considÉrer toute la figure.

0 Soit la rotationR(A, B→D), etPl’image de P. 0 0o \ D’une part,AP=AP, etP AP= 90. D’oÙ √ 0 0o \ P P2= 2(etAP P= 45). 0 D’autre part,P D=P B. = 6.

0 La construction du triangleDP Ple fait conjecturer rectangle enP. Etudions cela : 02 202 P D= 36etP D+P P= 4 + 32 = 36. 02 2020 DoncP D=P D+P Pet le triangleDP Pest rectangle enP.

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Olympiades acadèmiques - 2006

\ \ \ 0 0 DÈs lorsAP D=AP D+DP P o o = 45+ 90 o = 135. Remarques, par Henri BAREIL Le conseil de l’ÉnoncÉ provient sans doute de la volontÉ d’associer ÀP A,P B, P Dun triangle dont les cÔtÉs s’expriment simplement en fonction de ces trois longueurs, donc constructible. La rotationRen conserve deux et Établit facilement une mesure de cÔtÉ liÉe À la troisiÈme longueur).

Qu’advient-il si les mesures dePA, PB, PDne sont plus 2; 4; 6(ou des nombres proportionnels tels 1; 2; 3, plus simples!) ou si le triangleABD cesse d’tre rectangle ou isocÈle?

Le Bulletin vert de l’APMEP proposera un article lÀ-dessus.

Notons tout de suite que : ❦ 1 LecasAB=ADrelÈve de la mme rotation que ci-dessus, quel que soit \ l’angleBAD(angle de la rotation). ❦ 2 LecasAB6=ADfait remplacer la rotation par une similitude. ❦ \ 3 Avecces mÉthodes, la clÉ de la « dÉtermination » deAP DrÉside dans la 0 construction du triangleDP P. ce qui pose deux problÈmes :

3.1 le choix deP A,P B,P D! Il faut pouvoir? Nonpeut-il tre arbitraire 0 construire le triangleP PD! \ \ 0 3.2 Laconstructionde ce triangle « dÉtermine »P PD, doncAP D. Elle permettait À un candidat de CrÉteil de conjecturer un angle droit \ 0 pourDP P,. . . etde le dÉmontrer pour obtenir une « valeur exacte » (en 0 \ \ degrÉs ou radians) des deux anglesP PDetAP D. Mais ce cas est trÈs AB \ particulier : il exige, par exemple avecBADet le rapportd’abord AD connus, un choix en consÉquence deP A,P B,P D.

Donner une « valeur exacte » ne serait gÉnÉralement pas possible. Dans 0 \ \ la plupart des cas, chercher À « dÉterminerDP PetAP Den degrÉs ou radians » ne se fera qu’avec des valeurs approchÉes obtenues, si l’on veut les calculer, par l’usage des formules liant angles et cÔtÉs d’un triangle (avec une calculette de prÉfÉrence, pour une « bonne » approximation;. . . ). ❦ 4 CeproblÈme n’est pas sans rappeler celui de la «fort triangulaire», problÈme venu de la revue suisse francophone « MATH-ECOLE », apparu o dans le Bulletin n456 avec, notamment,une solution « II.7 » adaptable ici quel que soit le triangleABDet dont l’idÉe-clÉ structure aussi la

CRÈTEIL

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solution 4 (Cf. son thÉorÈme implicite sur le lieu des pointsMtels que M E =k,EetFfixes etkconstant. M F

Solution 2 (Henri Bareil) o (Solution dÉveloppÉe dans le Bulletin de l’APMEP n469 ou 470).

\ Il s’agit d’abord de « dÉterminer »AP Ben le construisant : Partons deParbitraire. Les pointsD,A,Bsont respectivement sur les cerclesδ(P; 2),α(P; 4),β(P; 6). o SoitAarbitraire surα.Best l’image deDdans une rotation(A; 90). Il est donc l’un des points communs Àβet À l’image du cercleδdans cette rotation. Etc.

1 Solution 3 (FranÇois Parisot) SoitABCDun carrÉ avec le pointPcorrespondant À l’ÉnoncÉ. On appelleMle projetÉ orthogonal deDsur(AP)etNcelui deBsur(AP).

Dans le triangle rectangleM P Don poseP M=aetDM=b, on a la relation : 2 2 a+b= 4. Les triangles rectanglesADMetBANsont isomÉtriques. (hypotÉnuses de \ \ mme longueur etDAM=ABN). CommeAN=DM, on en dÉduit queP N= 4−b CommeAM=BN, on aBN= 4 +a. Appliquons le thÉorÈme de Pythagore au triangleN P B. 2 2 (4−b) +(4 +a36) = 2 2 En dÉveloppant cette expression et en tenant compte du fait quea+b= 4 on obtient la relationa=b. 1 Solution proposÉe par FranÇois Parisot du lycÉe du LÉon À Landivisiau (29) lors des journÉes de l’APMEP de Clermont-Ferrand.

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Olympiades acadèmiques - 2006

o \ Donc le triangleM P Dest rectangle-isocÈle. On a doncDP M=45 . o \ Il en rÉsulte que l’angleAP Dmesure 135.

Solution 4 (A. Guillemot) Approche Cabri. En voici la trame(rendez-vous dans la brochure pour le texte complet) 1.En utilisant les barycentresM(A; 3); (B; 2)etN(A; 3); (B;−2). Pest sur le cercleΓde diamÈtre[M N]. 0 De mme,Pest sur le cercleΓde diamÈtre[KJ], avecKbarycentre de(A; 1), (D; 2)etJbarycentre de(A; 1),(D; 2). Les deux cercles se coupent en deux points dont l’un,P, est intÉrieur au carrÉ. \ o Un tracÉ correct semble indiquer queAP D= 135 \ o 2. DÉmonstration en supposant queAP D= 135. 2.1.Calcul de la longueur du cÔtÉ du carrÉ : p √ AvecAP Det Al-Kashi,AD= 25 + 22. \ 2.2.Calcul decosDAPtoujours avecAP Det Al-Kashi : √ 4 +2 \ cosDAP= p √ 2 5+ 22 p √ 5−2 2 \ 2.3.Calcul decosP AB: .. . √ 34 2.4.Calcul de PB avec le triangle APB et Al-Kashi :P B= 6 D’oÙ la conclusion.. .