Exercices d'algèbre - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Ensembles et applications : énoncés

Catherine Laidebeure

Description

Ces exercices d'algèbre, accompagnés d'indications et de réponses, sont divisés en 4 parties : (1) Ensembles et applications (2) Nombres réels (3) Nombres complexes (4) Polynômes. Les étudiants sont invités à chercher suffisamment les exercices avant de consulter les indications et réponses.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Algèbre

Informations

• Publié par: exercices-cpge
• Publié le: 01 janvier 2012
• Nombre de lectures: 159
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Algèbre

1

ENSEMBLES - APPLICATIONS

Exercice 1
SoientA,BetCtrois parties d’un même ensembleE.
Démontrer que : (A∪C)∩(B∪C)=(A∩C)∪(B∩C) .

Exercice 2
SoientAetBdeux parties d’un même ensembleE. On rappelle queA−B=A∩B.
1) Déterminer une condition nécessaire et suffisante surAetBpour que :∩ =.
2) Démontrer que :A−B=A⇔B−A=B.
Exercice 3
SoitE un ensemble non vide. A toutes partiesA etB deE, on associe la partie
A*B=A∩BoùAetBsont les complémentaires deAet deBdansE. Dans ce qui
suit,A,BetCsont des parties quelconques deE.
1) DéterminerA* , * et, *A*A.
2) La loi * est-elle commutative ?
3) Déterminer (A*A) * (B*B) et (A*B) * (A*B) .
En déduire que la loi * n’est pas associative.
4) (Démontrer que :A*B) *C=A* (B*C)A=C.

Exercice 4
SoitE ensemble non vide. A toutes les parties unA etB deE, on associe la partie
A∗B=A∪BoùAetBsont les complémentaires deAet deBdansE.
Dans ce qui suit,A,BetCsont des parties quelconques deE.
1) DéterminerA∗,∗,∗etA∗A.
2) La loi∗est-elle commutative ?
3) Déterminer (A∗A)∗(B∗B) et (A∗B)∗(A∗B) .
4) En déduire que la loi∗n’est pas associative.
5) (Démontrer que :A∗B)∗C=A∗(B∗C)A=C.

Exercice 5
On rappelle que pour toutes partiesAetBd’un ensembleE:
AΔB=(A∪B)∩(A∪B)=(A∩B)∪(A∩B)
1) DéterminerA(A B) .
2) Soitfl’application de(E) dans(E) définie par :f(X)=AΔX.
a) Montrer quefest injective.
b) Montrer quefest surjective.
c) déduire qu’elle est bijective et préciser son application réciproque.En
Exercice 6

1
Soitfla fonction définie par :f(x)=x2+x+ .1
1) Déterminer l’ensemble de définitionDde la fonctionfet ses variations.
2) La fonctionfest-elle injective ? surjective deDdans?
3) Déterminer l’image directe parfdeA=[0,2] .
4) Déterminer l’image réciproque parfdeB[1,2] .
=
5) Montrer que la restriction def l’intervalle àI= −,21+∞ est bijective deI dans
un intervalleJque l’on précisera. Déterminer son application réciproque.

Exercices de Mathématiques ECS 1 - Catherine LAIDEBEURE - 2012